《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义，理工类）第二章 随机变量及其分布（2.3）随机变量的分布函数

第三节随机变量的分布函数 当我们要描述一个随机变量时,不仅要说明它能够取哪些值,而且还要指出它取这些值 的概率.只有这样,才能真正完整地刻画一个随机变量,为此,我们引入随机变量的分布函 数的概念 分布图示 ★随机变量的分布函数 ★例2 ★离散型随机变量的分布函数 ★例3 ★例4 ★例5 ★课堂练习 ★习题2-3 返回 内容要点 随机变量的分布函数 定义设X是一个随机变量,称 F(x)=P(X≤x)(-∞<x<+∞ 为X的分布函数有时记作X~F(x)或Fx(x) 分布函数的性质 单调非减.若x<x2,则F(x1)≤F(x2); 2.F(-∞)=lmF(x)=0,F(+∞)=limF(x)=1 3.右连续性.即imF(x)=F(x) 二、高散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量X的概率分布为 Xx x2 pa 则X的分布函数为 F(x)=P(Xsx)=∑PX=x)=∑P 例题选讲 随机变量的分布函数 例1(E01)等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点,记X为落点的位置(数轴上的坐

第三节 随机变量的分布函数 当我们要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值 的概率. 只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量, 为此，我们引入随机变量的分布函 数的概念. 分布图示 ★ 随机变量的分布函数 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 离散型随机变量的分布函数 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 课堂练习 ★ 习题 2-3 ★ 返回 内容要点 一. 随机变量的分布函数 定义 设 X 是一个随机变量, 称 F(x) = P(X  x) (−  x  +) 为 X 的分布函数.有时记作 X ~ F(x) 或 F (x) X . 分布函数的性质 1. 单调非减. 若 1 2 x  x , 则 ( ) ( ) 1 2 F x  F x ； 2. (−) = lim ( ) = 0, (+) = lim ( ) =1; →− →+ F F x F F x x x 3. 右连续性. 即 lim ( ) ( ). 0 0 F x F x x x = → + 二、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量 X 的概率分布为     i n n p p p p X x x x 1 2 1 2 则 X 的分布函数为     =  = = = x x i x x i i i F(x) P(X x) P(X x ) p . 例题选讲 随机变量的分布函数 例 1 (E01) 等可能地在数轴上的有界区间 [a,b] 上投点, 记 X 为落点的位置(数轴上的坐

标),求随机变量X的分布函数 解当x<a时,{X≤x}是不可能事件,于是,F(x)=P{X≤x}=0 当a≤x≤b时,由于{X≤x}={a≤X≤x},且{a,x<[ab],由几何概率得知, F(x)=P(X≤x}=P{a≤X≤x)=a 当x≥b时,由于{X≤x}={a≤X≤b},于是 F(x)=P{X≤x=P{a≤X≤b、“b 综上可得X的分布函数为F(x) a≤x<b x≥b 例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数? X= (2)F(x)={snx,0≤x<r 0, (3)F(x)={x+1/2,0≤x<1/2 解(1)由题设,F(x)在(-∞,+∞)上单调不减,右连续,并有 F(-∞)=lmF(x)=0,F(+∞)=lmF(x)=1, 所以F(x)是某一随机变量X的分布函数 (2)因F(x)在(/2,丌)上单调下降,所以F(x)不可能是分布函数 (3)因为F(x)在(-∞,+∞)上单调不减,右连续,且有 F(-∞)=limF(x)=0,F(+∞)=limF(x)=1, 所以F(x)是某一随机变量X的分布函数 离散型随机变量的分布函数 例3(E02)设随机变量x的分布律为x012 P1|1/31/61/2 解F(x)=P{X≤x} 当x<0时,{X≤x}=②,故F(x)=0 当0≤x<1时,F(x)=P{X≤x}=PX=0}= 当1≤x<2时,F(x)=P{X=0}+P{X=1 362 时,F(x)=P{X=0)}+P{X=1}+P{X=2}

标) , 求随机变量 X 的分布函数. 解 当 x  a 时, {X  x} 是不可能事件, 于是, F(x) = P{X  x} = 0. 当 a  x  b 时, 由于 {X  x} ={a  X  x}, 且 [a, x] [a,b], 由几何概率得知, ( ) { } { } . b a x a F x P X x P a X x − − =  =   = 当 x  b 时, 由于 {X  x} ={a  X  b}, 于是 ( ) { } { } =1. − − =  =   = b a b a F x P X x P a X b 综上可得 X 的分布函数为         − −  = x b a x b b a x a x a F x 1, , . 0, ( ) 例 2 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数? . 1, 1/ 2 1/ 2, 0 1/ 2 0, 0 (3) ( ) ; 1, sin , 0 0, 0 (2) ( ) ; 1, 0 1/ 2, 2 0 0, 2 (1) ( )       +    =          =       −    − = x x x x F x x x x x F x x x x F x   解 (1) 由题设, F(x) 在 (−,+) 上单调不减, 右连续, 并有 (−) = lim ( ) = 0, →− F F x x (+) = lim ( ) =1, →+ F F x x 所以 F(x) 是某一随机变量 X 的分布函数. (2) 因 F(x) 在 ( / 2, ) 上单调下降, 所以 F(x) 不可能是分布函数. (3) 因为 F(x) 在 (−,+) 上单调不减, 右连续, 且有 (−) = lim ( ) = 0, →− F F x x (+) = lim ( ) =1, →+ F F x x 所以 F(x) 是某一随机变量 X 的分布函数. 离散型随机变量的分布函数 例 3 (E02) 设随机变量 X 的分布律为 , 1/ 3 1/ 6 1/ 2 0 1 2 pi X 求 F(x). 解 F(x) = P{X  x} 当 x  0 时， {X  x} = , 故 F(x) = 0 当 0  x 1 时， 3 1 F(x) = P{X  x} = P{X = 0} = 当 1 x  2 时, 2 1 6 1 3 1 F(x) = P{X = 0}+ P{X =1} = + = 当 x  2 时， F(x) = P{X = 0}+ P{X =1}+ P{X = 2} =1

故 F(x) F(x)的图形是阶梯状的图形,在x=0,1,2处有跳跃,其跃度分别等于 P{X=0},P{X=1},P{X=2} 例4X具有离散均匀分布,即 P(X=x1)=1/n 求X的分布函数 解将X所取的n个值按从小到大的顺序排列为x≤x2)≤…≤xm 则x<x)时,F(x)=P{X≤x=0 ≤x<x(2时,F(x)=P{X≤x ≤x<x(3时,F(x)=P{X≤x}=2/n x(k)≤x<xk+1)时,F(x)=P{≤x}=k/mn ,F(x)=P{X≤x} 0, k/n,当x≥mmn(x1…,xn)且x F(x) 2,…,n)中恰好有k个不大于x x<max 例5设随机变量X的分布函数为 9/19.1≤x<2 F(x)= 15/19,2≤x<3 1, 求X的概率分布 解由于F(x)是一个阶梯型函数,故知X是一个离散型随机变量,F(x)的跳跃点分别 为1,2,3,对应的跳跃高度分别为9/19,6/19,419,如图 故Ⅹ的概率分布为 F(x) X|1 P9/196/194/19 9/19

故 , 1, 2 1/ 2, 1 2 1/ 3, 0 1 0, 0 ( )              = x x x x F x F(x) 的图形是阶梯状的图形, 在 x = 0,1,2 处有跳跃, 其跃度分别等于 P{X = 0}, P{X =1}, P{X = 2}. 例 4 X 具有离散均匀分布, 即 P(X x ) 1/ n,i 1,2, ,n, = i = =  求 X 的分布函数. 解 将 X 所取的 n 个值按从小到大的顺序排列为 (1) (2) (n) x  x  x 则 (1) x  x 时， F(x) = P{X  x} = 0, (1) (2) x  x  x 时， F(x) = P{X  x} =1/ n, (2) (3) x  x  x 时， F(x) = P{X  x} = 2/ n, …… (k)   (k+1) x x x 时， F(x) = P{X  x} = k / n, (n) x  x 时， F(x) = P{X  x}=1 故 F(x)          =  1, max( , , ) 1,2, , ) / , min( , , ) ( 0, min( , , ) 1 1 1 n n j n x x x n k x k n x x x x j x x x     当 中恰好有 个不大于 当 且 当 例 5 设随机变量 X 的分布函数为 , 1, 3 15 /19, 2 3 9 /19, 1 2 0, 1 ( )              = x x x x F x 求 X 的概率分布. 解 由于 F(x) 是一个阶梯型函数, 故知 X 是一个离散型随机变量, F(x) 的跳跃点分别 为 1, 2, 3, 对应的跳跃高度分别为 9/19, 6/19, 4/19, 如图. 故 X 的概率分布为 . 9 /19 6 /19 4 /19 1 2 3 pi X

课堂练习 设随机变量X的概率分布为 P|1/41/21/4 求X的的分布函数,并求 P{x≤1/2,P{3/2<x≤5/2},P≤X≤3

课堂练习 设随机变量 X 的概率分布为 1/ 4 1/ 2 1/ 4 1 2 4 pi X − , 求 X 的的分布函数，并求 PX 1/ 2, P3 / 2  X  5 / 2, P2  X  3