54.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法
§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法
、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式:F(t,x,x,…,x)=0 1不显含未知函数x, 或更一般不显含未知函数及其直到k-1k1)阶导数的方程是 F(t,x k)y(k+1) xm)=0(4.57) 若令x)=y,则可把方程化为yn-阶方程 F(t,y,y2…,y(-6)=0(4.58) 若能求得(4.58)的通解y=(,,…,Cn2k) 即x (k) n-k 对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解 x=v(t2c1…cn),这里c12…cn为任常数
一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式: ( , , , , ) 0 ' ( ) = n F t x x x 1 不显含未知函数x, 或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是 ( , , , , ) 0 (4.57) ( ) ( 1) ( ) = k k+ n F t x x x 若令x (k ) = y,则可把方程化为y的n − k阶方程 ( , , , , ) 0 (4.58) ' ( ) = n−k F t y y y 若能求得(4.58)的通解 ( , , , ) 1 n k y t c c = − 对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解 即 ( , , , ) 1 ( ) n k k x t c c = − x =(t,c1 , ,cn ), 这里c1 , ,cn 为任常数
F(t,x),x),…,x)=0(457) 解题步骤: 第一步:令x6)=y,则方程化为 F(t,y,y,…,y)=0 第二步:求以上方程的通解 y=p( (k) qp(t,C1,…2Cn=k) 第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解 x=v(t2c1…cn)2这里c12…cn为任常数
解题步骤: 第一步: 令x (k ) = y,则方程化为 ( , , , , ) 0 ' ( ) = n−k F t y y y 第二步: 求以上方程的通解 ( , , , ) 1 n k y t c c = − 即 ( , , , ) 1 ( ) n k k x t c c = − 第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解 x =(t,c1 , ,cn ), 这里c1 , ,cn 为任常数 ( , , , , ) 0 (4.57) ( ) ( 1) ( ) = k k+ n F t x x x
例个求方程 dx ld 小, 4 0的通解 dt t dt 解令 d ah4-1),则方程化为 y 0 这是一阶方程,其通解为y=ct, d-x 即有 ct dt 对上式积分4次,得原方程的通解为 x=ct +c,t +c3t +cat t c5>
解 令 , 4 4 y dt d x = 则方程化为 0 1 − y = dt t dy 这是一阶方程,其通解为 y = ct, 即有 , 4 4 ct dt d x = 对上式积分4次, 得原方程的通解为 , 4 5 2 3 3 2 5 1 x = c t + c t + c t + c t + c 例1 0 . 1 4 4 5 5 求方程 − = 的通解 dt d x dt t d x
2不显含自变量t的方程, 般形式 F(x,x,…,x(m)=0,(459) 此时以y=x作为新的未知函数,而把x作为新的自变量 因为 dx dy dx dy 2 y dt dx dt dx x a x dt dtdt dt y 2
2 不显含自变量t的方程, 一般形式: ( , , , ) 0, (4.59) ' ( ) = n F x x x , , 此时以y = x ' 作为新的未知函数 而把x作为新的自变量 y, dt dx 因为 = = dt dy = 2 2 dt d x dx dy = dt dx , dx dy y 3 2 3 2 d x d d x dt dt dt = dt d = ( ) dx dy y dx dx dy d( y ) = dt dx , 2 2 2 dx d y + y 2 ( ) dx dy = y
用数学归纳法易得 x可用1,..dy (k-1 (k≤n)来表达 dx dx 将这些表达式代入(4.59)可得 F(,y,y,y( )=0 dx 即有新方程 (n-1) G(,y )=0 dx dx 它比原方程降低一阶
用数学归纳法易得: 可用 , , , ( 1) ( )来表达 ( 1) ( ) k n dx d y dx dy x y k k k − − 将这些表达式代入(4.59)可得: 2 2 2 2 ( , , , ( ) , ) 0 dy dy d y F x y y y y dx dx dx + = 即有新方程 ( , , , , ) 0 ( 1) ( 1) = − − n n dx d y dx dy G x y 它比原方程降低一阶
解题步骤 第一步:令y=x,并y为新的未知函数,x为新的 自变量,原方程化为 (n- G(,y,l, dx(n-10 第二步:求以上方程的通解 0(X,C1 第三步:解方程 dx dt(r, c 即得原方程的通解
解题步骤: 第一步: 自变量 原方程化为 令 并 为新的未知函数 为新的 , , , ' y = x y x ( , , , , ) 0 ( 1) ( 1) = − − n n dx d y dx dy G x y 第二步: 求以上方程的通解 ( , , , ) = 1 n−1 y x c c 第三步: 解方程 ( , , , ) = 1 n−1 x c c dt dx 即得原方程的通解
例2求方程x 0的通解 解令 ay,并以x作为新的自变量, 则方程化为xy,-y2=0 dx 从而可得y=0,及= 这两方程的全部解是y=c1x 再代回原来变量得到a 所以得原方程的通解为x=c2e
解 令 y,并以x作为新的自变量, dt dx = 则方程化为 0 2 − y = dx dy x y 从而可得 y = 0, 及 , x y dx dy = 这两方程的全部解是 , 1 y = c x 例2 ( ) 0 . 2 2 2 求方程 − = 的通解 dt dx dt d x x 再代回原来变量得到 , 1 c x dt dx = 所以得原方程的通解为 1 2 , c t x c e =
3已知齐线性方程的非零特解进行降阶 1)设x=x1≠0是二阶齐线性方程 +Pp(),+q(1)x=0,(4.69) dt 的非零解 x=xy则x=xy+x1y x=x,y +2x,y+x,y 代入(469)得 xy+[2x1+p(1)x1]y+[x1+p(0)x1+q()x1]y=0 x y+[2x,+p(tx,ly=0
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶 1 (1) 0 设 是二阶齐线性方程 x x = 2 2 ( ) ( ) 0, (4.69) d x dx p t q t x dt dt + + = 的非零解 令 1 x x y = 则 ' ' ' 1 1 x x y x y = + '' '' ' ' '' 1 1 1 x x y x y x y = + + 2 代入(4.69)得 '' ' ' '' ' 1 1 1 1 1 1 x y x p t x y x p t x q t x y + + + + + = [2 ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0 即 '' ' ' 1 1 1 x y x p t x y + + = [2 ( ) ] 0
xy+12x1+p(1)x1y=0 入新的未知函数z=y 方程变为x=,+[2x1+p(t)x]=0 p(t)dt 是一阶线性方程,解之得 2 则 y 1-p(Ddi dt+C1 因而 ep( t ) dt X=x1C1+C2\2 d],(4.70) 这里c,c2是任常数
'' ' ' 1 1 1 x y x p t x y + + = [2 ( ) ] 0 引入新的未知函数 ' z y = , 方程变为 ' 1 1 1 [2 ( ) ] 0 dz x x p t x z dt + + = 是一阶线性方程,解之得 ( ) 2 1 , c p t dt z e x − = 因而 ( ) 1 1 2 2 1 1 [ ], (4.70) p t dt x x c c e dt x − = + 1 2 这里 是任常数. c c, 则 ( ) 2 1 2 1 1 , p t dt y c e dt c x − = +
