《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义，理工类）第三章 多维随机变量及其分布（3.3）二维随机变量函数的分布

第三节二维随机变量函数的分布 在实际应用中,有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数.例如,考虑全 国年龄在40岁以上的人群,用X和y分别表示一个人的年龄和体重,Z表示这个人的血压, 并且已知Z与X,Y的函数关系式 z=8(X,Y) 现希望通过(X,Y)的分布来确定Z的分布此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函 数的分布问题 在本节中,我们重点讨论两种特殊的函数关系 (1)z=X+Y (i)z=max{X,}和Z=min{X,y},其中X与Y相互独立 注:应指出的是,将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题 只是表述和计算的繁杂程度的提高,并没有本质性的差异 分布图示 引言 和的分布 例1 ★正态随机变量的线性组合 ★例2 ★例 ★例4 ★最大、最小分布 ★例5 例6 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题3-3 返回 内容要点 一、Z=X+Y的分布 、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设随机变量X,Y相互独立,其分布函数分别为Fx(x)和F(y),由于M=max(X,Y)不大 于z等价于X和y都不大于z,故有 FM(二)=P{M≤}=P{X≤,Y≤} =P{X≤=}P{Y≤+}=Fx(=)Fy() 类似地,可得N=min(X,Y)的分布函数 FN()=PN≤}=1-P{N>2}=1-P{X>,}>} =1-P{X>+}P{Y>2}=1-[1-Fx()-Fy() 例题选讲 和的分布 例1(E01)设X与Y相互独立,均服从N(01)分布,求Z=X+Y的概率密度函数 解由卷积公式得

第三节 二维随机变量函数的分布 在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全 国年龄在 40 岁以上的人群，用 X 和 Y 分别表示一个人的年龄和体重， Z 表示这个人的血压， 并且已知 Z 与 X ，Y 的函数关系式 Z = g(X,Y) , 现希望通过 (X,Y) 的分布来确定 Z 的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函 数的分布问题. 在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) Z = X +Y ; (ii) Z = max{X,Y} 和 Z = min{X,Y} ，其中 X 与 Y 相互独立. 注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到 n 个随机变量函数的分布问题 只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异. 分布图示 ★ 引言 ★ 和的分布 ★ 例 1 ★ 正态随机变量的线性组合 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 最大、最小分布 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 3-3 ★ 返回 内容要点 一、 Z = X + Y 的分布 二、 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布 设随机变量 X,Y 相互独立,其分布函数分别为 F (x) X 和 F ( y) Y , 由于 M = max(X,Y) 不大 于 z 等价于 X 和 Y 都不大于 z, 故有 { } { } ( ) ( ); ( ) { } { , } P X z P Y z F z F z F z P M z P X z Y z X Y M =   = =  =   类似地, 可得 N = min(X,Y) 的分布函数 1 { } { } 1 [1 ( )][1 ( )]. ( ) { } 1 { } 1 { , } P X z P Y z F z F z F z P N z P N z P X z Y z X Y N = −   = − − − =  = −  = −   例题选讲 和的分布 例 1 (E01) 设 X 与 Y 相互独立, 均服从 N(0,1) 分布, 求 Z = X + Y 的概率密度函数. 解 由卷积公式得

f2()=x(x)fr(=-x)d d t=x-2/2 dt 即Z~N(0,2) 正态随机变量的线性组合 例2(E02)设某种商品一周的需求量是一个随机变量,其概率密度函数 f(x) o,其它 如果各周的需求量相互独立,求两周需求量的概率密度函数 解分别用X和Y表示第一、二周的需求量则 fx(x) 0,其它J(y)={Pe,y>0 10.其它 从而两周需求量Z=X+Y,利用卷积公式计算 当z≤0时,若x>0,则2-x0时,若x≤0,则fx(x)=0,若-x≤0,即z≤x,则f(-x)=0, 故厂1((-x)=[x(=-8h=“,从而()=60.其它 z>0 例3在一简单电路中两电阻R1和R2串联连接,设R,R2相互独立,它们的概率密度 均为 10-x 0≤x≤10 r=x-10 50 其它 求总电阻R=R1+R2的概率密度 解R的概率密度为 10 f2(-)=f(x)f(-x)h 易知仅当 0<x<10 0<x<10 即 时上述积分的被积函数不等于零(如图),由此即得 z-10<x< f(x)f(二-x)dx,0≤<10 1G)=0((-x)10:520,将f()的表达式代入上式得 其它

 + − f z = f x f z − x dx Z X Y ( ) ( ) ( )  + − − − − = e  e dx x z x 2 ( ) 2 2 2 2 1   + −       − − − = e e dx z x z 2 2 4 2 2 1  t x z e e dt t z  + − − − = − 2 2 4 2 1 / 2  , 2 1 2 1 4 4 2 2 z z e e − − = =    即 Z ~ N(0,2). 正态随机变量的线性组合 例 2 (E02) 设某种商品一周的需求量是一个随机变量, 其概率密度函数为 , 0, , 0 ( )      = − 其它 xe x f x x 如果各周的需求量相互独立, 求两周需求量的概率密度函数. 解 分别用 X 和 Y 表示第一、二周的需求量 则 , 0, , 0 ( )     = − 其它 xe x f x x X , 0, , 0 ( )     = − 其它 ye y f y y Y 从而两周需求量 Z = X +Y, 利用卷积公式计算. 当 z  0 时, 若 x  0, 则 z − x  0, f (z − x) = 0; Y 若 x  0, 则 f (x) = 0, X 从而 f (z) = 0; Z 当 z  0 时, 若 x  0, 则 f (x) = 0; X 若 z − x  0, 即 z  x, 则 f (z − x) = 0, Y 故   − − − + − − = − z x z x f X x fY z x dx xe z x e dx 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , 6 3 z e z − = 从而       = − . 0, , 0 6 ( ) 3 其它 e z z f z z Z 例 3 在一简单电路中, 两电阻 R1 和 R2 串联连接, 设 1 2 R ,R 相互独立, 它们的概率密度 均为 , 0, . , 0 10 50 10 ( )       − = 其它 x x f x 求总电阻 R = R1 + R2 的概率密度. 解 R 的概率密度为 ( ) ( ) ( ) .  + − f z = f x f z − x dx R 易知仅当 , 0 10 0 10     −    z x x 即    −     z x z x 10 0 10 时上述积分的被积函数不等于零(如图), 由此即得 , 0, ( ) ( ) , 10 20 ( ) ( ) , 0 10 ( ) 10 10 0         −   −   =   − 其它 f x f z x dx z f x f z x dx z f z z z R 将 f (x) 的表达式代入上式得

(600z-602+23)/150000≤二0.a1>0,B>0 其它 1,y>0,a2>0.,B>0 其它 试证明x1+X2服从参数为a1+a2,B的分布 证明由卷积公式,知当≤0时,Z=X1+X2的概率密度f2(x)=0.当二>0时 Z=X1+H2的概率密度 f(=)=Jx1(x)fx2( a1-1。-x/B Br(aD) a2-e-rra-(1-0)a-dr 记为 A-+-= 其中4=ma20-0,再来计算由概率密度性质,有 1=[2()=AB=[(=B)e1d(=1B)=ABr(a1+a2) za1+a2-e-/B,z>0 即有AP+)于是f2()={Bra1+a2) 亦即 其它 Z=X1+x2服从参数为a1+a2,B的分布,即X1+x2~I(a1+a2,B) 最大、最小分布 例5设随机变量x1X2相互独立,并且有相同的几何分布 P{X1=k}=p-1,k=1,2…,i=1,2,q=1-p 求y=max{X1,X2}的分布 解一P{=n}=P{max{X1,X2}=n}=P{X1=n,x2≤n}+P{X2=n,X1<n} pq"-2pq*-+pq-Lp-l=pq 1-g *p29 11-g

. 0, (20 ) /15000, 10 20 (600 60 )/15000, 0 10 ( ) 3 2 3      −   − +   = 其它 z z z z z z f z R 例 4 设 1 2 X , X 相互独立且分别服从参数为 1 ,; 2 , 的  分布(分别记成 1 1 2 2 1 2 X ~ ( ,  ), X ~ ( ,  )), X , X 的概率密度分别为         = − −  , 0, , 0, 0, 0 1 ( ) 1 1 / ( ) 1 1 1 1 其它        x e x f x x X , 0, , 0, 0, 0 ( ) 1 ( ) 2 1 / 2 2 2 2         =  − − 其它        y e y f y y X 试证明 X1 + X2 服从参数为 1 + 2 , 的  分布. 证明 由卷积公式, 知当 z  0 时, Z = X1 + X2 的概率密度 f (z) = 0. Z 当 z  0 时, Z = X1 + X2 的概率密度  + − f z = f x f z − x dx Z X X ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 1 / 0 1 2 1  1          = − −  x z x e z x e dx  2 1 (z x)/  ( ) − − −  −  − + −   = z z x dx e 0 1 1 2 / 2 1 2 ( ) ( )         − − + + − − −   = 1 0 1 1 1 2 1 / 1 2 1 2 1 2 (1 ) ( ) ( ) t t dt z e x zt z           记为 , 1 / 1 2 z  Az e + − − 其中 (1 ) , ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 2  − − + −   A = t t dt        再来计算 A. 由概率密度性质, 有  + = 0 1 f (z)dz Z ( / ) ( / ) / 0 1 2 1 2 1         A z e d z −x + + + −  = ( ), 1 2  1 2     =  + + A 即 有 . ( ) 1 1 2  1 2      + = + A 于 是 , 0, , 0 ( ) 1 ( ) 1 / 1 2 1 2 1 2       =  + + − − + 其它 z e z f z z Z         亦 即 Z = X1 + X2 服从参数为 , 1 + 2  的  分布, 即 ~ ( , ). X1 + X2  1 + 2  最大、最小分布 例 5 设随机变量 1 2 X , X 相互独立, 并且有相同的几何分布: { } , 1,2, , 1,2 1 = = = = − P X k pq k i k i  , q =1− p , 求 max{ , } Y = X1 X 2 的分布. 解一 { } {max{ , } } P Y = n = P X1 X2 = n { , } { , } = P X1 = n X2  n + P X2 = n X1  n   − = − − = − − = + 1 1 1 1 1 1 1 n k n k n k n k pq pq pq pq q q p q q q p q n n n n − − + − − = − − − 1 1 1 1 1 2 1 2 1 (2 ). −1 −1 = − − n n n pq q q

解二P{Y=n}=P{Y≤n-PY≤n-1}=P{max{x1,x2}≤m}-P{max{x1x2}≤n-1} P{X1≤n,X2≤n}-P{X1 叫1 (1-q")2-(1-q-)2=p-(2-qn-qm-) 例6(E03)设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成,连接的方式分别为串联 并联、备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作),如图所示,设L1,L2的寿命分别为x,y 已知它们的概率密度分别为 ≤0 0 其中α>0,B>0且α≠B.试分别就以上三种连接方式写出L的寿命Z的概率密度 解(1)串联的情况 由于当L,L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以 这时L的寿命为 Z=mn{X,Y},由题设知X,F的分布函数分别为 0 Fr(x) gx2F10-(0.ys0 x≤0 于是Z=mn{X,Y}的分布函数为 Fm12()=1--Fx(x)1-F(y)= Z=min{X,Y}的概率密度为fmn(二)= ∫(a+)a 0 0 (2)并联的情况 由于当且仅当LL2都损坏时,系统L才停止工作,所以这 时L的寿命Z=max{X,Y} 于是Z=max{X,}的分布函数为 Fm(=)=Fx(=)F()= ∫(-e"1-e) 0 于是Z=max{X,}}的概率密度为 ja2+pk4-(a+B)e-10,=>0 0 ≤0 (3)备用的情况 由于这时系统L损坏时系统L2才开始工作,故整个系统L 的寿命Z是L1,L2两者寿命之和,即Z=X+y,故当二>0时, z=X+Y的概率密度为 f2()=f(-n)f ()dy

解二 P{Y = n} = P{Y  n}− P{Y  n −1} {max{ , } } {max{ , } 1} = P X1 X2  n − P X1 X2  n − { , } { 1, 1} = P X1  n X2  n − P X1  n − X2  n − 2 1 1 1 2 1 1         −         =   − = − = − n k k n k k pq pq 2 1 2 2 2 1 1 1 1       − −  −      − − = − q q p q q p n n 2 1 2 (1 ) (1 ) − = − − − n n q q (2 ). −1 −1 = − − n n n pq q q 例 6 (E03) 设系统 L 由两个相互独立的子系统 1 2 L , L 连接而成，连接的方式分别为串联、 并联、备用（当系统 L1 损坏时，系统 L2 开始工作），如图所示. 设 1 2 L ,L 的寿命分别为 X ,Y , 已知它们的概率密度分别为 , 0, 0 , 0 ( )      = − x e x f x x X   , 0, 0 , 0 ( )      = − y e y f y y Y   其中   0,  0 且   . 试分别就以上三种连接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度. 解 (1) 串联的情况 由于当 1 2 L ,L 中有一个损坏时, 系统 L 就停止工作, 所以 这时 L 的寿命为 Z = min{ X,Y}，由题设知 X ,Y 的分布函数分别为     −  = − , 0, 0 1 , 0 ( ) x e x F x x X      −  = − , 0, 0 1 , 0 ( ) y e y F y x Y  于是 Z = min{ X,Y} 的分布函数为 ( ) 1 [1 ( )][1 ( )] min F z F x F y = − − X − Y     −  = − + , 0, 0 1 , 0 ( ) z e z   z Z = min{ X , Y} 的概率密度为 . 0, 0 ( ) 0 ( ) ( ) min     +  = − + z e z f z   z   (2) 并联的情况 由于当且仅当 1 2 L ,L 都损坏时, 系统 L 才停止工作, 所以这 时 L 的寿命 Z = max{ X ,Y}. 于是 Z = max{ X ,Y} 的分布函数为 ( ) ( ) ( ) max F z F z F z = X Y , 0, 0 (1 )(1 ), 0     − −  = − − z e e z z z 于是 Z = max{ X ,Y} 的概率密度为 . 0, 0 ( ) , 0 ( ) ( ) max     + − +  = − − − + z e e e z f z z z   z     (3) 备用的情况 由于这时系统 L1 损坏时系统 L2 才开始工作, 故整个系统 L 的寿命 Z 是 1 2 L ,L 两者寿命之和, 即 Z = X + Y, 故当 z  0 时, Z = X + Y 的概率密度为  + − f z = f z − y f y dy Z X Y ( ) ( ) ( )

B 而当z≤0时,f2(二)=0,于是Z=X+Y的概率密度为 e=-e-/1,z>0 B-a ≤0 课堂练习 1.若X和Y独立,具有共同的概率密度 f(x) l0,其它 求Z=X+Y的概率密度

 − − − = z z y y e e dy 0 ( )     − − − = z z y e e dy 0  ( )  [ ]. z z e e      − − − − = 而当 z  0 时, f (z) = 0, Z 于是 Z = X + Y 的概率密度为 . 0, 0 [ ], 0 ( )       −  = − − − z e e z f z z z Z      课堂练习 1. 若 X 和 Y 独立, 具有共同的概率密度 , 0, 1, 0 1 ( )      = 其它 x f x 求 Z = X +Y 的概率密度