第二节条件分布与随机变量的独立性 分布图示 ★条件分布的概念 ★随机变量的独立性 ★离散型随机变量的条件分布与独立性 ★例2 ★例3 ★例4 ★连续型随机变量的条件分布与独立性 ★例5 ★例6 ★例7 ★例8 ★例9 ★例10 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题3-2 ★返回 内容要点 条件分布的概念 设X是一个随机变量,其分布函数为 Fx(x)=P{X≤x},-∞0,则有 Ysv)=PixSx,rsy.F(x,y2 一般地,由于随机变量X,Y之间存在相互联系,因而一个随机变量的取值可能会影响另 一个随机变量的取值统计规律性.在何种情况下,随机变量X,Y之间没有上述影响,而具有 所谓的“独立性”,我们引入如下定义 定义设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为F2(x),F(y),若 对任意实数xy,有 P{X≤x,Y≤y=P{X≤xP{Y≤y} F(,y)=F(x)Fy() 则称随机变量X和Y相互独立 关于随机变量的独立性,有下列两个定理 定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何 事件独立,即,对任意实数集A,B,有 P{X∈AY∈B}=P{Xx∈AP{Y∈B} 定理2如果随机变量X与Y相互独立,则对任意函数
第二节 条件分布与随机变量的独立性 分布图示 ★ 条件分布的概念 ★ 例 1 ★ 随机变量的独立性 ★ 离散型随机变量的条件分布与独立性 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 连续型随机变量的条件分布与独立性 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 例 7 ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 3-2 ★ 返回 内容要点 一、条件分布的概念 设 X 是一个随机变量, 其分布函数为 F (x) = P{X x},− x +, X 若另外有一事件 A 已经发生, 并且 A 的发生可能会对事件 {X x} 发生的概率产生影响, 则 对任一给定的实数 x , 记 F(x | A) = P{X x | A},− x +, 并称 F(x | A) 为在 A 发生的条件下, X 的条件分布函数. 二、随机变量的独立性 设 A 是随机变量 Y 所生成的事件: A ={Y y}, 且 P{Y y} 0 , 则有 ( ) ( , ) { } { , } ( | ) F y F x y P Y y P X x Y y F x Y y Y = = . 一般地, 由于随机变量 X,Y 之间存在相互联系,因而一个随机变量的取值可能会影响另 一个随机变量的取值统计规律性. 在何种情况下, 随机变量 X,Y 之间没有上述影响, 而具有 所谓的“独立性”, 我们引入如下定义. 定义 设随机变量 (X,Y) 的联合分布函数为 F(x, y) , 边缘分布函数为 F (x) X ,F ( y) Y , 若 对任意实数 x, y ,有 P{X x,Y y} = P{X x}P{Y y}, 即 F(x, y) F (x)F (y), = X Y 则称随机变量 X 和 Y 相互独立. 关于随机变量的独立性, 有下列两个定理. 定理 1 随机变量 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 所生成的任何事件与 Y 生成的任何 事件独立, 即, 对任意实数集 A,B , 有 P{X A,Y B}= P{X A}P{Y B}, 定理 2 如果随机变量 X 与 Y 相互独立, 则对任意函数
g1(x),g2(y)均有g(X),g2(Y)相互独立 三、离散型随机变量的条件分布与独立性 设(XY,Y)是二维离散型随机变量,其概率分布为 P{X=x,Y=y}=Py,1,j=12 则由条件概率公式,当P{Y=y}>0,有 P(X=x,Y=yi PIX=x, Y=yj= =,i=12 PIr=y) p 称其为在Y=y条件下随机变量X的条件概率分布 对离散型随机变量(X,Y),其独立性的定义等价于 若对(X,Y)的所有可能取值(x,x),有 P(X=x, r=y)=PX=xP(r=y) P=P2Py,l,j=12… 则称X和Y相互独立 四、连续型随机变量的条件密度与独立性 定义设二维连续型随机变量(x,Y)的概率密度为∫(x,y),边缘概率密度为 f2(x)f(y),则对一切使∫x(x)>0的x,定义在X=x的条件下Y的条件概率密度为 fm(/)≈(x f(x) 类似地,对一切使∫(y)>0的y,定义在Y=y的条件下X的条件密度函数为 Sxw(xlv=(x,y) f() 注:关于定义表达式内涵的解释.以 m(x/以)=(x,y) 为例在上式左边乘以dx,右边乘以(ddy)/dh即得 f(xf(x,y) dxdy P(r≤X<x+,y≤Y≤y+d fr()dy P{y≤Y≤y+dy} Pi ≤Y<y +ay 换句话说,对很小的dx和中,fm(xly)d表示已知Y取值于y和y+之间的条件下 X取值于x和x+女x之间的条件概率 对二维连续型随机变量(X,Y),其独立性的定义等价于
( ), 1 g x ( ) 2 g y 均有 ( ), ( ) g1 X g2 Y 相互独立. 三、离散型随机变量的条件分布与独立性 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量, 其概率分布为 P{X = xi ,Y = yj }= pij , i, j =1,2, 则由条件概率公式, 当 P{Y = yj } 0 , 有 , 1,2, { } { , } { | } = = = = = = = = i p p P Y y P X x Y y P X x Y y j ij j i j i j 称其为在 j Y = y 条件下随机变量 X 的条件概率分布. 对离散型随机变量 (X,Y), 其独立性的定义等价于: 若对 (X,Y) 的所有可能取值 ( , ), i j x x 有 { , } { } { } i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y 即 pij = pi p j ,i, j =1,2, 则称 X 和 Y 相互独立. 四、连续型随机变量的条件密度与独立性 定 义 设二 维连 续型 随机 变量 (X,Y) 的概率密 度为 f (x, y) , 边缘 概 率密 度 为 f (x), f ( y) X Y , 则对一切使 f X (x) 0 的 x , 定义在 X = x 的条件下 Y 的条件概率密度为 ( ) ( , ) ( | ) | f x f x y f y x X Y X = . 类似地, 对一切使 f Y ( y) 0 的 y , 定义在 Y = y 的条件下 X 的条件密度函数为 ( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y = . 注: 关于定义表达式内涵的解释. 以 ( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y = 为例. 在上式左边乘以 dx , 右边乘以 (dxdy)/ dy 即得 { } { , } ( ) ( , ) ( | ) | P y Y y dy P x X x dx y Y y dy f y dy f x y dxdy f x y dx Y X Y + + + = = P{x X x + dx | y Y y + dy}. 换句话说, 对很小的 dx 和 dy , f x y dx X Y ( | ) | 表示已知 Y 取值于 y 和 y + dy 之间的条件下, X 取值于 x 和 x + dx 之间的条件概率. 对二维连续型随机变量 (X,Y), 其独立性的定义等价于:
若对任意的x,y,有 f(x, y)=fr(x)f(y) 几乎处处成立,则称X,F相互独立 注:这里“几乎处处成立”的含义是在平面上除去面积为0的集合外处处成立 例题选讲 条件分布的概念 例1(E01)设X服从[上的均匀分布,求在已知X>的条件下X的条件分布函数 解由条件分布函数的定义,有Fx|x> 1)P{X≤x,X>l/2 X>1/2} 由于X服从0.1上的均匀分布,故P(X>1/2}=1/2 而当x≤1/2时,P{X≤x,X>1/2}=0, 当x>1/2,P{X≤x,X>112}=F(x)-F(1/2)=F(x)-1/2 其中F(x)为x的分布函数,即F(x)={x,0≤x≤1 x-1/2,1/2112时,Px≤x,x=12=11/2,x>1 0, 从而可得 x1X>|={2x-1,12<x≤1 离散型随机变量的条件分布与独立性 例2(E02)设X与Y的联合概率分布为 0 2 0.05 0.15 0.1 1)求Y=0时,X的条件概率分布 (2)判断X与Y是否相互独立? 解(1)P{Y=0}=02+005+0=0.25 在Y=0时,X的条件概率分布为 Px=0y=0}=PX=0y=0102 =0.8, P{Y=0}0.25 P(x=1|y=0=2x=1.y=0=005=02 PX
若对任意的 x, y , 有 f (x, y) f (x) f ( y) = X Y 几乎处处成立, 则称 X,Y 相互独立. 注: 这里“几乎处处成立”的含义是:在平面上除去面积为 0 的集合外,处处成立. 例题选讲 条件分布的概念 例 1 (E01) 设 X 服从 [0,1] 上的均匀分布, 求在已知 2 1 X 的条件下 X 的条件分布函数. 解 由条件分布函数的定义, 有 , { 1/ 2} { , 1/ 2} 2 1 | = P X P X x X F x X 由于 X 服从[0,1]上的均匀分布, 故 P{X 1/ 2} =1/ 2. 而当 x 1/ 2 时, P{X x, X 1/ 2} = 0, 当 x 1/ 2 , P{X x, X 1/ 2}= F(x) − F(1/ 2) = F(x) −1/ 2 其中 F(x) 为 X 的分布函数, 即 , 1, 1 , 0 1 0, 0 ( ) = x x x x F x 于是, 当 x 1/ 2 时, , 1/ 2, 1 1/ 2, 1/ 2 1 { , 1/ 2} − = x x x P X x X 从而可得 . 1, 1 2 1, 1/ 2 1 0, 1/ 2 2 1 | − = x x x x F x X 离散型随机变量的条件分布与独立性 例 2 (E02) 设 X 与 Y 的联合概率分布为 (1) 求 Y = 0 时, X 的条件概率分布; (2) 判断 X 与 Y 是否相互独立? 解 (1) P{Y = 0}= 0.2 + 0.05 + 0 = 0.25, 在 Y = 0 时, X 的条件概率分布为 0.8, 0.25 0.2 { 0} { 0, 0} { 0 | 0} = = = = = = = = P Y P X Y P X Y 0.2, 0.25 0.05 { 0} { 1, 0} { 1| 0} = = = = = = = = P Y P X Y P X Y Y X −1 0 2 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1
P{X=2,Y=0}0 P{Y=0}0.25 又PX=0}=0.1+02+0=0.3,故在X=0时,Y的条件概率分布可类似求得 P{Y=-1|X=0 P{=0|X=0022 0.33 (2)因P{X=0}=0.3,P{Y=-l}=0.1+03+0.15=0.55 而P{X=0,y=-1}=0.,即PX=0,y=-1}≠P{X=0}P{Y=-1} 所以,X与Y不独立 例3(E03)设随机变量X与Y相互独立,下表中列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律 及关于X和关于y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处 yI 33 P(X=x,)=p 1/8 Pi=y=p 解由于P{X=x1,y=y}=P{Y=y}-P{X=x2,=y1}=1/6-1/8=1/24 考虑到X与Y相互独立,有P{X=x1}P{Y=y}=P{X=x1,Y=y1} 所以P1=11/64 同理,可以导出其它数值,最后将所求数值填入表中 y3 P(X=x, l/241/81/12 1/83/814 Py=y}=P16121/3 例4一射手进行射击击中目标的概率为p(0<p<1),射击进行到击中目标两次为止 以X表示首次击中目标所进行射击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求X和Y的联 合分布及条件分布 解依题意,{Y=n}表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中 目标.{X=m}表示首次击中目标时射击了m次,不论m(m<n)是多少,都有 PiX=m,r=n=p(1-P) 由此得X和Y的联合概率分布为 P{X=m,Y=n}=p2(-p)-2n=2,3…;m=12.…,n-1 为求条件分布,先求边缘分布.X的边缘概率函数为
0, 0.25 0 { 0} { 2, 0} { 2 | 0} = = = = = = = = P Y P X Y P X Y 又 P{X = 0}= 0.1+ 0.2 + 0 = 0.3, 故在 X = 0 时， Y 的条件概率分布可类似求得 , 3 1 0.3 0.1 P{Y = −1| X = 0} = = , 3 2 0.3 0.2 P{Y = 0 | X = 0} = = P{Y = 2 | X = 0} = 0. (2) 因 P{X = 0} = 0.3, P{Y = −1}= 0.1+ 0.3+ 0.15 = 0.55, 而 P{X = 0,Y = −1} = 0.1, 即 P{X = 0,Y = −1} P{X = 0}P{Y = −1} 所以, X 与 Y 不独立. 例 3 (E03) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 下表中列出了二维随机变量 (X,Y) 联合分布律 及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处. Y X 1 y 2 y 3 y i Pi P{X = x } = 1 x 1/8 2 x 1/8 j p j P{y = y } = 1/6 1 解 由于 { , } 1 1 P X = x Y = y { } { , } 1 2 1 = P Y = y − P X = x Y = y =1/6 −1/8 =1/ 24, 考虑到 X 与 Y 相互独立, 有 { } { } { , }, 1 1 1 1 P X = x P Y = y = P X = x Y = y 所以 . 4 1 1/ 6 1/ 24 { } P X = x1 = = 同理, 可以导出其它数值, 最后将所求数值填入表中. Y X 1 y 2 y 3 y i Pi P{X = x } = 1 x 1/24 1/8 1/12 1/4 2 x 1/8 3/8 1/4 3/4 j p j P{y = y } = 1/6 1/2 1/3 1 例 4 一射手进行射击,击中目标的概率为 p(0 p 1) , 射击进行到击中目标两次为止. 以 X 表示首次击中目标所进行射击次数, 以 Y 表示总共进行的射击次数. 试求 X 和 Y 的联 合分布及条件分布. 解 依题意, {Y = n} 表示在第 n 次射击时击中目标, 且在前 n −1 次射击中有一次击中 目 标 . {X = m} 表 示 首 次 击 中 目 标 时 射 击 了 m 次 , 不 论 m(m n) 是多少 , 都 有 2 2 { , } (1 ) − = = = − n P X m Y n p p 由此得 X 和 Y 的联合概率分布为 2 2 { , } (1 ) − = = = − n P X m Y n p p n = 2,3, ; m =1,2, ,n −1 为求条件分布, 先求边缘分布. X 的边缘概率函数为
Pxm)-∑x=my=m=∑p-pr=3=p2∑-p)2=p1-p厘-,m=12… n=m+1 Y的边缘概率函数为 P{x=n=∑P{X=my=n=∑P(-p)y2=(m-1p2(1-p)"2,n=123 于是,当n=1,2,3,…时,有 PIX=mlr=ni PiX=m, Y=n I 类似地,当m=1,2,…时,可求得 Pr=n X=m=p(I-p) 连续型随机变量的条件分布与独立性 例5(E04)设(X,Y)的概率密度为 0,y>0 0, 其它 (2)f(x,y)= ∫2,00 fro) dx >0 即fx(x)= fr()= 0,其它 0,其它 因对一切xy均有:f(x,y)=fx(x)f(y),故XF独立 (2)fx(x)=2d=2-x),0<x<1 f(y)=2d=2y0<y< 即fx(x) 其它,f(y)=(2y0<y<1 2(1-x),0<x<1 0,其它 由于存在面积不为0的区域,使f(x,y)≠fx(x)fy(),故X和Y不独立 例6设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布,概率密度为 其它 求nx(yx)
P{X = m} = + = = = 1 { , } n m P X m Y n = + − = − 1 2 2 (1 ) n m n p p = + − = − 1 2 2 (1 ) n m n p p (1 ) , −1 = − m p p m =1,2, Y 的边缘概率函数为 − = − − = = = = = = − 1 1 2 2 1 1 { } { , } (1 ) n m n n m P X n P X m Y n P p ( 1) (1 ) , 2 −2 = − − n n p p n =1,2,3, 于是,当 n =1,2,3, 时, 有 , 1 1 { } { , } { | } − = = = = = = = P Y n n P X m Y n P X m Y n m =1,2, ,n −1 类似地, 当 m =1,2, 时, 可求得 { | } (1 ) , − −1 = = = − n m P Y n X m p p n = m+1,m+ 2, . 连续型随机变量的条件分布与独立性 例 5 (E04) 设 (X,Y) 的概率密度为 (1) ； 其它 = − + 0, , 0, 0 ( , ) ( ) xe x y f x y x y (2) , 0, 2, 0 ,0 1 ( , ) = 其它 x y y f x y 问 X 和 Y 是否独立? 解 (1) ( ) , 0 (x y) x X f x xe dy xe − + − + = = x 0 ( ) , 0 (x y) y Y f y xe dx e − + − + = = y 0 即 = − , 0, , 0 ( ) 其它 xe x f x x X = − , 0, , 0 ( ) 其它 e x f y y Y 因对一切 x, y 均有: f (x, y) f (x) f ( y), = X Y 故 X,Y 独立. (2) ( ) 2 2(1 ), 1 f x dy x x X = = − 0 x 1 ( ) 2 2 , 0 f y dx y y Y = = 0 y 1 即 − = , 0, 2(1 ), 0 1 ( ) 其它 x x f x X = , 0, 2 , 0 1 ( ) 其它 y y f y Y 由于存在面积不为 0 的区域, 使 f (x, y) f (x) f ( y) X Y ，故 X 和 Y 不独立. 例 6 设 (X,Y) 服从单位圆上的均匀分布，概率密度为 , 0, 1/ , 1 ( , ) 2 2 + = 其它 x y f x y 求 ( | ). | f y x Y X
解在上节例10中已求得X的边缘密度为 fx(x)= f(,y)dy=z 21-x2,|x1 当xk1时,有fnx(ysJ(x,y)1/z fx(x)(21x1-x22√1-x 即当1xk1时,有Mmx)={2-x2 其它 例7(E06)设(x,)~N(A1A1;02G2p) (1)求fxp(x1y)和fnxO|x) (2)证明X与Y相互独立的充要条件是p=0 解(1)fx(xly)= f(x, y) 2To,02V1-p fr() (-p5--d -p(-#2) 故在Y=y的条件下,X服从正态分布Ma.①p(y-2)ai(1-p2) 对称地,在x=x的条件下,y服从正态分布Nm2+92p(x-1)2(-p2) 比较N(,A2;2,a2;p)与N(,2),N2(2,a2)的密度函数f(x,y)与fx(x,G(y,易知 p=0<今f(x,y)=fx(x)f(y),即,当且仅当p=0时,X与Y相互独立 例8(E05)甲乙两人约定中午1230在某地会面.如果甲来到的时间在1215到1245之 间是均匀分布乙独立地到达而且到达时间在1200到1300之间是均匀分布.试求先到的 人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少? 解设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意, X~U(15,45),y~U(060) 0.其它,f(y=/1/60,0<x<60 fn(m)≈1/30,15<x<45 0其它
解 在上节例 10 中已求得 X 的边缘密度为 , 0, | | 1 1 , | | 1 2 ( ) ( , ) 2 − = = + − x x x f x f x y dy X 当 | x |1 时, 有 , 2 1 1 (2/ ) 1 1/ ( ) ( , ) ( | ) 2 2 | x x f x f x y f y x X Y X − = − = = 即当 | x |1 时, 有 . 0, , 1 1 2 1 1 ( | ) 2 2 2 | − − − − = 其它 x y x x f y x Y X 例 7 (E06) 设 ( , ) ~ ( , ; , ; ), 2 1 2 X Y N 1 2 2 (1) 求 ( | ) | f x y X Y 和 ( | ) | f y x Y X . (2) 证明 X 与 Y 相互独立的充要条件是 = 0 . 解 (1) ( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 2 1 2 2 1 2 1 1 − − − + − − − − − − − = y x x y y e e 2 2(1 ) 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 − − − − − − = x y e 2 ( ) 2 (1 ) 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 − − − − − − − = x y e 故在 Y = y 的条件下, X 服从正态分布 + ( − ), (1− ) 2 2 2 1 2 1 1 N y 对称地, 在 X = x 的条件下, Y 服从正态分布 + ( − ), (1− ) 2 2 1 2 1 2 2 N x 比较 ( , ; , ; ) 2 2 2 N 1 2 1 与 ( , ), ( , ) 2 2 2 2 2 N 1 1 N 的密度函数 f (x, y) 与 f (x), f ( y), X Y 易知: = 0 f (x, y) f (x) f ( y), = X Y 即, 当且仅当 = 0 时, X 与 Y 相互独立. 例 8(E05) 甲乙两人约定中午 12:30 在某地会面. 如果甲来到的时间在 12:15 到 12:45 之 间是均匀分布. 乙独立地到达, 而且到达时间在 12:00 到 13:00 之间是均匀分布. 试求先到的 人等待另一人到达的时间不超过 5 分钟的概率. 又甲先到的概率是多少? 解 设 X 为甲到达时刻, Y 为乙到达时刻, 以 12 时为起点, 以分为单位, 依题意, X ~U(15,45), Y ~U(0,60) , 0, 1/ 30, 15 45 ( ) = 其它 x f x X , 0, 1/ 60, 0 60 ( ) = 其它 x f y Y
由X与y独立性知/(y=18015x480y60 其它 先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率为P{X-Yk5},甲先到的概率为 P{XY=1/2 例9设数X在区间(01)均匀分布,当观察到X=x(0<x<1)时,数Y在区间(x)上等 可能随机地取值.求Y的概率密度. 1,0<x<1 解依题意,X具有概率密度∫x(x)=10.其它 对于任意给定的值x(0<x<1),在X=x的条件下,Y的条件概率密度为 fnx(ylx)=1-x x<y<1 0,其它 X和y的联合密度为xy=/()m(y1x2={=x0<x<1 0,其它 于是Y的概率密度为 fr ()= f(x,y)dr 1、dx=-h(1-y),0<y<1 0 其它 例10设店主在每日开门营业时,放在柜台上的货物量为Y,当日销售量为X假定 天中不再上柜台上补充货物,于是X≤Y.根据历史资料,(X,Y)的概率密度函数为 (x,y)=(1/200当0≤x50sys20 其它 即(X,Y)服从直角三角形区域OAB上的均匀分布,见图3-2A.求 1)给定Y=y条件下,X的条件分布; (2)假定某日开门时,}=10件,求这天顾客买走X≤5件的概率如果Y=20件呢? 解(1)Y的边缘概率密度为 f()=1200200°0sy520 其它
由 X 与 Y 独立性知 , 0, 1/1800, 15 45,0 60 ( , ) = 其它 x y f x y 先到的人等待另一人到达的时间不超过 5 分钟的概率为 P{| X −Y | 5}, 甲先到的概率为 P{X Y}, 下面用两种方法计算之: (1) P{| X −Y | 5} = P{−5 X −Y 5} 1/ 6, 1800 45 1 15 5 5 = = + − dy dx x x P X Y dy dx x = 45 15 60 1800 1 { } = 1/ 2. (2) − − = | | 5 1800 1 {| | 5} x y P X Y dxdy [60 30 2(10 30 30 30 / 2)] 1/ 6, 1800 1 = − + = P{X Y} = P{X Y} =1/ 2. 例 9 设数 X 在区间 (0,1) 均匀分布，当观察到 X = x(0 x 1) 时，数 Y 在区间 (x,1) 上等 可能随机地取值. 求 Y 的概率密度. 解 依题意, X 具有概率密度 , 0, 1, 0 1 ( ) = 其它 x f x X 对于任意给定的值 x(0 x 1), 在 X = x 的条件下, Y 的条件概率密度为 , 0, , 1 1 1 ( | ) | = − 其它 x y x f y x Y X X 和 Y 的联合密度为 , 0, , 0 1 1 1 ( , ) ( ) ( | ) | = = − 其它 x y x f x y f x f y x X Y X 于是 Y 的概率密度为 + − f y = f x y dx Y ( ) ( , ) . 0, ln(1 ), 0 1 1 1 0 = − − = − 其它 dx y y x y 例 10 设店主在每日开门营业时，放在柜台上的货物量为 Y ，当日销售量为 X 假定一 天中不再上柜台上补充货物，于是 X Y . 根据历史资料， (X,Y) 的概率密度函数为 , 0, 1/ 200, 0 , 0 20 ( , ) = 其它 当 x y y f x y 即 (X,Y) 服从直角三角形区域 OAB 上的均匀分布, 见图 3—2A. 求 (1) 给定 Y = y 条件下, X 的条件分布; (2) 假定某日开门时, Y =10 件,求这天顾客买走 X 5 件的概率. 如果 Y = 20 件呢? 解 (1) Y 的边缘概率密度为 , 0, , 0 20 200 200 1 ( ) 0 = = 其它 y y dx f y y Y
于是,当00时,fx(x)=eb=e 所以fx(x)= x>0 0,x≤0 类似可得f(y)= 0.y≤0 由于当00时,f(y)>0,所以,在Y=y的条件下,X的条件概率密度为 (xy)=/xy)=1y0<x< f1()0,其它 (3)P(+2Y<l)= I(x,y)drdy=kdx2e-dy=1+2e x+ysl
于是, 当 0 y 20 时, 有 , 0, 1/ , 0 ( ) ( , ) ( | ) | = = 其它 y x y f y f x y f x y Y X Y 该结果表明: 对给定的 0 y 20, x 的条件分布是 [0, y] 上的均匀分布. (2) 因为 ( |10) 1/10, f X|Y x = 0 x 10, 所求概率 − = = 5 | P{X 5 |Y 10} f (x |10)dx X Y , 2 1 10 5 1 0 = dx = 即开门营业时有 10 件货物, 当日卖出不超过 5 件的概率为 1/2. 又因为 ( | 20) 1/ 20, f X|Y x = 0 x 20 于是 { 5| 20} (5| 20) P X Y = = FX|Y − = = = 5 5 0 | 4 1 20 1 f (x | 20)dx dx X Y 即开门营业时有 20 件货物, 当日卖出不超过 5 件的概率仅为 1/4. 这表明货物销售量的概率 与现有货物数量的关系很密切. 例 11 (E07) 设随机变量 (X,Y) 的概率密度为 , 0, , 0 ( , ) = − 其它 e x y f x y y (1) 求 X 与 Y 的边际概率密度, 并判断 X 与 Y 是否相互独立; (2) 求在 Y = y 的条件下, X 的条件概率密度; 解 (1) ( ) ( , ) , + − f x = f x y dy X − x +, 当 x 0 时， f (x) = 0, X 当 x 0 时， ( ) , x x y X f x e dy e − + − = = 所以 , 0, 0 , 0 ( ) = − x e x f x x X 类似可得 . 0, 0 , 0 ( ) = − y ye y f y y Y 由于当 0 x y 时, f (x) f ( y) f (x, y) X Y , 故 X 与 Y 不相互独立. (2) 由(1)知, 当 y 0 时, f ( y) 0, Y 所以, 在 Y = y 的条件下, X 的条件概率密度为 ( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y = . 0, 1/ , 0 = 其它 y x y (3) P{X + 2Y 1} + = 2 1 ( , ) x y f x y dxdy − − = 2 1 3 1 0 x x y dx e dy 1 2 3 , 3 1 2 1 − − = + e − e
P{0≤X≤12|y≤1 P{0≤X≤1/2,y≤1 P{Y≤1} dxe-dy I dy 由于PY=4}=0,因此不能用前面的方法来求PX≥2|Y=4},2 但由(2)知,在y=4的条件下,X的条件概率密密度为 1/4.01Y=y 3.设f(x,y) 0≤x≤1,0≤y≤1 ,试判断X与Y是否相互独立 其它
P{0 X 1/ 2 |Y 1} { 1} {0 1/ 2, 1} = P Y P X Y − − = 1 0 1 2 1 0 ye dy dx e dy y x y 1 2 1 1 1 2 2 1 1 − − − − − − = e e e 由于 P{Y = 4} = 0, 因此不能用前面的方法来求 P{X 2 |Y = 4}, 但由(2)知, 在 Y = 4 的条件下, X 的条件概率密密度为 , 0, 1/ 4, 0 4 ( | 4) | = 其它 x f x X Y 故有 P X Y f x dx X Y { 2 | 4} ( | 4) 2 | + = = . 2 1 4 41 2 = = dx 课堂练习 1. 设 (X,Y) 的分布律如下 Y X 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 问 , 为何值时, X 与 Y 相互独立. 2. 设 (X,Y) 的概率密度是 , 0, , 0 , 0 ( , ) / + + = − − 其它 x y y e e f x y x y y 求 P{X 1|Y = y}. 3. 设 = 0, 其它 4 , 0 1,0 1 ( , ) xy x y f x y ，试判断 X 与 Y 是否相互独立