慢第2章线性方程組 21高斯消元波 22矩阵的铁 EB线性方程組解 的刺定
第2章 线性方程组 2.1 高斯消元法 2.2 矩阵的秩 2.3 线性方程组解 的判定
21高斯消元法 高斯消元法 「矩阵 矩阵的初等变换
2.1 高斯消元法 高斯消元法 矩阵 矩阵的初等变换
高斯消元法 是求解线性方程组的一种基本方法。 其基本思想是通过消元变形,把方程组化 成容易求解的同解方程组, 即得到能直接求出解或者能够直接判断其 无解的同解方程组
高斯消元法 ❖ 是求解线性方程组的一种基本方法。 ❖ 其基本思想是通过消元变形，把方程组化 成容易求解的同解方程组， 即得到能直接求出解或者能够直接判断其 无解的同解方程组
矩阵 由m×n个数a(=1,2,…,m;j=1,2,…,n排成 个m行n列的矩阵数表 II 12 2 称为m×n矩阵,简称矩阵,记作AB等 实矩阵 方阵 系数矩阵 复矩阵 行矩阵 增广矩阵
矩阵 由m×n个数 (i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n)排成 一个m行n列的矩阵数表 称为m×n矩阵，简称矩阵，记作A,B等。 m m mn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 ij a 实矩阵 方阵 系数矩阵 复矩阵 行矩阵 增广矩阵
矩阵的初等变换 矩阵的初等行(列)变换是对矩阵实行以下变换: 交换矩阵的两行(列),分(;◇c) 用一个非零数k乘矩阵的某一行(列),kr(kc,) 用数k乘以矩阵的某一行(列)加到另一行(列)上 去 r+krIc, +kc 初等行变换和初等列变换通称为矩阵的初等变换
矩阵的初等变换 矩阵的初等行(列)变换是对矩阵实行以下变换： ❖ 交换矩阵的两行(列)， ❖ 用一个非零数k乘矩阵的某一行(列)， ❖ 用数k乘以矩阵的某一行(列)加到另一行(列)上 去， ( ) i j i j r r c c ( ) i i kr kc 初等行变换和初等列变换通称为矩阵的初等变换 ( ) j i i j r + k r c + k c
消元变形,化成同解方程组 高斯消元法 矩阵 矩阵的 初等变换 7>F;>C 数表 kr(kc) +ki +ke
高斯消元法 矩阵 矩阵的 初等变换 消元变形，化成同解方程组。 数表 ( ) i j i j r r c c ( ) kri kci ( ) j i i j r + k r c + k c
阶梯矩阵和最简形 满足下列两个条件的矩阵称为阶梯矩阵: (1)若有零行,则零行位于非零行的下方; (2)每个首非零元前面零的个数逐行增加 首非零元为1,且首非零元所在列的其它元都 为零的梯矩阵,称为最简阶梯矩阵,简称最 简形。 >任意m×n阶矩阵A总可以经过初等行变换 化为阶梯形矩阵及最简形 个矩阵的阶梯形一般不唯一,但它的最 简形是唯一的
阶梯矩阵和最简形 ❖ 满足下列两个条件的矩阵称为阶梯矩阵： (1) 若有零行，则零行位于非零行的下方； (2) 每个首非零元前面零的个数逐行增加。 ❖ 首非零元为1，且首非零元所在列的其它元都 为零的梯矩阵，称为最简阶梯矩阵，简称最 简形。 ➢ 任意m×n阶矩阵A总可以经过初等行变换 化为阶梯形矩阵及最简形 ➢ 一个矩阵的阶梯形一般不唯一，但它的最 简形是唯一的
判别最简形 0101 1101 A1=0011A2=0 0000 0000 1001 101 A3=0101A4=1001 0111 0000
判别最简形 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0000 A = 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0000 A = 3 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 A = 4 1 1 0 1 0 0 1 1 0000 A =
用初等行变换将矩阵化成 行阶梯矩阵和最简形 例1 1-2 4 A 4-62-24 36-979 2=73 h(>2 2-31-1 4229 n2-2 4063
例1. 用初等行变换将矩阵化成 行阶梯矩阵和最简形 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 A − − − = − − − 1 2 3 2 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 r r r − − − ⎯⎯⎯→ − − − A 2 3 3 1 4 1 2 3 1 1 2 1 4 0 2 2 2 0 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3 r r r r r r − − − − − ⎯⎯⎯→ − − − −
11-214 02-220 2÷2 r2+5r 0 0-55-3-6 -3200026 000 3 214 01-10 4-2 12 0001-3250001 433 00000 00000
1 1 2 1 4 0 2 2 2 0 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3 − − − − − − 2 3 2 4 2 2 5 3 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 2 6 0 0 0 1 3 r r r r r + − − − ⎯⎯⎯→ − − 3 4 4 3 2 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 r r r r − − − ⎯⎯⎯→ − 1 2 2 3 1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 r r r r − − − − ⎯⎯⎯→ −
