53.3解对初值的连续性和可微性定理
§3.3 解对初值的连续性和可微性定理
G考{”,(6ER0 的解y=0(x,xy)对初值的一些基本性质 内容: 解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性
2 0 0 ( , ) , ( , ) (1) ( ) dy f x y dx x y G R y x y = = 考察 的解 y x x y =( , , ) 0 0 对初值的一些基本性质 ❖解对初值的连续性 ❖解对初值和参数的连续性 ❖解对初值的可微性 内容:
y=(x,x,0) 图例分析见右) (x0,元) (x,y)∈GcR (x1,y) 初值问题的解不单依赖于自变量x, 同时也依赖于初值(x,yn) yo) 初值变动相应的初值问题的解也将随之变动 提 °解对初值M 解存在 Q:当初值发生变化时对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时方程的解变化是否也是很小呢?
y x G 0 0 ( , ) x y 0 0 y x x y =( , , ) 0 0 ( , ) x y 0 0 y x x y =( , , ) 图例分析(见右) 2 0 0 ( , ) , ( , ) ( ) dy f x y dx x y G R y x y = = 解可看成是关于 0 0 x x y , , 的三元函数 0 0 y x x y =( , , ) 满足 0 0 0 0 y x x y =( , , ) 1 1 ( , ) x y 解对初值的对称性: 0 0 y x x y =( , , ) 0 0 y x x y =( , , ) 前提 解存在唯一 例: 0 0 0 0 ( ) x x dy y dx y y e y x y = − = = 初值问题的解不单依赖于自变量 , 同时也依赖于初值 . 初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动. ………… 0 0 ( , ) x y x Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？
证明重(3满足y(xn)=y的解存在区间内任取一值x 1=0(x1,x23y),则由解的唯一性知 (3,1)过点(x,y)与过点(x02y3)的解是同一条积分曲线 即此解也可写成:y=9(x,x1,y) 且显然有:y=0(x,x1,y) 由于点(x,y)是积分曲线上任一点 因此关系式=0(x2x,y)对该积分曲线上任意 点(x,y)均成立
证明 (3.1) ( ) , 0 0 1 由 满足y x = y 的解存在区间内任取一值x ( , , ), 1 1 0 0 y = x x y 则由解的唯一性知, (3.1) ( , ) ( , ) , 过点 x1 y1 与过点 x0 y0 的解是同一条积分曲线 即此解也可写成: ( , , ), 1 1 y = x x y 且显然有: ( , , ), 0 0 1 1 y = x x y ( , ) , 由于点 x1 y1 是积分曲线上任一点 x y 。 y x x y 点 均成立 因此关系式 对该积分曲线上任意 ( , ) ( , , ) 0 = 0
按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题: Q1:解在某有限闭区间[c6上有定义讨论初值(x的) 微小变化对解的影响情况称为解对初值的连续性内容 包括:当初值发生小的变化时所得到的解是否仍在U,b 上有定义以及解在整个区间[ab上是否也变化很小? Q2:解在某个无限闭区间a,有定义讨论初值x,y3) 的微小变化是否仍有解在[a,有定义且解在整个 区间[a,+变化也很小这种问题称为解的稳定性 问题将在第六章中讨论
按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题: Q1:解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值 的 微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容 包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b] 上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小? 0 0 ( , ) x y Q2:解在某个无限闭区间 上有定义,讨论初值 的微小变化是否仍有解在 上有定义,且解在整个 区间 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性 问题,将在第六章中讨论. 0 0 [ , ) a + ( , ) x y [ , ) a + [ , ) a +
解对初值的连续性 1.解对初值的连续依赖性 定义设初值问题 女=(xy),(31 的解y=(x,x02y)在区间ab上存在, 如果对VE>0,3δ=8(E,a,b)>0,使得对于满足 )2≤δ 的一切(x2y)
一 解对初值的连续性 定义 设初值问题 , (3.1) ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy ( , , ) [ , ] , 的解y = x x0 y0 在区间 a b 上存在 如果对 0, =(,a,b) 0,使得对于满足 2 2 0 0 2 0 0 (x − x ) +(y − y ) ( , ), 0 0 的一切 x y 1.解对初值的连续依赖性
初值问题 =f(xy),(3) dx Y(xo)=yo 的解y=(x,x02y)都在区间a,b上存在并且 (x,x,y)-以(x,x,y)<6,x∈[a,b] 则称初值问题(31)的解y=(x,x2y)在点(x0,y) 连续依赖于初值(x,y)
的解y =(x, x0 , y0 )都在区间[a,b]上存在,并且 ( , , ) ( , , ) , [ , ] x x0 y0 − x x0 y0 x a b ( , ). (3.1) ( , , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 ' x y y x x y x y 连续依赖于初值 则称初值问题 的解 = 在点 ' 0 0 , (3.1) ( ) ( , ) = = y x y f x y dx dy 初值问题
到理如果函数f于某域G内连续,且关于y满足利普希茨 条件(利普希茨常数为L),则对方程 的任(x,y) 意两个解(及们的公共存在区间内成立着不 等式()-(x)-(x)中所考虑x0 区间内的某一值。 证明设(x),v(x)在区间[a,b上均有定义令 I(x)=(0(x)-v(x)2,x∈[a,b u v(x)=(plr)-()((x)-v(x) 2(0(x)-v(x)(f(x,9(x)-f(x,y(x)
引理 如果函数 于某域G内连续，且关于 y 满足利普希茨 条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任 意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不 等式 .其中 为所考虑 区间内的某一值。 f x y ( , ) ( , ) dy f x y dx = ( ) x ( ) x 0 x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L x x x x x x e − − − 证明 设(x),(x)在区间[a,b]上均有定义,令 ( ) ( ( ) ( )) , [ , ] 2 V x = x − x x a b ( ) = ' V x 则 = 2((x) − (x)) 2((x) − (x))( ( ) ( )) ' ' x − x ( f (x,(x)) − f (x, (x))
+()=2(9(x)-y()X((x)-((x) ≤2((x)-v(x)L((x)-(x)≤2LV(x) 于是 (V(x)e 2Ix)< 0 因对vxn∈[a,b有 V(x)≤(2L(x=) <x<b 对a≤x≤x类似可证,因此 V(x)≤V(x)e2,x∈[a,b] 两边取平方根即得 o(x)-(x)5(x)-w(x)4,xe[1
( ) 2( ( ) ( ))( ( , ( )) ( , ( )) ' V x = x − x f x x − f x x 2((x) − (x))L((x) − (x)) 2LV (x) 于是 ( ( ) ) 0 2 − Lx V x e dx d 因对x0 [a,b]有 V x V x e x x b L x x − 0 2 ( ) 0 ( ) ( ) , 0 对a x x0 类似可证， 因此 ( ) ( ) , [ , ], 2 0 V x V x0 e x a b L x x − 两边取平方根即得 ( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ], 0 x x x0 x0 e x a b L x x − − −
2定理1(解对初值的连续依赖性定理) 方程 f(x,y),(x,y)∈GR2(1) 条件:L.f在内连续且关于满足局部Lips条件; Ⅱ.y=只减后的解定∈G 区间为[ab 结论:对∨s,>03δ=使得澎b)>0 (x0-x0)2+(o-y)2≤ 时方程(1)点(x,)的解y=0(x,x,)在ab上也有 定义且o(x,x0,)-0( x,Oy-E,a≤x≤b
2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) x x y y − + − 2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理) ( , ) x y G 0 0 0 0 y x x y = ( , , ) y 条件: I. f x y ( , ) 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件; II. 是(1)满足 的解,定义 区间为[a,b]. 结论: 对 , 0 = 使得当 ( , , ) a b 0 0 0 y x x y = ( , , ) 0 0 ( , ) x y ( , , ) ( , , ) , . x x y x x y a x b 0 0 0 0 − 时,方程(1)过点 的解 在[a,b]上也有 定义,且 2 = ( , ), ( ) , (1) dy f x y x y G R dx 方程