《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义，理工类）第七章假设检验（7.5）x2分布拟和检验

本章前四节所介绍的各种检验法,是在总体分布类型已知的情况下,对其中的未知参数进行检验,这类统计检验法统称为参数检验.在实际问题中,有时我们并不能确切预知总仁服从何种分布,这时就需要根据来自总体的样本对总体的分布进行推断,以判断总体服从何种分布.这类统计检验称为非参数检验.解决这类问题的工具之一是英国统计学家K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进的一x2检验法,不少人把此项工作视为近代统计学的开端。

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第五节分布拟合检验本章前四节所介绍的各种检验法,是在总体分布类型已知的情况下,对其中的未知参数进行检验,这类统计检验法统称为参数检验.在实际问题中,有时我们并不能确切预知总体服从何种分布,这时就需要根据来自总体的样本对总体的分布进行推断,以判断总体服从何种分布.这类统计检验称为非参数检验.解决这类问题的工具之一是英国统计学家K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进的——x2检验法,不少人把此项工作视为近代统计学的开端分布图示 ★引言 ★引例 x2检验法的基本思想 ★x2检验法的基本原理和步骤 ★x2检验法一总体含未知参数的情形 ★例1 ★例2 例3 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题7-5 返回内容要点、引例例如,从1500到1931年的432年间,每年爆发战争的次数可以看作一个随即变量,据统计,这432年间共爆发了299次战争,具体数据如下厂战争次数Ⅹ发生X次战争的年数 48 根据所学知识和经验,每年爆发战争的次数X,可以用一个泊松随机变量来近似描述,即可以假设每年爆发战争次数分布X近似泊松分布.于是问题归结为:如何利用上述数据检验X 服从泊松分布的假设二、z2检验法的基本思想 x2检验法是在总体X的分布未知时,根据来自总体的样本,检验总体分布的假设的种检验方法.具体进行检验时,先提出原假设 H0:总体X的分布函数为F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分布之间的吻合程度来决定是否接受原假设这种检验通常称作拟合优度检验.它是一种非参数检验.一般地,我们总是根据样本观察值用直方图和经验分布函数,推断出总体可能服从的分布,然后作检验 x2检验法的基本原理和步骤 1)提出原假设 H0:总体X的分布函数为F(x) 如果总体分布为离散型,则假设具体为 H0:总体X的分布律为P{X=x}=P,i=12, 如果总体分布为连续型,则假设具体为

第五节分布拟合检验本章前四节所介绍的各种检验法, 是在总体分布类型已知的情况下, 对其中的未知参数进行检验, 这类统计检验法统称为参数检验. 在实际问题中, 有时我们并不能确切预知总体服从何种分布, 这时就需要根据来自总体的样本对总体的分布进行推断, 以判断总体服从何种分布. 这类统计检验称为非参数检验. 解决这类问题的工具之一是英国统计学家 K. 皮尔逊在 1900 年发表的一篇文章中引进的—— 2  检验法，不少人把此项工作视为近代统计学的开端。分布图示 ★ 引言 ★ 引例 ★ 2  检验法的基本思想 ★ 2  检验法的基本原理和步骤 ★ 2  检验法－总体含未知参数的情形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 7-5 ★ 返回内容要点一、引例例如, 从 1500 到 1931 年的 432 年间, 每年爆发战争的次数可以看作一个随即变量, 据统计, 这 432 年间共爆发了 299 次战争, 具体数据如下: 战争次数 X 发生 X 次战争的年数 0 223 1 142 2 48 3 15 4 4 根据所学知识和经验, 每年爆发战争的次数 X, 可以用一个泊松随机变量来近似描述, 即可以假设每年爆发战争次数分布 X 近似泊松分布. 于是问题归结为：如何利用上述数据检验 X 服从泊松分布的假设. 二、 2  检验法的基本思想 2  检验法是在总体 X 的分布未知时, 根据来自总体的样本, 检验总体分布的假设的一种检验方法. 具体进行检验时，先提出原假设: H0 : 总体 X 的分布函数为 F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分布之间的吻合程度来决定是否接受原假设. 这种检验通常称作拟合优度检验. 它是一种非参数检验. 一般地, 我们总是根据样本观察值用直方图和经验分布函数, 推断出总体可能服从的分布, 然后作检验. 三、 2  检验法的基本原理和步骤 1) 提出原假设: H0 :总体 X 的分布函数为 F(x) 如果总体分布为离散型, 则假设具体为 H0 :总体 X 的分布律为 P{X = xi } = pi ,i =1,2,  如果总体分布为连续型, 则假设具体为

H0:总体X的概率密度函数f(x) 2)将总体X的取值范围分成k个互不相交的小区间,记为A,…4,如可取为 (ao, a,(a,,a2],--(ak-2ak-IL(ak-,ak) 其中a可取-∞,a可取+∞:区间的划分视具体情况而定,使每个小区间所含样本值个数不小于5,而区间个数k不要太大也不要太小 3)把落入第i个小区间A的样本值的个数记作f,称为组频数所有组频数之和 f+f2+…+f6等于样本容量n 4)当H0为真时,根据所假设的总体理论分布,可算出总体x的值落入第i个小区间A的概率P1,于是m,就是落入第i个小区间A的样本值的理论频数 5)当H为真时,n次试验中样本值落入第i个小区间A的频率fn与概率p2应很接近,当H不真时,则∫/n与P相差较大,基于这种思想,皮尔逊引进如下检验统计量 ∑)并证明了下列结论定理1当n充分大(n≥50)时,则统计量x2近似服从x2(k-1)分布根据该定理,对给定的显著性水平a,确定1值,使 Pix>=a 查x2分布表得,l=x2(k-1),所以拒绝域为 x2>x2(k-1) 若由所给的样本值x,x2…,xn算得统计量x2的实测值落入拒绝域,则拒绝原假设H, 否则就认为差异不显著而接受原假设H 四、总体含未知参数的情形在对总体分布的假设检验中,有时只知道总体X的分布函数的形式,但其中还含有未知参数,即分布函数为 F(x,B1,B2,…,O), 其中B,B2…,O为未知参数.设x1,X2,…Xn是取自总体X的样本,现要用此样本来检验假设 H0:总体X的分布函数为F(x,,B2,…,O,) 此类情况可按如下步骤进行检验: l)利用样本x1,X2,…,Xn,求出1,B2…,的最大似然估计B,B,…,, 2)在F(x,B1,O2,…O,),中用代替O(=1,2…,r),则F(x,B1,O2,…O,),就变成完全已知的分布函数F(x,O,2…O) 3)计算p1时,利用F(x,B1,B2…,).计算P2的估计值户(=1,2,…,k) 4)计算要检验的统计量 x2=∑(1-m)/m 当n充分大时统计量x2近似服从z2(k-r-1分布 5)对给定的显著性水平a,得拒绝域 ∑(-m)/m>z2(k-r-1 注:在使用皮尔逊x2检验法时,要求n≥50,以及每个理论频数m1≥5(i=1,…,k),否则应适当地合并相邻的小区间,使m1满足要求

H0 :总体 X 的概率密度函数 f (x). 2) 将总体 X 的取值范围分成 k 个互不相交的小区间, 记为 A A Ak , 1, 2,  ，如可取为 ( , ],( , ], ,( ],( , ); a0 a1 a1 a2  ak−2, ak−1 ak−1 ak 其中 0 a 可取 −， k a 可取 + ；区间的划分视具体情况而定，使每个小区间所含样本值个数不小于 5，而区间个数 k 不要太大也不要太小; 3) 把落入第 i 个小区间 Ai 的样本值的个数记作 i f , 称为组频数,所有组频数之和 k f + f ++ f 1 2 等于样本容量 n ; 4) 当 H0 为真时，根据所假设的总体理论分布,可算出总体 X 的值落入第 i 个小区间 Ai 的概率 i p , 于是 i np 就是落入第 i 个小区间 Ai 的样本值的理论频数. 5) 当 H0 为真时, n 次试验中样本值落入第 i 个小区间 Ai 的频率 f i / n 与概率 i p 应很接近, 当 H0 不真时, 则 f i / n 与 i p 相差较大. 基于这种思想, 皮尔逊引进如下检验统计量 . ( ) 1 2 2 = − = k i i i i np f np  并证明了下列结论. 定理 1 当 n 充分大 (n  50) 时, 则统计量 2  近似服从 ( 1) 2  k − 分布. 根据该定理, 对给定的显著性水平  , 确定 l 值, 使 {  } = 2 P l , 查 2  分布表得, ( 1), 2 l =  k − 所以拒绝域为 ( 1). 2 2    k − 若由所给的样本值 n x , x , , x 1 2  算得统计量 2  的实测值落入拒绝域, 则拒绝原假设 H0 , 否则就认为差异不显著而接受原假设 H0 . 四、总体含未知参数的情形在对总体分布的假设检验中, 有时只知道总体X 的分布函数的形式, 但其中还含有未知参数, 即分布函数为 ( , , , , ), 1 2 r F x     其中    r , , , 1 2  为未知参数. 设 X X Xn , , , 1 2  是取自总体 X 的样本, 现要用此样本来检验假设: H0 :总体 X 的分布函数为 ( , , , , ), 1 2 r F x     此类情况可按如下步骤进行检验： 1) 利用样本 X X Xn , , , 1 2  ,求出    r , , , 1 2  的最大似然估计    r ˆ , , ˆ , ˆ 1 2  , 2) 在 ( , , , , ), 1 2 r F x     中用  i ˆ 代替 (i 1,2, ,r),  i =  则 ( , , , , ), 1 2 r F x     就变成完全已知的分布函数 ). ˆ , , ˆ , ˆ ( , 1 2 r F x     3) 计算 i p 时, 利用 ). ˆ , , ˆ , ˆ ( , 1 2 r F x     计算 i p 的估计值 p ˆ (i 1,2, , k); i =  4) 计算要检验的统计量 = = − k i i npi npi f 1 2 2  ( ˆ ) / ˆ , 当 n 充分大时,统计量 2  近似服从 ( 1) 2  k − r − 分布; 5) 对给定的显著性水平  , 得拒绝域 ( ˆ ) / ˆ ( 1). 2 1 2 2 =  −  − − = f np np k r k i  i i i  注: 在使用皮尔逊 2  检验法时，要求 n  50 ，以及每个理论频数 np 5(i 1, , k) i  =  ，否则应适当地合并相邻的小区间，使 npi 满足要求

由最大似然估计法得 4.2. ˆ  = x = 在 H0 假设下, 即在 X 服从泊松分布的假设下, X 所有可能取的值为 {0,1,2, }, 将其分成如表所示的两两不相交的子集将其分成如表所示的两两不相交的子集 , , , , A0 A1  A12 则 P{X = i} 有估计 , ! 4.2 ˆ 4.2 i e p i i − = i = 0,1,  计算结果如表所示, 其中有些 np ˆ i  5 的组予以适当合并, 使得每组均有 ˆ  5, npi 如表中第四列花括号所示. 此处, 并组后 k = 8, 但因在计算概率时, 估计了一个参数 , 故 r =1, 2  的自由度为 8 −1−1 = 6. 查表得 (8 1 1) (6) 12.592 2 0.05 2  0.05 − − =  = 现在 106.281 100 6.281 12.592, 2  = − =  故在水平 0.05 下接受 , H0 即认为样本来自泊松布总体. 例 5(E03) 为检验棉纱的拉力强度(单位: 公斤)X 服从正态分布, 从一批棉纱中随机抽取 300 条进行拉力试验, 结果列在下表中, 我们的问题是检验假设 : H0 ~ ( , ) ( 0.01) 2 X N    = . 表 7-5-5 棉纱拉力数据 7 1.34 ~ 1.48 56 6 1.20 ~ 1.34 53 13 2.18 ~ 2.38 1 5 1.06 ~ 1.20 37 12 2.04 ~ 2.18 3 4 0.92 ~ 1.06 25 11 1.90 ~ 2.04 16 3 0.78 ~ 0.92 9 10 1.76 ~ 1.90 19 2 0.64 ~ 0.78 2 9 1.62 ~ 1.76 25 1 0.5 ~ 0.64 1 8 1.48 ~ 1.62 53 i i i x f i x f 解可按以下四步来检验: (1) 将观测值 i x 分成 13 组: , a0 =−  0.64, a1= 0.78, a2 =  , 2.18, a12= , a13= 但是这样分组后, 前两组和最后两组的 i np 比较小, 故把它们合并成为一个组(见分组数据表) (2) 计算每个区间上的理论频数. 这里 F(x) 就是正态分布 ( , ) 2 N   的分布函数, 含有两个未知数  和 , 2  分别用它们的最大似然估计  ˆ =X 和 = = − n i Xi X n 1 2 2 ˆ ( ) / 来代替. 关于 X 的计算作如下说明: 因拉力数据表中的每个区间都很狭窄, 我们可认为每个区间内 Xi 都取这个区间的中点, 然后将每个区间的中点值乘以该区间的样本数, 将这些值相加再除以总样本数就得具体样本均值 X , 计算得到:  ˆ = 1.41, ˆ 0.26 . 2 2  =

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