概率论与数理统 第二章 条件概率与独立性
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第二章条件概率与独立性 21条件概率、乘法定理 在实际问题中,除了要考虑事件A的概率P(A)而外, 还要考虑事件A在“某事件B已经发生”这一附加条 件下的概率.这样的概率,人们称之为条件概率,记 为P(AB).相应地,将P(A)称为无条件概率 令严格说来,概率都是有条件的,因为试验都是在 组固定的条件下进行的 我们这里所说的条件,无非是指在原有的一组固定 条件外再增加一个附加条件:B发生
2 第二章 条件概率与独立性 ❖ 2.1 条件概率、乘法定理 ❖ 在实际问题中，除了要考虑事件A的概率P(A)而外， 还要考虑事件A在“某事件B已经发生”这一附加条 件下的概率.这样的概率，人们称之为条件概率，记 为 P(A|B).相应地，将P(A)称为无条件概率. ❖ 严格说来，概率都是有条件的，因为试验都是在一 组固定的条件下进行的. ❖ 我们这里所说的条件，无非是指在原有的一组固定 条件外再增加一个附加条件:“B发生
例1两台机床加工同一种零件共10个,结果如下: 实验者 合格品数次品数总计 第一台机床加工数 35 5 40 第二台机床加工数 50 10 60 总计 85 15 100
3 ❖ 例1 两台机床加工同一种零件共100个，结果如下： 实验者 合格品数 次品数 总 计 第一台机床加工数 35 5 40 第二台机床加工数 50 10 60 总 计 85 15 100
设 A=从100个零件中任取一个为合格品” B=“从100个零件中任取一个是第一台机床加工的”, 令求(a)P(A)和P(B); (b)P(AB (c)P(4|B)和P(B{49 令解:(a)P(A)=85/100=0.85, P(B)=40/100=0.40; (b)P(AB)=35/100=0.35; 冷(c)P(4|B)=35/40=0.875, P(B49=5/15≈0.33
4 ❖ 设 A=“从100个零件中任取一个为合格品” ， B=“从100个零件中任取一个是第一台机床加工的” ， ❖ 求(a)P(A)和P(B)； (b)P(AB)； (c)P(A|B)和P(B|Ac). ❖ 解:(a)P(A)=85/100=0.85， ❖ P(B)=40/100=0.40； ❖ (b)P(AB)=35/100=0.35； ❖ (c)P(A|B)=35/40=0.875， ❖ P(B|Ac)=5/15≈0.333
令比较(a)与(c)中的结果 P(4)=0.85,P(4B)=0.875 P(B)=0.40,P(B4)=1/3≈0.333 可见 P(AB)>P(A),P(BAC0
5 ❖ 比较(a)与(c)中的结果 P(A)=0.85，P(A|B)=0.875 ； P(B)=0.40 ，P(B|Ac)= 1/3≈0.333； ❖ 可见 P(A|B)>P(A)，而P(B|Ac)0)
令而式子 P(AB)=P(AB)/P(B)(P(B)>0 即 P(b)(AB)(P(B)>0) P(B) 今注意式子 P(AB)=P(AB)/P(B)(P(B)>0) 令的成立不是偶然的,是普遍规律,下面就古典概率 的情况证明之
6 ❖ 而式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0) ❖ 即 ( ( ) 0) ( ) ( ) ( | ) = P B P B P AB P A B ❖ 注意式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0) ❖ 的成立不是偶然的，是普遍规律，下面就古典概率 的情况证明之
设样本空间S={1,2,…,e,其中导致A,B和AB 发生的基本事件分别为m,k,r个(r≤m,r≤k) 令如果B发生,则导致B发生的k个基本事件中有一个 出现,在这个条件下导致4发生的基本事件仅有r个 故 P(A B)=7= r/n P(AB) kk/n P(B 同理可证 P(BA= P(AB) P(A) (P(A)>0)
7 ❖ 设样本空间S={e1,e2,…,en }，其中导致A，B和AB 发生的基本事件分别为m ，k ，r个(r≤m，r≤k). ❖ 如果B发生，则导致B发生的k个基本事件中有一个 出现，在这个条件下导致A发生的基本事件仅有r个. ❖ 故 ( ) ( ) / / ( | ) P B P AB k n r n k r P A B = = = ❖ 同理可证 ( ( ) 0) ( ) ( ) ( | ) = P A P A P AB P B A
但是,这个普遍规律不能在一般的情况下用纯数学 的方法推导出来,下面就将它作为条件概率的定义, 叙述如下: 定义2.1设A和B为任意两个事件,且P(B)>0,则 称比值 P(AB/P(B) 为事件A在事件B发生的条件下的条件概率,记作 P(AB)=P(AB)/P(B) 即 P(A B= P(AB) P(B)
8 ❖ 但是，这个普遍规律不能在一般的情况下用纯数学 的方法推导出来，下面就将它作为条件概率的定义， 叙述如下： ❖ 定义2.1 设A和B为任意两个事件，且P(B)>0，则 称比值 P(AB)/P(B) ❖ 为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作 P(A|B)=P(AB)/P(B). ❖ 即 ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B =
定理2.1条件概率P(AB)/P(B)(P(B)>0)满足概率 公理化定义中的公理1~3 冷证明(i)P(|B)=P(AB)/P(B)≥0 (i1)P(S|B)=P(SB)/P(B)=P(B)P(B)=1. 冷(i)设事件A1,A 2 n 是互不相容的,则 A1B,A2B,……,AnB, 令也互不相容. 令因此 P{(A1+A2+.+An+,)B} P(A1|B)+P(A2|B)+,+P(An|B)+ ● 令这就证明了条件概率的完全可加性. 9
9 ❖ 定理2.1 条件概率P(AB)/P(B)(P(B)>0)满足概率 公理化定义中的公理1~3. ❖ 证明 (ⅰ)P(A|B)=P(AB)/P(B)≥0. ❖ (ⅱ)P(S|B)=P(SB)/P(B)=P(B)/P(B)=1. ❖ (ⅲ)设事件A1,A2,…,An ,…是互不相容的，则 A1B,A2B,…,AnB,… ❖ 也互不相容. ❖ 因此 P{(A1+A2+…+An +…)|B} =P(A1 |B)+P(A2 |B)+…+P(An |B)+…. ❖ 这就证明了条件概率的完全可加性
P(4+2+…+4+…)|B P{(A1+A2+…+An+…)B} P(B) P(A1B+A2B+…+AnB+…) P(B) P( B)+P(A,B)+.+P(A, B)+ P(B) =P(A|B)+P(A2|B)+…+P(An|B)+ 令这就证明了条件概率的完全可加性 10
10 ( ) {( ) } {( ) | } 1 2 1 2 P B P A A A B P A A A Bn n + + + + =+ + + + ( ) ( ) 1 2 P B P A B + A B + + A n B + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 P B P A B + P A B + + P A n B + == P(A1 | B) + P(A 2 | B) + + P(A n | B) + ❖ 这就证明了条件概率的完全可加性