第二节单正态总体的假设检验 分布图示 ★总体均值的假设检验(1) ★总体均值的假设检验(2) 例3 ★总体方差的假设检验 ★例6 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题72 ★返回 内容要点 、总体均值的假设检验 当检验关于总体均值μ(数学期望)的假设时,该总体中的另一个参数,即方差σ2是 否已知,会影响到对于检验统计量的选择,故下面分两种情形进行讨论 1.方差σ2已知情形 设总体X~N(,a2),其中总体方差σ2已知,X1,X2…,Xn是取自总体X的一个样本 X为样本均值 1)检验假设H:H=4,H1:H≠0其中山为已知常数 由第五章第三节知,当H为真时, X-Ho-N( 故选取U作为检验统计量,记其观察值为u.相应的检验法称为u检验法 因为是的无偏估计量,当H成立时,|不应太大,当H1成立时,|u|有偏大的趋 势,故拒绝域形式为 (}2k(待定 对于给定的显著性水平a,查标准正态分布表得k=un2,使 PHURHa=a 由此即得拒绝域为 根据一次抽样后得到的样本观察值x,x2…,x计算出U的观察值u,若|u≥Lna2,则拒 绝原假设H,即认为总体均值与山有显著差异;若| Juk uot2,则接受原假设H,即认为总 体均值与灿无显著差异 类似地,对单侧检验有 ()右侧检验:检验假设Ho:μ≤4,H1:4>A,其中0为已知常数.可得拒绝域为 (i)左侧检验:检验假设H:μ≥A,H1:H<山,其中山为已知常数可得拒绝域为
第二节 单正态总体的假设检验 分布图示 ★ 总体均值的假设检验（1） ★ 例1 ★ 例2 ★ 总体均值的假设检验（2） ★ 例3 ★ 例4 ★ 总体方差的假设检验 ★ 例5 ★ 例6 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 7-2 ★ 返回 内容要点 一、总体均值的假设检验 当检验关于总体均值 （数学期望）的假设时，该总体中的另一个参数，即方差 2 是 否已知，会影响到对于检验统计量的选择，故下面分两种情形进行讨论. 1．方差 2 已知情形 设总体 ~ ( , ) 2 X N ,其中总体方差 2 已知， X X Xn , , , 1 2 是取自总体 X 的一个样本, X 为样本均值. 1）检验假设 0 0 1 0 H : = , H : .其中 0 为已知常数. 由第五章第三节知, 当 H0 为真时, ~ (0,1), / 0 N n X U − = 故选取 U 作为检验统计量, 记其观察值为 u. 相应的检验法称为 u 检验法. 因为 X 是 的无偏估计量, 当 H0 成立时, | u | 不应太大, 当 H1 成立时, | u | 有偏大的趋 势, 故拒绝域形式为 k n x u − = / | | 0 ( k 待定). 对于给定的显著性水平 ,查标准正态分布表得 u / 2 k = , 使 P{|U | u / 2 } = 由此即得拒绝域为 / 2 0 / | | u n x u − = . 即 ( , ) ( , ) W = − −u 2 u 2 + 根据一次抽样后得到的样本观察值 n x , x , , x 1 2 计算出 U 的观察值 u, 若 / 2 | | u u , 则拒 绝原假设 H0 , 即认为总体均值与 0 有显著差异; 若 / 2 | | u u , 则接受原假设 H0 , 即认为总 体均值与 0 无显著差异. 类似地，对单侧检验有: (i) 右侧检验：检验假设 0 0 1 0 H : , H : ，其中 0 为已知常数. 可得拒绝域为 u n x u − = / 0 (ii) 左侧检验：检验假设 0 0 1 0 H : , H : ，其中 0 为已知常数.可得拒绝域为 u n x u − − = / 0
2.方差2未知情形 设总体X~N(a2),其中总体方差a2未知,x1K2…,Xn是取自X的一个样本R与 S2分别为样本均值与样本方差 1)检验假设H0:H=pn,H1:μ≠山,其中A0为已知常数 由第五章第三节知,当H为真时, 故选取T作为检验统计量,记其观察值为t.相应的检验法称为t检验法 由于X是的无偏估计量,S2是a2的无偏估计量,当H0成立时,|t不应太大,当H1成立 时,|有偏大的趋势,故拒绝域形式为 =F≥k(k待定) 对于给定的显著性水平a,查分布表得k=tn2(n-1),使 PITRIon(n-Di=a 由此即得拒绝域为 即W=(-∞,-an2(n-1)U(a2(n-1)+∞) 根据一次抽样后得到的样本观察值x1x2…,x,计算出T的观察值1,若|t|≥La2(n-1) 则拒绝原假设H,即认为总体均值与山0有显著差异;若|tk4,其中4为已知常数.可得拒绝域为 (i)左侧检验:检验假设H。:4≥4,H1:<,其中山为已知常数.可得拒绝域为 xP<(m-1) 二、总体方差的假设检验 设X~N(a2),X1,X2…,X是取自X的一个样本,X与S2分别为样本均值与样本方 差 1)检验假设H:a2=∞,H1:σ2≠a2.其中σ。为已知常数 由第五章第三节知,当H。为真时, x2(n-1 故选取x2作为检验统计量.相应的检验法称为x2检验法 由于S2是a2的无偏估计量,当H0成立时,S2应在a2附近,当H成立时,x2有偏小 或偏大的趋势,故拒绝域形式为 x2=",S2≤k或x2 k2(k1k2待定) 对于给定的显著性水平a查分布表得 使
2．方差 2 未知情形 设总体 ~ ( , ) 2 X N ,其中总体方差 2 未知， X X Xn , , , 1 2 是取自 X 的一个样本, X 与 2 S 分别为样本均值与样本方差. 1）检验假设 0 0 1 0 H : = , H : .其中 0 为已知常数. 由第五章第三节知, 当 H0 为真时, ~ ( 1), / 0 − − = t n S n X T 故选取 T 作为检验统计量, 记其观察值为 t. 相应的检验法称为 t 检验法. 由于 X 是 的无偏估计量, 2 S 是 2 的无偏估计量, 当 H0 成立时, | t | 不应太大, 当 H1 成立 时, | t | 有偏大的趋势, 故拒绝域形式为 k s n x t − = / | | 0 ( k 待定). 对于给定的显著性水平 , 查分布表得 ( 1), k = t / 2 n − 使 P{|T | t / 2 (n −1)} = 由此即得拒绝域为 ( 1) / | | / 2 0 − − = t n s n x t . 即 ( , ( 1)) ( ( 1), ) W = − −t 2 n − t 2 n − + 根据一次抽样后得到的样本观察值 n x , x , , x 1 2 计算出 T 的观察值 t, 若 | | ( 1), t t / 2 n − 则拒绝原假设 H0 , 即认为总体均值与 0 有显著差异; 若 | | ( 1), t t / 2 n − 则接受原假设 H0 , 即认为总体均值与 0 无显著差异. 类似地，对单侧检验有： (i) 右侧检验：检验假设 0 0 1 0 H : , H : ，其中 0 为已知常数. 可得拒绝域为 ( 1) / 0 − − = t n s n x t (ii) 左侧检验：检验假设 0 0 1 0 H : , H : , 其中 0 为已知常数. 可得拒绝域为 ( 1) / 0 − − − = t n s n x t 二、总体方差的假设检验 设 ~ ( , ) 2 X N , X X Xn , , , 1 2 是取自 X 的一个样本, X 与 2 S 分别为样本均值与样本方 差. 1）检验假设 2 0 2 1 2 0 2 0 H : = ,H : .其中 0 为已知常数. 由第五章第三节知, 当 H0 为真时, ~ ( 1); 1 2 2 2 0 2 − − = S n n 故选取 2 作为检验统计量. 相应的检验法称为 2 检验法. 由于 2 S 是 2 的无偏估计量, 当 H0 成立时, 2 S 应在 2 0 附近, 当 H1 成立时, 2 有偏小 或偏大的趋势, 故拒绝域形式为 1 2 2 0 2 1 S k n − = 或 2 2 2 0 2 1 S k n − = ( 1 2 k , k 待定). 对于给定的显著性水平 查分布表得 ( 1), ( 1) 2 2 / 2 2 k1 = 1− /2 n − k = n − 使
x2≤x12a/2(n-1)}=,P(x22x2(-1)}= 由此即得拒绝域为 assx22(n-1)或x2=2-1 s≥xan2(n-1) 根据一次抽样后得到的样本观察值x1,x2,…,xn计算出x2的观察值,若 x2≤x2n2(n-1)或x2x22(n-1),则拒绝原假设Hn,若x22(n-1)≤x2≤x2(n-1),则接 受假设H 类似地,对单侧检验有 ()右测检验:检验假设:H:a2≥σb,H1:a2a.其中a为已知常数可得拒绝域为 z2(n-1) 例题选讲 总体均值的假设检验 1.方差σ2已知情形 例1(E01)某车间生产钢丝,用X表示钢丝的折断力,由经验判断X~N(,a2),其中 μ=570,σ2=82;今换了一批材料,从性能上看估计折断力的方差a2不会有什么变化(即 仍有a2=82),但不知折断力的均值u和原先有无差别现抽得样本,测得其折断力为 578572570568572570570572596584 取∝=005,试检验折断力均值有无变化? 解(1)建立假设Ho:==570,H1:H≠570. (2)选择统计量U= ~M(0,1) (3)对于给定的显著性水平a,确定k,使P{U卜k} 查正态分布表得k=lan2=l005=196,从而拒绝域为|196 (4由子x102x=5752002=64,所以 2.06>1.96 故应拒绝H,即认为折断力的均值发生了变化 例2(E02)一工厂生产一种灯管,已知灯管的寿命X服从正态分布N(,40000根据以 往的生产经验,知道灯管的平均寿命不会超过1500小时.为了提高灯管的平均寿命,工厂采
2 , { ( 1)} 2 { ( 1)} 2 / 2 2 2 1 / 2 2 P − n − = P n − = . 由此即得拒绝域为 ( 1) 1 2 1 / 2 2 2 0 2 − − = s − n n 或 ( 1) 1 2 / 2 2 2 0 2 − − = s n n . 即 [0, ( 1)) ( ( 1), ) 2 / 2 2 W = 1− / 2 n − n − + 根据一次抽样后得到的样本观察 值 n x , x , , x 1 2 计算出 2 的观察值 , 若 ( 1) ( 1) 2 / 2 2 2 1 / 2 2 − n − 或 n − , 则拒绝原假设 H0 , 若 ( 1) ( 1) 2 / 2 2 2 1− / 2 n − n − ,则接 受假设 H0 . 类似地，对单侧检验有: (i)右测检验：检验假设: 2 0 2 1 2 0 2 0 H : ,H : . 其中 0 为已知常数, 可得拒绝域为 ( 1) 1 2 1 2 2 0 2 − − = s − n n (ii)左侧检验：验假设： 2 0 2 1 2 0 2 0 H : ,H : .其中 0 为已知常数. 可得拒绝域为 ( 1) 1 2 2 2 0 2 − − = s n n . 例题选讲 总体均值的假设检验 1. 方差 2 已知情形 例 1(E01) 某车间生产钢丝, 用 X 表示钢丝的折断力, 由经验判断 ~ ( , ), 2 X N 其中 2 2 = 570, = 8 ; 今换了一批材料, 从性能上看估计折断力的方差 2 不会有什么变化 (即 仍有 2 2 = 8 ), 但不知折断力的均值 和原先有无差别. 现抽得样本, 测得其折断力为: 578 572 570 568 572 570 570 572 596 584 取 = 0.05, 试检验折断力均值有无变化? 解 (1) 建立假设 : 570, H0 = 0 = : 570. H1 (2) 选择统计量 ~ (0,1). / 0 N n X U − = (3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使 P{|U | k} = 查正态分布表得 1.96, k= u / 2 = u0.025= 从而拒绝域为 | u |1.96. (4) 由于 575.20, 10 1 10 = = i= j i x x 64, 2 = 所以 2.06 1.96, / | | 0 = − = n x u 故应拒绝 , H0 即认为折断力的均值发生了变化. 例 2(E02) 一工厂生产一种灯管, 已知灯管的寿命 X 服从正态分布 N(,40000), 根据以 往的生产经验, 知道灯管的平均寿命不会超过1500小时. 为了提高灯管的平均寿命, 工厂采
用了新的工艺为了弄清楚新工艺是否真的能提高灯管的平均寿命,他们测试了采用新工艺 生产的25只灯管的寿命,其平均值是1575小时.尽管样本的平均值大于1500小时,试问: 可否由此判定这恰是新工艺的效应,而非偶然的原因使得抽出的这25只灯管的平均寿命较 长呢 解把上述问题归纳为下述假设检验问题:Ho:≤1500,H1:H>1500 从而可利用右侧检验法来检验,相应于0=15000=200,n=25 取显著水平为a=005,查附表得un=1.645,因已测出x=1575,从而 1575-1500 G/万=-200 25=1.875 由于u=1.875>l=1.645,从而否定原假设H0,接受备择假设H1,即认为新工艺事实 上提高了灯管的平均寿命 2.方差a2未知情形 例3(E03)水泥厂用自动包装机包装水泥,每袋额定重量是50kg,某日开工后随机抽查 了9袋,称得重量如下 49.649.350.150.049.249949.851.050.2 设每袋重量服从正态分布问包装机工作是否正常(a=005)? 解(1)建立假设H0:=50,H1:≠50 (2)选择统计量T= x--1(n-1) 3)对于给定的显著性水平α,确定k,使P{|T卜>k}=a 查t分布表得k=ta2=1005(8)=2.306,从而拒绝域为|t2.306 (4)由于F=499,s2=0.29,所以 0.56<2.036,|t=0.56<2036 故应接受H,即认为包装机工作正常 例4一公司声称某种类型的电池的平均寿命至少为215小时.有一实验室检验了该公 司制造的6套电池,得到如下的寿命小时数 19,18,22,20,16,25 试问:这些结果是否表明,这种类型的电池低于该公司所声称的寿命?(显著性水平 005) 解可把上述问题归纳为下述假设检验问题:H4≥21.5◆H1:<21.5 这可利用t检验法的左侧检验法来解 本例中山=215,n=6,对于给定的显著性水平a=005,查附表得
用了新的工艺. 为了弄清楚新工艺是否真的能提高灯管的平均寿命, 他们测试了采用新工艺 生产的 25 只灯管的寿命, 其平均值是 1575 小时. 尽管样本的平均值大于 1500 小时, 试问: 可否由此判定这恰是新工艺的效应, 而非偶然的原因使得抽出的这 25 只灯管的平均寿命较 长呢? 解 把上述问题归纳为下述假设检验问题: : 1500, H0 : 1500. H1 从而可利用右侧检验法来检验, 相应于 1500, 0 = = 200, n = 25. 取显著水平为 = 0.05, 查附表得 =1.645, u 因已测出 x =1575, 从而 25 1.875. 200 1575 1500 / 0 = − = − = n x u u 由于 =1.875 =1.645, u u 从而否定原假设 , H0 接受备择假设 , H1 即认为新工艺事实 上提高了灯管的平均寿命. 2．方差 2 未知情形 例 3 (E03) 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量是 50kg, 某日开工后随机抽查 了 9 袋, 称得重量如下: 49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2 设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常 ( = 0.05)? 解 (1) 建立假设 : 50, H0 = : 50. H1 (2) 选择统计量 ~ ( 1). / 0 − − = t n S n X T (3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使 P{|T |k}= 查 t 分布表得 (8) 2.306, k=t / 2 =t0.025 = 从而拒绝域为 | t | 2.306. (4) 由于 x = 49.9, 0.29, 2 s = 所以 0.56 2.036, / 50 | | = − = s n x t | t |= 0.56 2.036, 故应接受 , H0 即认为包装机工作正常. 例 4 一公司声称某种类型的电池的平均寿命至少为 2.15 小时. 有一实验室检验了该公 司制造的 6 套电池, 得到如下的寿命小时数: 19, 18, 22, 20, 16, 25 试问: 这些结果是否表明, 这种类型的电池低于该公司所声称的寿命? (显著性水平 = 0.05 ). 解 可把上述问题归纳为下述假设检验问题: H0 : 21.5 : 21.5. H1 这可利用 t 检验法的左侧检验法来解. 本例中 21.5, 0 = n = 6, 对于给定的显著性水平 = 0.05, 查附表得
l005(5)=2015 再据测得的6个寿命小时数算得:x=20,s2=10 由此计算1=x=20-2156=-162 10 因为t=-1.162>-2015=-o5(5),所以不能否定原假设H0,从而认为这种类型电池的寿 命并不比公司宣称的寿命短 总体方差的假设检验 例5(E04)某厂生产的某种型号的电池,其寿命(以小时计)长期以来服从方差a2=500 的正态分布,现有一批这种电池,从它的生产情况来看,寿命的波动性有所改变现随机取 26只电池,测出其寿命的样本方差2=9200.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命 波动性较以往的有显著的变化(取a=002)? 解本题要求在水平a=02下检验假设H0:a=5001:a2≠5000现在 n=26,G=5000x2(n-1)=x0(25)=44314,x2an2(n-1)=x029(25)=11524 根据x2检验法,拒绝域为W=[011.524∪(44314,+ 代入观察值x2=9200,得x2(-)s=46>4314 故拒绝H0,认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化 例6某工厂生产金属丝,产品指标为折断力.折断力的方差被用作工厂生产精度的表 征。方差越小,表明精度越高.以往工厂一直把该方差保持在64(kg2)与64以下.最近从一批 产品中抽取10根作折断力试验,测得的结果(单位为千克)如下 578,572,570,568,572,570,572,596,584,570. 由上述样本数据算得 x=5752.s2=75.74 为此,厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了.如确实增大了,表明生产精度不如以前,就 需对生产流程作一番检验,以发现生产环节中存在的问题 解为确认上述疑虑是否为真,假定多金属丝折断力服从正态分布,并作下述假设检验 H0:σ2≤64,H1o2>64 上述假设检验问题可利用x2检验法的右侧检验法来检验,就本例中而言,相应于 对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平a=005,查附表知, x2(n-1)=x205(9)=16919
( 1) (5) 2.015. t n − = t0.05 = 再据测得的 6 个寿命小时数算得: x = 20, 10. 2 s = 由此计算 6 1.162. 10 20 21.5 / 0 = − − = − = s n x t 因为 1.162 2.015 (5), 0.05 t = − − = −t 所以不能否定原假设 , H0 从而认为这种类型电池的寿 命并不比公司宣称的寿命短. 总体方差的假设检验 例 5(E04) 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命(以小时计)长期以来服从方差 5000 2 = 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它的生产情况来看, 寿命的波动性有所改变.现随机取 26 只电池, 测出其寿命的样本方差 9200. 2 s = 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的 波动性较以往的有显著的变化(取 = 0.02 )? 解 本题要求在水平 = 0.02 下检验假设 : 5000, H0 = : 5000. 2 H1 现在 n = 26, 5000, 2 0 = ( 1) (25) 44.314, 2 0.01 2 / 2 n − = = ( 1) (25) 11.524, 2 0.99 2 1− / 2 n − = = 根据 2 检验法, 拒绝域为 W =[0,11.524)(44.314,+) 代入观察值 9200, 2 s = 得 46 44.314, ( 1) 2 0 2 2 = − n s 故拒绝 , H0 认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化. 例 6 某工厂生产金属丝, 产品指标为折断力. 折断力的方差被用作工厂生产精度的表 征. 方差越小, 表明精度越高. 以往工厂一直把该方差保持在 64(kg2 )与 64 以下. 最近从一批 产品中抽取 10 根作折断力试验, 测得的结果(单位为千克)如下: 578, 572, 570, 568, 572, 570, 572, 596, 584, 570. 由上述样本数据算得: 575.2, 75.74. 2 x = s = 为此,厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了. 如确实增大了, 表明生产精度不如以前, 就 需对生产流程作一番检验, 以发现生产环节中存在的问题. 解 为确认上述疑虑是否为真, 假定多金属丝折断力服从正态分布, 并作下述假设检验: : 64, 2 H0 64. 2 H1 上述假设检验问题可利用 2 检验法的右侧检验法来检验, 就本例中而言, 相应于 64, 2 0 = n =10. 对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 = 0.05, 查附表知, ( 1) (9) 16.919. 2 0.05 2 n − = =
从而有x -19×75.74 1065≤16919 故不能拒绝原假设H0,从而 认为样本方差的偏大系偶然因素,生产流程正常,故不需再作进一步的检查 课堂练习 1.某饲养厂规定,屠宰的肉用鸡体重不得少于3kg,现从该饲养厂的鸡群中,随机抓16 只,且计算平均体重x=28kg,标准差s=02kg,设肉用鸡重量X服从正态分布,试以 a=0.025的显著性水平作出该批鸡可否屠宰的判断 2.某厂生产一种保险丝规定保险丝熔化时间的方差不超过400,现从一批产品中抽取 25个,测得其熔化时间的方差为38858,试根据所给数据,检验这批产品的方差是否符合要 求(a=0.05)?假定保险丝熔化时间服从正态分布
从而有 10.65 16.919 , 64 1 9 75.74 2 0.05 2 2 0 2 = = = − = s n 故不能拒绝原假设 , H0 从而 认为样本方差的偏大系偶然因素, 生产流程正常, 故不需再作进一步的检查. 课堂练习 1. 某饲养厂规定, 屠宰的肉用鸡体重不得少于 3kg, 现从该饲养厂的鸡群中, 随机抓 16 只, 且计算平均体重 x = 2.8kg, 标准差 s = 0.2kg , 设肉用鸡重量 X 服从正态分布, 试以 = 0.025 的显著性水平作出该批鸡可否屠宰的判断. 2. 某厂生产一种保险丝, 规定保险丝熔化时间的方差不超过 400, 现从一批产品中抽取 25 个, 测得其熔化时间的方差为 388.58, 试根据所给数据, 检验这批产品的方差是否符合要 求 ( = 0.05) ? 假定保险丝熔化时间服从正态分布