《概率论与数理统计》课程教学资源（简明版理工类，讲义）第六章 参数估计（6.4）正态总体的置信区间

第四节正态总体的置信区间 与其他总体相比,正态总体参数的置信区间是最完善的应用也最广泛。在构造正态总体 参数的置信区间的过程中,t分布、x2分布、F分布以及标准正态分布N(O1)扮演了重要角 本节介绍正态总体的置信区间讨论下列情形: 1.单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2.单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3.单正态总体方差的置信区间 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间 5.双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间 6.双正态总体方差比的置信区间 注:由于正态分布具有对称性,利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为1-a的置 信区间,其区间长度在所有这类区间中是最短的 分布图示 ★引言 ★单正态总体均值(方差已知)的置信区间 ★例1 ★例2 ★单正态总体均值(方差未知)的置信区间 ★例3 ★例4 ★单正态总体方差的置信区间 ★双正态总体均值差(方差已知)的置信区间★例6 双正态总体均值差(方差未知)的置信区间 ★例7 ★例8 ★双正态总体方差比的置信区间 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题6-4 返回 内容要点 、单正态总体均值的置信区间1) 设总体X~N(以a2),其中2已知,而u为未知参数,X1X2…,Xn是取自总体x的 个样本.对给定的置信水平1-a,由上节例1已经得到的置信区间 二、单正态总体均值的置信区间(2) 设总体X~N(a2),其中,a2未知,X1,X2,…,X是取自总体X的一个样本 此时可用σ2的无偏估计S2代替σ2,构造统计量 X 从第五章第三节的定理知T X 给定的置信水平1-a,由 a2(n-1)}=1

第四节 正态总体的置信区间 与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。在构造正态总体 参数的置信区间的过程中，t 分布、 2  分布、F 分布以及标准正态分布 N(0,1) 扮演了重要角 色. 本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间; 4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间; 5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间; 6. 双正态总体方差比的置信区间. 注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为 1− 的置 信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的. 分布图示 ★ 引言 ★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间 ★ 例1 ★ 例2 ★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4 ★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间 ★ 例7 ★ 例8 ★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 6-4 ★ 返回 内容要点 一、单正态总体均值的置信区间(1) 设总体 ~ ( , ), 2 X N   其中 2  已知, 而  为未知参数, X X Xn , , , 1 2  是取自总体 X 的一 个样本. 对给定的置信水平 1− , 由上节例 1 已经得到  的置信区间 , , / 2 / 2         −  +  n X u n X u     二、单正态总体均值的置信区间(2) 设总体 ~ ( , ), 2 X N   其中  , 2  未知, X X Xn , , , 1 2  是取自总体 X 的一个样本. 此时可用 2  的无偏估计 2 S 代替 2  , 构造统计量 S n X T / −  = , 从第五章第三节的定理知 ~ ( 1). / − − = t n S n X T  对给定的置信水平 1− , 由     = −        − − − −  ( 1) 1 / ( 1) / 2 t / 2 n S n X P t n

<u<X+Ial 因此,均值μ的1-a置信区间为 X 三、单正态总体方差的置信区间 上面给出了总体均值μ的区间估计,在实际问题中要考虑精度或稳定性时,需要对正态 总体的方差a2进行区间估计 设总体X~N(,a2),其中,a2未知,X1x2…,Xn是取自总体X的一个样本.求方差 a2的置信度为1-a的置信区间.a2的无偏估计为S2,从第五章第三节的定理知 S2~x2(n-1) 对给定的置信水平1-a,由 于是方差a2的1-a置信区间为 (n-1)S2(n-1)S2 而方差σ的1-a置信区间 (n-1)S Vz2(n-1)Vz2n2(n-1) 四、双正态总体均值差的置信区间(1) 在实际问题中,往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异,从而要研究 两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间 设X是总体N(12)的容量为n1的样本均值,F是总体N(422)的容量为n2的样本 均值,且两总体相互独立,其中2,∞2已知 因x与Y分别是A1与μ2的无偏估计,从第五章第三节的定理知 (X-y)-(-2) (0.1) 对给定的置信水平1-a,由 X-)-(=1<4m2}=1-a n1+2/n2 可导出1-42的置信度为1-a的置信区间为 oL+02, X-Y+al2 V nn2 X-Y-" n n2 五、双正态总体均值差的置信区间(2) 设X是总体NA1,O2)的容量为n的样本均值,下是总体N(A2,a2)的容量为n2的样本

即 ( 1) ( 1) 1 ,  / 2   / 2 = −       − −    + −  n S X t n n S P X t n 因此, 均值  的 1− 置信区间为 ( 1) , ( 1) . / 2 / 2         − −  + −  n S X t n n S X t n  三、单正态总体方差的置信区间 上面给出了总体 均值  的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态 总体的方差 2  进行区间估计. 设总体 ~ ( , ), 2 X N   其中  , 2  未知, X X Xn , , , 1 2  是取自总体 X 的一个样本. 求方差 2  的置信度为 1− 的置信区间. 2  的无偏估计为 2 S , 从第五章第三节的定理知, ~ ( 1) 1 2 2 2 − − S n n   , 对给定的置信水平 1− , 由 1 , ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 , 1 ( 1) 2 1 / 2 2 2 2 / 2 2 2 / 2 2 2 2 1 / 2             = −         − −   − − = −        − − −  − − n n S n n S P S n n P n 于是方差 2  的 1− 置信区间为         − − − − − ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2 2 / 2 2 n n S n n S    而方差  的 1− 置信区间 . ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2 2 / 2 2         − − − − − n n S n n S     四、双正态总体均值差的置信区间(1) 在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究 两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。 设 X 是总体 ( , ) 2 N 1 1 的容量为 1 n 的样本均值, Y 是总体 ( , ) 2 N 2  2 的容量为 2 n 的样本 均值, 且两总体相互独立, 其中 2 2 2 1  , 已知. 因 X 与 Y 分别是 1 与  2 的无偏估计, 从第五章第三节的定理知 ~ (0,1), / / ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 N n n X Y     + − − − 对给定的置信水平 1− , 由 1 , / / ( ) ( ) / 2 2 2 1 2 2 1 1 2       = −            + − − − u n n X Y P 可导出 1 − 2 的置信度为 1− 的置信区间为 , . 2 2 2 1 2 1 / 2 2 2 2 1 2 1 / 2         − −  + − +  + n n X Y u n n X Y u       五、双正态总体均值差的置信区间(2) 设 X 是总体 ( , ) 2 N 1  的容量为 1 n 的样本均值, Y 是总体 ( , ) 2 N 2  的容量为 2 n 的样本

均值,且两总体相互独立,其中,2及σ未知从第五章第三节的定理知 S1/n1+1/ n1 其中S2=n-1 对给定的置信水平1-a,根据t分布的对称性,由 P{|Tkta2(m1+n2-2)}=1-a, 可导出1-42的1-a置信区间为 (-)n(+2-2).S,+,(F+n2(m+n2-2、x Vn, n2 六、双正态总体方差比的置信区间 设S2是总体N(A1G2)的容量为n1的样本方差,S2是总体N(422)的容量为n2的样本 方差,且两总体相互独立,其中A1,2,H2,G2未知.S2与S2分别是a2与a2的无偏估计 从第五章第三节的定理知 (n1-1,n2-1) 对给定的置信水平1-a,由 P{F2(n1-1,n2-1)<F<Fan2(1-1,n2-1)}=1-a Fn2(m1-1,n2-1)S2 F-a2(n1-1,n2-1) 可导出方差比G2/G2的1-a置信区间为 F2(n1-1n2-1)S2’Fan2(1-1,n2-1)S2 例题选讲 单正态总体均值(方差已知)的置信区间 例(Eo1)某旅行社为调査当地一旅游者的平均消费额,随机访问了100名旅游者,得 知平均消费额x=80元根据经验,已知旅游者消费服从正态分布,且标准差σ=12元,求 该地旅游者平均消费额μ的置信度为95%的置信区间 解对于给定的置信度1-a=0.95,a=0.05,a/2=0.025, 查标准正态分布表u0m25=1.96,将数据n=100,x=80,a=12,a05=1.96 代入x土un2千计算得u的置信度为95%的置信区间为(716824,即在已知σ=12情形 下,可以95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在76元至824元之间 例2设总体X~N(,2),其中μ未知,a2=4.X1,…,Xn为其样本 (1)当n=16时,试求置信度分别为0.9及0.95的的置信区间的长度 (2)n多大方能使的90%置信区间的长度不超过1? (3)n多大方能使的95%置信区间的长度不超过1? 解(1)记的置信区间长度为A,则

均值, 且两总体相互独立, 其中 1 ,  2 及  未知.从第五章第三节的定理知 ~ ( 2). 1/ 1/ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 + − + − − − = t n n S n n X Y T w   其中 . 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 S n n n S n n n Sw + − − + + − − = 对给定的置信水平 1− , 根据 t 分布的对称性, 由 {| | ( 2)} 1 , P T  t / 2 n1 + n2 − = − 可导出 1 − 2 的 1− 置信区间为 . 1 1 , ( ) ( 2)) 1 1 ( ) ( 2)) 1 2 / 2 1 2 1 2 / 2 1 2     − + + −  +     − − + −  + n n X Y t n n S n n X Y t n n Sw  w 六、双正态总体方差比的置信区间 设 2 1 S 是总体 ( , ) 2 N 1 1 的容量为 1 n 的样本方差, 2 2 S 是总体 ( , ) 2 N 2  2 的容量为 2 n 的样本 方差, 且两总体相互独立, 其中 2 2 2 2 1 1  , ,  , 未知. 2 1 S 与 2 2 S 分别是 2 1 与 2  2 的无偏估计, 从第五章第三节的定理知 ~ ( 1, 1), 2 1 2 2 2 1 2 1 2 − −         = F n n S S F   对给定的置信水平 1− , 由 { ( 1, 1) ( 1, 1)} 1 , P F1− / 2 n1 − n2 −  F  F / 2 n1 − n2 − = − 1 , ( 1, 1) 1 ( 1, 1) 1 2 2 2 1 1 / 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 / 2 1 2      = −        − −    − − − S S S F n n S F n n P 可导出方差比 2 2 2 1  / 的 1− 置信区间为 . ( 1, 1) 1 , ( 1, 1) 1 2 2 2 1 1 / 2 1 2 2 2 2 1 / 2 1 2          − −  − − − S S S F n n S F n n  例题选讲 单正态总体均值（方差已知）的置信区间 例 1(E01) 某旅行社为调查当地一旅游者的平均消费额, 随机访问了 100 名旅游者, 得 知平均消费额 x = 80 元. 根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准差  =12 元, 求 该地旅游者平均消费额  的置信度为 95%的置信区间. 解 对于给定的置信度 1− = 0.95,  = 0.05,  / 2 = 0.025, 查标准正态分布表 1.96, u0.025 = 将数据 n =100, x = 80,  =12, 1.96, u0.025 = 代入 n x u     / 2 计算得  的置信度为 95%的置信区间为 (77.6,82.4), 即在已知  =12 情形 下, 可以 95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在 77.6 元至 82.4 元之间. 例 2 设总体 ~ ( , ), 2 X N   其中  未知, 4. 2  = X X n , , 1  为其样本. (1) 当 n = 16 时, 试求置信度分别为 0.9 及 0.95 的  的置信区间的长度. (2) n 多大方能使  的 90%置信区间的长度不超过 1? (3) n 多大方能使  的 95%置信区间的长度不超过 1? 解 (1) 记  的置信区间长度为 A, 则

于是当1-a=90%时,A=2×165×2/√16=165 时,△=2×1.96×2/√16=196 (2)欲使△≤L,即2una2·a/n≤1,必须n≥(2omn2)2,于是,当1-a=90%时 n2(2×2×1.65)2,即n≥44,即n至少为44时,的90%置信区间的长度不超过1 (3)当1-a=95%时,类似可得n≥62 注:①由(1)知当样本容量一定时,置信度越高,则置信区间长度越长,对未知参数的 估计精度越低 ②在置信区间的长度及估计精度不变的条件下,要提高置信度,就须加大样本的容量 n,以获得总体更多的信息 单正态总体均值(方差未知)的置信区间 例3(E02)某旅行社随机访问了25名旅游者,得知平均消费额x=80元,子样标准差 s=12元,已知旅游者消费额服从正态分布,求旅游者平均消费额μ的95%置信区间. 解对于给定的置信度95%a=0.05),tan2(n-1)=to025(24)=206539, 将x=80,s=12,n=25,1005(24)=2.0639,代入计算得μ的置信度为95%的置信区间为 (7505,8495),即在a2未知情况下,估计每个旅游者的平均消费额在7505元至8495元之 间,这个估计的可靠度是95% 注:与例1相比,在标准差σ未知时,用样本的标准差S给出的置信区间偏差不太大 例4(E03)有一大批袋装糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(以克计)如下: 506508499503504510497512 514505493496506502509496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值的置信水平为0.95的置信区间 解1-a=0.95,a/2=0025,n-1=15,bo25(15)=21315, 由给出的数据算得x=50375,s=62022.可得到均值μ的一个置信水平为095的置 信区间为50375±21315×62022/√16,即(5004,5071 这就是说,估计袋装糖果重量和均值在5004克与507.1克之间,这个估计的右信程度为 95%.若以此区间内任一值作为μ的近似值,其误差不大于 2×21315×62022/√16=661(克) 这个误差估计的可信程度为95% 单正态总体方差的置信区间 例5(E04)为考察某大学成年男性的胆固醇水平,现抽取了样本容量为25的一样本,并 测得样本均值x=186,样本标准差s=12.假定所论胆固醇水平X~N(A,a2),与σ2均未

( / ) ( / )  = X + u / 2  n − X − u / 2  n 2 , = u / 2  n 于是当 1− = 90% 时,  = 21.652/ 16 =1.65, 当 1− = 95% 时,  = 21.96 2/ 16 =1.96. (2) 欲 使  1, 即 2 / 1, u / 2  n  必 须 (2 ) , 2 n  u / 2 于 是 , 当 1− = 90% 时 , (2 2 1.65) , 2 n    即 n  44, 即 n 至少为 44 时,  的 90%置信区间的长度不超过 1. (3) 当 1− = 95% 时，类似可得 n  62. 注: ① 由(1)知, 当样本容量一定时, 置信度越高, 则置信区间长度越长, 对未知参数的 估计精度越低. ② 在置信区间的长度及估计精度不变的条件下, 要提高置信度, 就须加大样本的容量 n, 以获得总体更多的信息. 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 例 3(E02) 某旅行社随机访问了 25 名旅游者, 得知平均消费额 x = 80 元, 子样标准差 s =12 元, 已知旅游者消费额服从正态分布, 求旅游者平均消费额  的 95%置信区间. 解 对于给定的置信度 95%( = 0.05), ( 1) (24) 2.0639, t / 2 n − = t0.025 = 将 x = 80, s =12, n = 25, (24) 2.0639, t0.025 = 代入计算得  的置信度为 95%的置信区间为 (75.05, 84.95), 即在 2  未知情况下, 估计每个旅游者的平均消费额在 75.05 元至 84.95 元之 间, 这个估计的可靠度是 95%. 注: 与例 1 相比, 在标准差  未知时, 用样本的标准差 S 给出的置信区间偏差不太大. 例 4 (E03) 有一大批袋装糖果. 现从中随机地取 16 袋, 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求总体均值  的置信水平为 0.95 的置信区间. 解 1− = 0.95,  / 2 = 0.025, n −1=15, (15) 2.1315, t0.025 = 由给出的数据算得 x = 5.03.75, s = 6.2022. 可得到均值  的一个置信水平为 0.95 的置 信区间为 (503.75  2.13156.2022/ 16), 即 (500.4,507.1). 这就是说, 估计袋装糖果重量和均值在 500.4 克与 507.1 克之间, 这个估计的右信程度为 95%. 若以此区间内任一值作为  的近似值, 其误差不大于 22.13156.2022/ 16 = 6.61 (克) 这个误差估计的可信程度为 95%. 单正态总体方差的置信区间 例 5 (E04) 为考察某大学成年男性的胆固醇水平, 现抽取了样本容量为25的一样本, 并 测得样本均值 x =186, 样本标准差 s =12 . 假定所论胆固醇水平 ~ ( , ), 2 X N    与 2  均未

知试分别求出a以及a的90%置信区间 解u的置信度为1-a的置信区间为(x±lan2(n-1) 按题设数据a=0.L,x=186,s=12,n=25,查表得lo12(25-1)=1.7109, 于是tn2(n-1)s/√n=1.7109×12/√25=4106,即(18189190. σ的置信度为1-a置信区间为 xa2(n-1)Vx2a2(n-1) 查表得xa1n2(25-1)=3642,x20m2(25-1)=13.85,于是,置信下限和置信上限分别为 24×122/3642=974.√24×122/13.85=15.80 所求a的90%置信区间为(97415:80) 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间 例6(E05)203年在某地区分行业调查职工平均工资情况:已知体育、卫生、社会福利 事业职工工资X(单位:元)~N(12182)文教、艺术、广播事业职工工资Y(单位 元)~N(42272),从总体X中调查30人平均工资12n元,求这两大类行业职工平均工资 之差的99%的置信区间 解由于1-a=099,故a=0.01,查表得0=2.576 又n1=25,n2=30,a2=2182,a2 于是1-2的置信度为99%的置信区间为[-1409168%6],即两大类行业职工平均工 资相差在-14096~16896之间,这个估计的置信度为9% 双正态总体均值差(方差未知)的置信区间 例7(E06)A,B两个地区种植同一型号的小麦.现抽取了19块面积相同的麦田,其中9 块属于地区A,另外10块属于地区B,测得它们的小麦产量(以kg计)分别如下 地区A:100,105,110,125,110,98,105,116,112 地区B:101,100,105,1l5,11,107,106,121,102,92 设地区A的小麦产量X~N(A1,a2),地区B的小麦产量Y~N(42,o2),1,2,a2均未知 试求这两个地区小麦的平均产量之差1-{2的90%置信区间 解由题意知所求置信区间的两个端点分别为(X-1)±tn2(n1+n2-2)Sn 由a=0.1,n1=9,n2=10,查表得tou2(17)=17396,按已给数据计算得 x=109,y=106,2=550/8,s2=606/9

知. 试分别求出  以及  的 90%置信区间. 解  的置信度为 1− 的置信区间为 ( ( 1) / . x  t / 2 n − s n 按题设数据  = 0.1, x =186, s =12, n = 25, 查表得 (25 1) 1.7109, t0.1/ 2 − = 于是 ( 1) / 1.7109 12/ 25 4.106, t / 2 n − s n =  = 即 (181.89,190.11).  的置信度为 1− 置信区间为 . ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) 2 1 / 2 2 2 / 2 2           − − − − − n n S n n S     查表得 (25 1) 36.42, (25 1) 13.85, 2 1 0.1/ 2 2  0.1/ 2 − =  − − = 于是, 置信下限和置信上限分别为 24 12 / 36.42 9.74, 2  = 24 12 /13.85 15.80, 2  = 所求  的 90%置信区间为 (9.74,15.80). 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 例 6 (E05) 2003 年在某地区分行业调查职工平均工资情况: 已知体育、卫生、社会福利 事业职工工资 X (单位: 元) ~ ( ,218 ); 2 N 1 文教、艺术、广播事业职工工资 Y ( 单位: 元) ~ ( ,227 ), 2 N  2 从总体 X 中调查 30 人, 平均工资 1272 元, 求这两大类行业职工平均工资 之差的 99%的置信区间. 解 由于 1− = 0.99, 故  = 0.01, 查表得 2.576, u0.005 = 又 25, n1 = 30, n2 = 218 , 2 2 1 = 227 , 2 2  2 = x =1286, y =1272, 于是 1 −  2 的置信度为 99%的置信区间为 [−140.96,168.96], 即两大类行业职工平均工 资相差在 −140.96 ~ 168.96 之间, 这个估计的置信度为 99%. 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间 例 7 (E06) A, B 两个地区种植同一型号的小麦. 现抽取了 19 块面积相同的麦田, 其中 9 块属于地区 A, 另外 10 块属于地区 B, 测得它们的小麦产量(以 kg 计)分别如下: 地区 A: 100, 105, 110, 125, 110, 98, 105, 116, 112; 地区 B: 101, 100, 105, 115, 111, 107, 106, 121, 102, 92. 设地区 A 的小麦产量 ~ ( , ), 2 X N 1  地区 B 的小麦产量 ~ ( , ) 2 Y N  2  , 1 ,  2 , 2  均未知. 试求这两个地区小麦的平均产量之差 1 −  2 的 90%置信区间. 解 由题意知所求置信区间的两个端点分别为 . 1 1 ( ) ( 2) 1 2 / 2 1 2 n n X −Y  t n + n −  Sw  + 由  = 0.1, 9, n1 = 10, n2 = 查表得 (17) 1.7396, t0.1/ 2 = 按已给数据计算得 x =109, y =106, 550/8, 2 s1 = 606/ 9, 2 s2 =

68 8.246 于是置信下限为(109-106)-1.7396×8246 9+10 置信上限为 (109-106)+17396×8246×1+=959 故均值差山-2的90%的置信区间为(-3.59959 例8为比较L,Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取I型子弹10发,得到枪口速 度的平均值为x1=500(m/s),标准差s1=110(m/s),随机地取Ⅱ型子弹20发,得到枪口速 度的平均值为2=496(m/s).标准差s2=120(m/s)假设两总体都可认为近似地服从正态分 布.且由生产过程可认为方差相等求两总体均值差1-2的一个置信水平为095的置信 区间 解按实际情况,可认为分别来自两个总体的样本是相互独立的,且两总体的方差相等 但数值未知,由于 1-a=0.95,a/2=0025 n1-10,n2=20,n1+n2-2=28,0o025(28)=20484 s2=(9×1.10+19×1202)/28.sx=52=1.168 故所求的两总体均值差41-2的一个置信水平为095的置信区间是 土sn×l0025(28) V1020 (4±0.93),即(307493) 注:本题中得到的置信区间的下限大于零,在实际中我们就认为1比山2大,即I型子弹 的枪口速度大于Ⅱ型子弹的枪口速度 双正态总体方差比的置信区间 例9(E07)某钢铁公司的管理人员为比较新旧两个电炉的温度状况,他们抽取了新电炉 的31个温度数据及旧电炉的25个温度数据,并计算得样本方差分别为s2=75及s2=100 设新电炉的温度X~N(41,a12),旧电炉的温度Y~N(42,a2).试求G12/G2的95%置信区 解21a2的1-a置信区间的两个端点分别是 (Fa/2(n1-1n2-1)1.5与FaA(n2-1,n1-1)5,a=005,m1=31,n2=25 查表得F052(30,24)=221,F052(24,30)=214

68, 2 ( 1) ( 1) 1 2 2 2 2 2 2 1 1 = + − − + − = n n n s n s sw = 8.246, w s 于是置信下限为 3.59, 10 1 9 1 (109 −106) −1.73968.246 + = − 置信上限为 9.59, 10 1 9 1 (109 −106) +1.73968.246 + = 故均值差 1 −  2 的 90%的置信区间为 (−3.59,9.59). 例 8 为比较 I, II 两种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取 I 型子弹 10 发, 得到枪口速 度的平均值为 500( / ) 1 x = m s , 标准差 1.10( / ) 1 s = m s , 随机地取II 型子弹20发, 得到枪口速 度的平均值为 496( / ). 2 x = m s 标准差 1.20( / ). 2 s = m s 假设两总体都可认为近似地服从正态分 布. 且由生产过程可认为方差相等. 求两总体均值差 1 − 2 的一个置信水平为 0.95 的置信 区间. 解 按实际情况, 可认为分别来自两个总体的样本是相互独立的, 且两总体的方差相等, 但数值未知, 由于 1− = 0.95,  / 2 = 0.025, 10, n1 − 20, n2 = 2 28, n1 + n2 − = (28) 2.0484, t0.025 = (9 1.10 19 1.20 )/ 28, 2 2 2 sw =  +  1. 2 sw = sw = 1688, 故所求的两总体均值差 1 −  2 的一个置信水平为 0.95 的置信区间是 (4 0.93), 20 1 10 1 (28) 1 2 0.025 =          x − x  sw t + 即 (3.07,4.93). 注: 本题中得到的置信区间的下限大于零, 在实际中我们就认为 1 比  2 大，即Ⅰ型子弹 的枪口速度大于Ⅱ型子弹的枪口速度. 双正态总体方差比的置信区间 例 9(E07) 某钢铁公司的管理人员为比较新旧两个电炉的温度状况, 他们抽取了新电炉 的 31 个温度数据及旧电炉的 25 个温度数据, 并计算得样本方差分别为 75 2 s1 = 及 100 2 s2 = . 设新电炉的温度 ~ ( , ) 2 X N 1  1 , 旧电炉的温度 ~ ( , ) 2 Y N  2  2 . 试求 2 2 2 1  / 的 95%置信区 间. 解 2 2 2 1  / 的 1− 置信区间的两个端点分别是 2 2 2 1 1 / 2 1 2 ( ( 1, 1)) s s F n − n −  −  与 ( 1, 1) , 2 2 2 1 / 2 2 1 s s F n − n −    = 0.05, 31, n1 = 25, n2 = 查表得 (30,24) 2.21, F0.05/ 2 = (24,30) 2.14. F0.05/ 2 =

于是置信下限为×0=034,置信上限为21475161, 所求置信区间为(034161) 注:在内容小结中分别总结了有关单正态总体参数和双正态总体参数的置信区间,以 方便查用 课堂练习 1.已知某地区农户人均生产蔬菜量为X(单位kg,且X~N(山a2),现随机抽取9个 农户,得人均生产蔬菜量为 75,14 340,400,287,256,244,249 问该地区农户人均生产蔬菜量最多为多少(a=005)? 2.为了考察温度对某物体断裂强度的影响,在70℃与80℃时分别重复了8次试验测 试值的样本方差依次为 s2=0.8857,s2=0.8266 假定70℃下的断裂强度X~N(A1G2,80℃下的断裂强度y~N(A2,2),且X与Y相互 独立,试求方差比a2/a2的置信度为90%的置信区间

于是置信下限为 0.34, 100 75 2.21 1  = 置信上限为 1.61, 100 75 2.14 = 所求置信区间为 (0.34,1.61). 注: 在内容小结中分别总结了有关单正态总体参数和双正态总体参数的置信区间, 以 方便查用. 课堂练习 1. 已知某地区农户人均生产蔬菜量为 X (单位:kg), 且 ~ ( , ), 2 X N   现随机抽取 9 个 农户, 得人均生产蔬菜量为 75, 143, 156, 340, 400, 287, 256, 244, 249 问该地区农户人均生产蔬菜量最多为多少 ( = 0.05) ? 2. 为了考察温度对某物体断裂强度的影响, 在 70℃与 80℃时分别重复了 8 次试验,测 试值的样本方差依次为 0.8857, 0.8266, 2 2 2 s1 = s = 假定 70℃下的断裂强度 ~ ( , ), 2 X N 1  1 80℃下的断裂强度 ~ ( , ), 2 Y N  2  2 且 X 与 Y 相互 独立, 试求方差比 2 2 2 1  / 的置信度为 90%的置信区间