第一章随机事件及其概率 概率论与数理统计是从数量化的角度来硏究现实世界中一类不确定现象(随机现象)规 律性的一门应用数学学科,20世纪以来,广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等 各个领域本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之 第一节随机事件 分布图示 ★随机现象 ★随机现象的统计规律性 ★样本空间 ★随机事件 ★事件的集合表示 ★事件的关系与运算 ★事件的运算规律 ★例1 ★例 ★例3 例 ★内容小结 ★课堂练习 习题1 ★返回 内容要点 随机现象 从亚里士多德时代开始哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用,但直到20世 纪初,人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究.概率论就是以数量化方法 来研究随机现象及其规律性的一门数学学科而我们已学过的微积分等课程则是硏究确定性 现象的数学学科 二.随机试验 由于随机现象的结果事先不能预知,初看似乎毫无规律.然而人们发现同一随机现象大 量重复出现时,其每种可能的结果出现的频率具有稳定性,从而表明随机现象也有其固有的 规律性.人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规 律性.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科 为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察,我们把对随 机现象的观察称为随机试验,并简称为试验,记为E.例如,观察某射手对固定目标进行射 击;抛一枚硬币三次观察出现正面的次数;记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数 等均为随机试验 随机试验具有下列特点 1.可重复性:试验可以在相同的条件下重复进行 2.可观察性:试验结果可观察所有可能的结果是明确的
第一章 随机事件及其概率 概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规 律性的一门应用数学学科，20 世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等 各个领域. 本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一. 第一节 随机事件 分布图示 ★ 随机现象 ★ 随机现象的统计规律性 ★ 样本空间 ★ 随机事件 ★ 事件的集合表示 ★ 事件的关系与运算 ★ 事件的运算规律 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-1 ★ 返回 内容要点 一. 随机现象 从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到 20 世 纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法 来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性 现象的数学学科. 二. 随机试验 由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大 量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的 规律性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规 律性. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随 机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为 E . 例如, 观察某射手对固定目标进行射 击; 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数; 记录某市 120 急救电话一昼夜接到的呼叫次数 等均为随机试验. 随机试验具有下列特点: 1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行; 2. 可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;
3.不确定性:每次试验出现的结果事先不能准确预知 三.样本空间 尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的,但其所有可能结果是明确的,我们把随 机试验的每一种可能的结果称为一个样本点,记为e(或o);它们的全体称为样本空间,记 为S(或Q) 基本事件的称谓是相对观察目的而言它们是不可再分解的、最基本的事件,其它事件均 可由它们复合而成,一般地,我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件 四.随机事件 五.事件的集合表示 六.事件的关系与运算 因为事件是样本空间的一个集合,故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和 运算来处理 七.事件的运算规律 事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的,为了方便,给出下列对照表: 表 记号 概率论 集合论 样本空间,必然事件 全集 不可能事件 空集 基本事件 元素 0A-Ac 事件 子集 A的对立事件 A的余集 事件A发生导致B发生 A是B的子集 事件A与事件B相等 A与B的相等 AUB事件A与事件B至少有一个发生与B的和集 事件A与事件B同时发生 A与B的交集 A-B事件A发生而事件B不发生 A与B的差集 事件A和事件B互不相容A与B没有相同的元素 例题选讲 例1在管理系学生中任选一名学生令事件A表示选出的是男生,事件B表示选出的 是三年级学生,事件C表示该生是运动员 (1)叙述事件ABC的意义; (2)在什么条件下ABC=C成立? (3)什么条件下CcB? (4)什么条件下A=B成立? 解(1)ABC是指当选的学生是三年级男生,但不是运动员 (2)只有在CcAB,即 CCACCB同时成立的条件下才有ABC=C成立,即只有在 全部运动员都是男生,且全部运动员都有是三年级学生的条件下才有ABC=C (3)CcB表示全部运动员都是三年级学生,也就是说,若当选的学生是运动员,那么
3. 不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知. 三. 样本空间 尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随 机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为 e （或 ）；它们的全体称为样本空间, 记 为 S (或 ). 基本事件的称谓是相对观察目的而言它们是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均 可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件. 四. 随机事件 五. 事件的集合表示 六. 事件的关系与运算 因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和 运算来处理. 七. 事件的运算规律 事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表： 表 1.1 事件 和事件 互不相容 与 没有相同的元素 事件 发生而事件 不发生 与 的差集 事件 与事件 同时发生 与 的交集 事件 与事件 至少有一个发生 与 的和集 事件 与事件 相等 与 的相等 事件 发生导致 发生 是 的子集 的对立事件 的余集 事件 子集 基本事件 元素 不可能事件 空集 样本空间 必然事件 全集 记号 概率论 集合论 AB A B A B A B A B A B AB A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A = − = , 例题选讲 例 1 在管理系学生中任选一名学生, 令事件 A 表示选出的是男生, 事件 B 表示选出的 是三年级学生, 事件 C 表示该生是运动员. (1) 叙述事件 ABC 的意义; (2) 在什么条件下 ABC = C 成立? (3) 什么条件下 C B ? (4) 什么条件下 A = B 成立? 解 (1) ABC 是指当选的学生是三年级男生, 但不是运动员. (2) 只有在 C AB, 即 C A,C B 同时成立的条件下才有 ABC = C 成立, 即只有在 全部运动员都是男生, 且全部运动员都有是三年级学生的条件下才有 ABC = C . (3) C B 表示全部运动员都是三年级学生, 也就是说, 若当选的学生是运动员, 那么一
定是三年级学生,即在除三年级学生之外其它年级没有运动员当选的条件下才有CcB (4)AcB表示当选的女生一定是三年级学生,且BcA表示当选的三年级学生一定是 女生.换句话说,若选女生,只能在三年级学生中选举,同时若选三年级学生只有女生中选 举.在这样的条件下,BcA成立 例2考察某一位同学在一次数学考试中的成绩分别用A,B,C,D,P,F表示下列各事 件(括号中表示成绩所处的范围) A--优秀(90,100]) B--良好(80,90 C--中等(70,80) D--及格(60,70), P--通过(60,100]) F--未通过(0,60) 则A,B,C,D,F是两两不相容事件;P与F是互为对立事件,即有P=F,A,B,C,D均为P的 子事件,且有 P=AUBUCUD 例3(E01)甲,乙,丙三人各射一次靶,记A-“甲中靶”B-“乙中靶”C-“丙中靶”则 可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件: )“甲未中靶” A (2)“甲中靶而乙未中靶”: AB (3)“三人中只有丙未中靶” (4)“三人中恰好有一人中靶 ABC UABC UABC (5)“三人中至少有一人中靶 AUBUC (6)“三人中至少有一人未中靶”: AUBUC;或A (7)“三人中恰有兩人中靶 ABC UABCUABC (8)“三人中至少兩人中靶”: ABUACUBC (9)“三人均未中靶” ABC. (10)“三人中至多一人中靶”: ABC UABC UABCUAE (11)“三人中至多雨人中靶”: ABC或A∪BUC; 注:用其他事件的运算来表示一个事件,方法往往不惟一,如本例中的6)和()实际上 是同一事件,读者应学会用不同方法表达同一事件,特别在解决具体问题时,往往要根据需要 选择一种恰当的表示方法 例4指出下列各等式命题是否成立,并说明理由 (1)AUB=(AB)UB (2)AB=AUB (3)AUB∩C=ABC (4)(AB(AB)= 解(1)成立 (AB)UB=(AUB)∩(BUB)(分配律)=(AUB)∩S=AUB (2)不成立 若A发生,则必有A∪B发生,A发生,必有A不发生,从而AB不发生,故AB=AUB 不成立
定是三年级学生, 即在除三年级学生之外其它年级没有运动员当选的条件下才有 C B. (4) A B 表示当选的女生一定是三年级学生, 且 B A 表示当选的三年级学生一定是 女生. 换句话说, 若选女生, 只能在三年级学生中选举, 同时若选三年级学生只有女生中选 举. 在这样的条件下, B A 成立. 例 2 考察某一位同学在一次数学考试中的成绩, 分别用 A, B, C, D, P, F 表示下列各事 件(括号中表示成绩所处的范围): A − −优秀([90,100]), B − −良好([80,90)), C − −中等([70,80)), D − −及格([60,70)), P − −通过([60,100]), F − −未通过([0,60)), 则 A,B,C,D,F 是两两不相容事件; P 与 F 是互为对立事件，即有 P = F; A,B,C,D 均为 P 的 子事件，且有 P = ABCD. 例 3（E01）甲，乙，丙三人各射一次靶，记 A− “甲中靶” B− “乙中靶” C− “丙中靶” 则 可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： A; (2) “甲中靶而乙未中靶”： AB; (3) “三人中只有丙未中靶”： ABC; (4) “三人中恰好有一人中靶”： ABC ABC ABC; (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ABC; (6)“三人中至少有一人未中靶”： A B C; 或 ABC; (7)“三人中恰有兩人中靶”： ABC ABC ABC; (8)“三人中至少兩人中靶”： AB ACBC; (9)“三人均未中靶”： ABC; (10)“三人中至多一人中靶”： ABC ABC ABC ABC; (11)“三人中至多兩人中靶”： ABC 或 A B C; 注：用其他事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如本例中的(6)和(11)实际上 是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要 选择一种恰当的表示方法. 例 4 指出下列各等式命题是否成立, 并说明理由: (1) A B = (AB) B ; (2) AB = A B ; (3) A B C = ABC ; (4) (AB)(AB) = . 解 (1) 成立. (AB) B = (A B)(B B) (分配律) = (A B) S = A B. (2) 不成立. 若 A 发生, 则必有 A B 发生, A 发生, 必有 A 不发生, 从而 AB 不发生, 故 AB = A B 不成立
(3)不成立 若AUB∩C发生,即C发生且A∪B发生,即必然有C发生由于C发生,故C必然不 发生,从而ABC不发生,故(3)不成立 (4)成立 (AB)AB)=(AB)(BA)=A(BB)A=(AO)A=0A=D 例5化簡下列事件: (1)(AUB)A∪B) (2)AB UABUAB 解(1)(AUB(AUB)=[A(AUB)UB(A∪B)(分配律) =(AUAB)U( BAUBB)=(AUAB)U(BAU∞(因ABcA) AUBA=A (2)AB∪ ABAB= ABUABUABUAB= AB UABUABUAB(交换律) (AB∪AB)∪( ABUAB)(结合律) (UA)BUA(BUB)=B∪A=AB(对偶律) 课堂练习 1.设当事件A与B同时发生时C也发生,则() (A)A∪B是C的子事件;(B)C是A∪B的子事件; (C)AB是C的子事件;(D)C是AB的子事件 2.设事件A={甲种产品畅销或乙种产品滞销},则A的对立事件为() (A)甲种产品滞销,乙种产品畅销 (B)甲种产品滞销; (C)甲、乙两种产品均畅销 (D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销
(3) 不成立. 若 A BC 发生, 即 C 发生且 A B 发生, 即必然有 C 发生. 由于 C 发生, 故 C 必然不 发生, 从而 ABC 不发生, 故(3)不成立. (4) 成立. (AB)(AB) = (AB)(BA) = A(BB)A = (A)A = A = . 例 5 化簡下列事件： (1) (A B)(A B); (2) AB AB AB. 解 (1) (A B)(A B) =[A(A B)][B(A B)] (分配律) = (AA AB)(BA BB) = (A AB)](BA ) (因 AB A ) = A BA = A. (2) AB AB AB = AB AB AB AB = AB AB AB AB (交换律) = (AB AB)(AB AB) (结合律) = (A A)B A(B B) = B A = AB. (对偶律) 课堂练习 1. 设当事件 A 与 B 同时发生时 C 也发生, 则 ( ). (A) A B 是 C 的子事件; (B) C 是 A B 的子事件; (C) AB 是 C 的子事件; (D) C 是 AB 的子事件. 2. 设事件 A = {甲种产品畅销或乙种产品滞销}, 则 A 的对立事件为 ( ). (A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销; (C) 甲、乙两种产品均畅销; (D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销