第二章一阶微分方程的初等解法
第二章 一阶微分方程的初等解法
§21变量分离方程与变量变换 先看例子: yo ye x+y二 ye e
§2.1 变量分离方程与变量变换 x y ye dx dy + = ( 1) 2 2 = x y + dx 先看例子： dy y x = ye e
定义1形如 =F(x,y) dx f(x)((y)(2.1) dx 方程,称为变量分离方程. 这里f(x,(y)分别是x,y的连续函数
定义1 形如 f (x) ( y) (2.1) dx dy = 方程,称为变量分离方程. 这里f (x),(y)分别是x, y的连续函数. F(x, y) dx dy =
变量分离方程的求解 =f(x)(y)(21 dx 分离变量,当9(y)≠0时将(2.1)写成 0(1)=f(x)dk,这样变量就“分离”开了 两边积分得 f(x)dx+c(2.2) p(y) 1的某一原函数(x)的某一原函数 由(22)所确定的函数y=0(x,c)就为2.1)的解
一、变量分离方程的求解 1 , 0 分离变量( ) , ( ) f x dx y dy = 这样变量就“分离”开了. ( ) (2.2) ( ) f x dx c y dy = + 的某一原函数 ( ) 1 y f (x)的某一原函数 由(2.2)所确定的函数y =(x,c)就为(2.1)的解. f (x) ( y) (2.1) dx dy = 2 0 两边积分得当(y) 0时,将(2.1)写成
dy= 2 2 X 6 分离变量: aa +1 两边积分:」2 xdx +C 12+1 arctan=x+C x无法显示该图
例： ( 1) 2 2 = x y + dx dy x dx y dy 2 2 1 = + x dx C y dy = + + 2 2 1 y = x +C 3 3 1 arctan 分离变量: 两边积分:
注:若存在y,使(y)=0,则y=y是(21)的解可能 它不包含在方程(22)的通解中必须予以补上 例1求微分方程 dy aty(1y的所有解 10 解:方程两边同除以y(1-y),再积分 10 dy 1(、D)/ax+ 10 积分得 =x+C 10-y
(2.2) , . , ( ) 0, (2.1) , 0 0 0 它不包含在方程 的通解中 必须予以补上 注: 若存在y 使 y = 则y = y 也是 的解 可能 例1 求微分方程 ) 10 (1 y y dx dy = − 的所有解. 解: 方程两边同除以 ),再积分 10 (1 y y − 1 ) 10 (1 dx c y y dy = + − 积分得: 1 10 ln x c y y = + −
从上式中解出y,再将常数记为c,得 10 y C≠0 1+ce 由y(1-)=0,求出方程的所有解为y=0和y=10 10 故方程的所有解为 10 y1+ce c为任常数,和y=0 x+C 10
从上式中解出y,再将常数记为c,得 , 1 10 x ce y − + = c 0. ) 0, 0 10, 10 (1− = y = y = y 由y 求出方程的所有解为 和 故方程的所有解为: , , 1 10 c为任常数 ce y −x + = 和y = 0. 1 10 ln x c y y = + −
例2求微分方程x3 1-的通解 解 分离变量后得 X 两边积分得:-2y2=hx+ 4 整理后得通解为:y Inx+C1 Icr 其中c=e,于函数y2x在x=0无意义 故此解只在x>0或x<0之一中有意义 此外还有艄y=0这个解未包含在通解中应补上
解: 分离变量后得 dx x y dy 1 2 3 = − 两边积分得: 1 2 1 − 2y = ln x + c − 整理后得通解为: 2 1 (ln ) 4 x c y + = , (ln ) 4 2 cx = , 0 , 2 1 3 其中c = e c1 由于函数y x − 在x = 无意义 故此解只在x 0或x 0之一中有意义. 此外还有解y = 0,这个解未包含在通解中,应补上. 例2 2 3 y dx dy 求微分方程 x = 的通解
例3求微分方程 p(x)y dx 的通解其中p(x)是x的连续函数 解:将变量分离后得 两边积分得mp=p(x)d+q 由对数的定义有 y=e P(x)dx+Cl
例3 求微分方程 p x y dx dy = ( ) 的通解,其中p(x)是x的连续函数. 解: 将变量分离后得 p x dx y dy = ( ) 两边积分得: 1 ln y = p(x)dx + c 由对数的定义有 1 p( x)d x c y e + =
p(x)dx+C p(xdx 1(x )dx y=±e ce 此外y=0也是方程的解,若在上式中充许c=0, 即知y=0也包括在上式中 故方程的通解为 「p(x)dx y=ce C为任常数
即 = p x dx c y e e ( ) 1 . ( ) = p x dx ce 0 , 0 , 0, 即知 也包括在上式中 此外 也是方程的解 若在上式中充许 = = = y y c , . ( ) y ce c为任常数 p x dx = 故方程的通解为 1 p( x)dx c y e + =