《常微分方程》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 线性微分方程组（5.3）常系数线性方程组习题解答

§4.3常系数线性方程组 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 §4.3 常系数线性方程组

两一阶常系数线性微分方程组 dx Ax+f(t 这里系数矩阵为nxn常数矩阵,f(1)在 a≤t≤b上连续的向量函数 若f(t)=0,则对应齐线性微分方程组为 dx X (533) dt 本节主要讨论(533)的基解矩阵的求法 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 ( ), dx Ax f t dt = + A n n f t , ( ) a t b    这里系数矩阵 为 常数矩阵 在 上连续的向量函数; 一阶常系数线性微分方程组: 若 则对应齐线性微分方程组为 f t( ) 0, = , (5.33) dx Ax dt = 本节主要讨论(5.33)的基解矩阵的求法

一、矩阵指数eXpA的定义和求法不 1expA的定义 定义设/为n×n常数矩阵,则定义矩阵指数 expA为下列矩阵级数的和 exp A ∑ =E+A+—+…+—+ (534) k=0 k! 2! 其中E为单位矩阵,理为的m次幂,A=E,0!=1 注1:矩阵级数(534)是收敛的 由于/4∥/m k!‖-k! 而数项级数∑ 在1收敛 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 一、矩阵指数expA的定义和求法 1 expA的定义 定义 , exp A n n A 设 为  常数矩阵 则定义矩阵指数 为下列矩阵级数的和 2 0 exp (5.34) ! 2! ! k m k A A A A E A k m  = = = + + + + +  0 , , ,0! 1. m 其中 为单位矩阵 为 的 次幂 E A A m A E = = 注1: 矩阵级数(5.34)是收敛的. 由于 , ! ! k k A A k k  而数项级数 1 ! k k A k  =  收敛

注2:级数 exp at ∑ t=E+At+2t2+…+2tm+ k=0 k! 在t的任何有限区间上是一致收敛的 由于∥ k! k k 而数项级数∑ k1!收敛 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 注2: 级数 在t的任何有限区间上是一致收敛的. 由于 , , ! ! k k k k A t A c t c k k   而数项级数 1 ! k k k A c k  =  收敛 . 2 2 0 exp ! 2! ! k m k m k A A A At t E At t t k m  = = = + + + + + 

2矩阵指数的性质 (1)若AB=BA,则e4+B=ee 由于:eN(4+B)=y(4+B)飞AB k=0 k! exp Aexp b=∑ AoB ∑n=∑∑ ABk i! 0 D1(k-0D)5 绝对收敛级数的乘法定理 (2)对任何矩阵A(xpA)存在,且 (exp A)=exp(-A) 由于: exp Aexp(-A)exp(A+(-A)=exp0=E 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 2 矩阵指数的性质 (1) , . A B A B AB BA e e e + 若 则 = = 1 (2) , (exp ) A A 对任何矩阵 存在,且 − 1 (exp ) exp(- ). A A − = 由于: 0 ( ) exp( ) ! k k A B A B k  = + + = k 0  = =  0 ; !( )! k l k l l A B l k l − = −  0 0 exp exp ! ! i j i j A B A B i j   = = =   = 0 0 [ ]; !( )! k l k l k l A B l k l  − = = −   绝对收敛级数的乘法定理  由于: exp exp(- ) A A = + exp( (- )) A A = exp 0= E

(3)若T是非奇异的则 exp(t" AT)=T(exp a)T 由于 exp(T7)=∑ S(TAT k=0 k! =E+X(747) TAT e+ k=1 k ∑ k=1 k k =7+T②∑ k k =7(E+∑ )T=T(exp a)T k! 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 (3) , 若 是非奇异的 则 T AT A T ) (exp ) . = -1 -1 exp(T T 由于: AT) = -1 exp(T 1 0 ( ) ! k k T AT k  − =  = + E 1 1 ( ) ! k k T AT k  − =  = + E 1 1 ! k k T A T k  − =  1 T T− = + 1 1 ( ) ! k k A T T k  − =  1 1 ( ) ! k k A T E T k  − = = + = (exp ) . A T -1 T

3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵 B(1)定理9矩阵 o(t)=exp At 是(533)的基解矩阵,且Φ(0)=E 证明:当t=0时,由 exp At定义知Φ(0)=E 又因为Φ()=( exp At) A+—t+—t2+…+ (m-1) A(E+4t+0t2+…+2;m+…)= Aexp At=A(t), 故Φ()=eXpA是基解矩阵 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵 (1)定理9 矩阵  = ( ) exp t At 是(5.33)的基解矩阵,且  = (0) . E 证明: 当 时由 定义知 t At = 0 , exp  = (0) ; E 又因为 ' '  = ( ) (exp ) t At 2 3 2 1 1! 2! ( 1)! m A A A m A t t t m − = + + + + + − = A = A 故 是基解矩阵  = ( ) exp t At 2 2 ( ) 2! ! m A A m E At t t m + + + + + exp At = A( ), t

例1如果A是一个对角矩阵 A 试求出x=Ax的基解矩阵 解由(534)得 exp At=e+ 2 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 例1 如果A是一个对角矩阵 1 2 n a a A a     =           ' 试求出 的基解矩阵 x Ax = . 解 由(5.34)得 exp At = E 1 2 1! n a a t a     +           2 1 2 2 2 2 2 ! n a a t a       +        

a1 例2试求出x x的基解矩阵 02 解因为 21 201|01 02|0200 而后面两个矩阵是可交换的 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 + 1 2 ! m m m m n a a t m a       +         + 1 2 n a t a t a t e e e       =         例2 ' 2 1 . 0 2 x x   =     试求出 的基解矩阵 解 因为 2 1 0 2 A   =     2 0 0 1 0 2 0 0     = +         而后面两个矩阵是可交换的

20 0 00 2E 02 00 20 故 exp at=exp Xexp 02 00 01 01 {E+ t+ o e 00 002! 01 e e 0 常系数线性方程组 国上一页国下一页返回帮助

常系数线性方程组 2 0 2 , 0 2 E   =     2 0 1 0 0 , 0 0 0 0     =         故 exp At 2 0 exp( ) 0 2 t   =     0 1 exp( ) 0 0 t        2 2 0 0 t t e e   =     2 2 0 1 0 1 { } 0 0 0 0 2 ! t E t      + + +         2 2 0 0 t t e e   =     1 0 1  t     2 1 . 0 1 t t e   =    