概率论与数理统 第七章 参数估计
1 概率论与数理统 计 第七章 参数估计
第七章参数估计 令在实际问题中,所研究的总体的分布类型往往是已 知的,但依赖于一个或几个未知参数 这时,求总体分布的问题就归结为求一个或几个未 知参数的问题 令例如,某灯泡厂在稳定地生产条件下生产的灯泡的 寿命X是一个随机变量,由实际经验知道它服从 N(n,a2)分布 要了解该厂生产的灯泡的质量就要估计参数和a2 的值
2 第七章 参数估计 ❖ 在实际问题中，所研究的总体的分布类型往往是已 知的，但依赖于一个或几个未知参数. ❖ 这时，求总体分布的问题就归结为求一个或几个未 知参数的问题. ❖ 例如，某灯泡厂在稳定地生产条件下生产的灯泡的 寿命X是一个随机变量，由实际经验知道它服从 N(μ,σ2)分布. ❖ 要了解该厂生产的灯泡的质量就要估计参数μ和σ2 的值
如在一)时们每隔内某电话资接到的呼思用 从泊松分布的 令要了解该电话交换台在一定时间间隔内接到k次呼叫 的概率就要估计参数λ的值 令因此,在总体分布类型已知的情况下,如何从样本 估计总体分布中的未知参数就成为数理统计的基本 问题之 如上这一类问题就是参数估计问题 另外,在有些实际问题中,人们并不关心总体分布 的形式,而只想知道它的某些数字特征(例如均值与 方差).对这些数字特征的估计问题,也称为参数估 计问题
3 ❖ 又如在一定时间间隔内某电话交换台接到的呼叫次 数X是一个随机变量，由泊松流的性质推知它是服 从泊松分布的. ❖ 要了解该电话交换台在一定时间间隔内接到k次呼叫 的概率就要估计参数λ的值. ❖ 因此，在总体分布类型已知的情况下，如何从样本 估计总体分布中的未知参数就成为数理统计的基本 问题之一. ❖ 如上这一类问题就是参数估计问题. ❖ 另外，在有些实际问题中，人们并不关心总体分布 的形式，而只想知道它的某些数字特征(例如均值与 方差).对这些数字特征的估计问题，也称为参数估 计问题
令参数估计有点估计与区间估计两方面问题,下面将 分别予以介绍
4 ❖ 参数估计有点估计与区间估计两方面问题，下面将 分别予以介绍
第七章参数估计 ÷7.1点估计 冷设是总体X的未知参数,可以用样本X1,X2…,Xn 构成的一个统计量 =6(X1,X2,…,Xn) 令来估计θ,称 为θ的估计量
5 第七章 参数估计 ❖ 7.1 点估计 ❖ 设θ是总体X的未知参数，可以用样本X1,X2,…,Xn 构成的一个统计量 ( , , , ) ˆ ˆ = X1 X2 Xn ❖ 来估计θ，称 ˆ ❖ 为θ的估计量
对于具体的样本值x1,x2,…,xn,估计量 6 令的值 125n 令称为θ的估计值,仍简记为 令在没有必要强调估计量或估计值的时候,常把二者 都简称为估计 如果总体X有m个未知参数需要估计,我们就要构造 m个统计量分别作为对每一个参数的估计
6 ❖ 对于具体的样本值x1,x2,…,xn，估计量 ˆ ❖ 的值 ( , , , ) ˆ 1 2 n x x x ❖ 称为θ的估计值，仍简记为 . ˆ ❖ 在没有必要强调估计量或估计值的时候，常把二者 都简称为估计. ❖ 如果总体X有m个未知参数需要估计，我们就要构造 m个统计量分别作为对每一个参数的估计
点估计就是寻求未知参数的估计量与估计值 由于抽样的随机性,人们不能单靠一次抽样结果所 确定的估计值去评价这个估计的好坏,应该寻求统 计量 (X12X2,…,Xn) 令作为θ的估计量,考虑到抽样的一切可能结果,使 得在某种统计意义下 令是的好的估计 令有了θ的一个好的估计量与样本值,只要经过计算 就可以得到θ的估计值
7 ❖ 点估计就是寻求未知参数的估计量与估计值. ❖ 由于抽样的随机性，人们不能单靠一次抽样结果所 确定的估计值去评价这个估计的好坏，应该寻求统 计量 ( , , , ) ˆ X1 X2 Xn ❖ 作为θ的估计量，考虑到抽样的一切可能结果，使 得在某种统计意义下 ˆ ❖ 是θ的好的估计. ❖ 有了θ的一个好的估计量与样本值，只要经过计算 就可以得到θ的估计值
令因此,现在的主要问题是建立求估计量的方法和鉴 定估计量的标准
8 ❖ 因此，现在的主要问题是建立求估计量的方法和鉴 定估计量的标准
第七章参数估计 ÷7.1点估计 ÷7.1.1矩估计法 令众所周知,随机变量的矩是描写随机变量统计规律 的最简单、最基本的数字特征 令随机变量的一些参数往往本身就是随机变量的矩或 者是某些矩的函数 例如X~N(n,a2)
9 第七章 参数估计 ❖ 7.1 点估计 ❖ 7.1.1 矩估计法 ❖ 众所周知，随机变量的矩是描写随机变量统计规律 的最简单、最基本的数字特征. ❖ 随机变量的一些参数往往本身就是随机变量的矩或 者是某些矩的函数. ❖ 例如X~N(μ,σ2)
令于是,在进行点估计时,人们自然想到,如果可以 把未知参数θ用总体矩 k=BX(k=1,2,…,m) 今的函数表示为 6=h(p1,2,…,pm), 那么就可以用样本矩 k k 冷估计总体矩k,进而用样本矩的函数 0=h(a12a2,…,an) 10
10 ❖ 于是，在进行点估计时，人们自然想到，如果可以 把未知参数θ用总体矩 μk=EXk(k=1,2,…,m) ❖ 的函数表示为 θ=h(μ1,μ2,…,μm)， ❖ 那么就可以用样本矩 = = n i k k Xi n a 1 1 ❖ 估计总体矩μk，进而用样本矩的函数 ( , , , ) ˆ = h a1 a2 am