《概率论与数理统计》课程教学资源（简明版理工类，讲义）第三章 多维随机变量及其分布（3.1）多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布 在实际应用中,有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如,研 究某地区学龄前儿童的发育情况时,就要同时抽查儿童的身高H、体重W,这里,H和W 是定义在同一个样本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量.又如,考 察某次射击中弹着点的位置时,就要同时考察弹着点的横坐标X和纵坐标Y.在这种情况 下,我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律,而且还要研究它们之间的统计相依关系 因而还需考察它们的联合取值的统计规律,即多为随机变量的分布.由于从二维推广到多维 一般无实质性的困难,故我们重点讨论二维随机变量 第一节多维随机变及其分布 分布图示 二维随机变量 ★二维随机变量的分布函数 ★二维离散型随机变量及其概率分布 ★例2 ★例3 ★例5 ★例 ★二维连续型随机变量及其概率密度 ★例7 ★例8 ★例9 ★二维均匀分布 ★例10 ★二维正态分布 ★例 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题3-1 ★返回 内容要点 二维随机变量 定义1设随机试验的样本空间为S={e},e∈S为样本点,而 X=X(e), r=Y(e) 是定义在S上的两个随机变量,称(X,Y)为定义在S上的二维随机变量或二维随机向量 二维随机变量的分布函数 定义2设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数x,y,二元函数 F(xy)=P(x≤x)∩P(≤y)P{X≤x,y≤y 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随机变量X和Y的联合分布函数

第三章 多维随机变量及其分布 在实际应用中, 有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 研 究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要同时抽查儿童的身高 H 、体重 W , 这里, H 和 W 是定义在同一个样本空间 S ={e} = {某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量. 又如, 考 察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标 X 和纵坐标 Y . 在这种情况 下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系， 因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布. 由于从二维推广到多维 一般无实质性的困难, 故我们重点讨论二维随机变量. 第一节 多维随机变及其分布 分布图示 ★ 二维随机变量 ★ 二维随机变量的分布函数 ★ 例1 ★ 二维离散型随机变量及其概率分布 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 二维连续型随机变量及其概率密度 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 二维均匀分布 ★ 例 10 ★ 二维正态分布 ★ 例 11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 3-1 ★ 返回 内容要点 一、二维随机变量 定义 1 设随机试验的样本空间为 S ={e}, e S 为样本点，而 X = X(e),Y = Y(e) 是定义在 S 上的两个随机变量, 称 (X,Y) 为定义在 S 上的二维随机变量或二维随机向量. 二、二维随机变量的分布函数 定义 2 设 (X,Y) 是二维随机变量, 对任意实数 x, y , 二元函数 F(x, y) = P{(X  x)} P{(Y  y)} P{X  x,Y  y} 记为  称为二维随机变量 (X,Y) 的分布函数或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数

联合分布函数的性质 (1)0≤F(x,y)≤1,且 对任意固定的y,F(-∞,y)=0, 对任意固定的x,F(x,-∞)=0, F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1 (2)F(x,y)关于x和y均为单调非减函数,即 对任意固定的y,当x2>x1,F(x2,y)≥F(x1,y) 对任意固定的x,当y2>y13F(x,y2)≥F(x,y) (3)F(x,y)关于x和y均为右连续,即F(x,y)=F(x+0,y,F(x,y)=F(x,y+0) 三、二维高离散型随机变量及其概率分布 定义3若二维随机变量(X,Y)只取有限个或可数个值,则称(x,)为二维离散型随机 变量 结论:(X,Y)为二维离散型随机变量当且仅当X,Y均为离散型随机变量 若二维离散型随机变量(X,1)所有可能的取值为(x,y),j=12…,则称 P{X=x,Y=y}=P(,j=12…) 为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布(分布律),或与Y的联合概率分布(分布律) 与一维情形类似有时也将联合概率分布用表格形式来表示,并称为联合概率分布表: 注:对离散型随机变量而言,联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观,而且能够更 加方便地确定(X,Y)取值于任何区域D上的概率,即 P(x,)eD=∑ 特别地,由联合概率分布可以确定联合分布函数 F(xy)=P{ Xsx,syl=∑P x sx, s) 四、二维连续型随机变量及其概率密度 定义设(X,)为二维随机变量,F(x,y)为其分布函数,若存在一个非负可积的二元函 数f(x,y),使对任意实数(x,y),有 F(x,y)=[L/(s,(dsdt 则称(x,Y)为二维连续型随机变量,并称∫(x,y)为(X,Y)的概率密度(密度函数),或X, 的联合概率密度(联合密度函数) 概率密度函数f(x,y)的性质 )/(xy)20.(2)C(xyhb=F+2+)= (3)设D是xOy平面上的区域点(X,Y)落入D内的概率为

联合分布函数的性质: （1） 0  F(x, y) 1, 且 对任意固定的 y, F(−, y) = 0, 对任意固定的 x,F(x,−) = 0, F(−,−) = 0,F(+,+) =1; (2) F(x, y) 关于 x 和 y 均为单调非减函数, 即 对任意固定的 y, 当 , ( , ) ( , ), 2 1 2 1 x  x F x y  F x y 对任意固定的 x, 当 , ( , ) ( , ); 2 1 2 1 y  y F x y  F x y (3) F(x, y) 关于 x 和 y 均为右连续, 即 F(x, y) = F(x + 0, y),F(x, y) = F(x, y + 0). 三、二维离散型随机变量及其概率分布 定义 3 若二维随机变量 (X,Y) 只取有限个或可数个值, 则称 (X,Y) 为二维离散型随机 变量. 结论： (X,Y) 为二维离散型随机变量当且仅当 X,Y 均为离散型随机变量. 若二维离散型随机变量 (X,Y) 所有可能的取值为 ( , ) i j x y i, j =1,2,  , 则称 P{X = x ,Y = y }= p (i, j =1,2, ) i j ij 为二维离散型随机变量 (X,Y) 的概率分布(分布律), 或 X与Y 的联合概率分布(分布律). 与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: 注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更 加方便地确定 (X,Y) 取值于任何区域 D 上的概率，即    = x y D ij i j P X Y D p ( , ) {( , ) } , 特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数: ( , ) { , } . ,    =   = x x y y ij i j F x y P X x Y y p 四、二维连续型随机变量及其概率密度 定义 设 (X,Y) 为二维随机变量, F(x, y) 为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函 数 f (x, y) , 使对任意实数 (x, y), 有 ( , ) ( , ) , − − = x y F x y f s t dsdt 则称 (X,Y) 为二维连续型随机变量, 并称 f (x, y) 为 (X,Y) 的概率密度(密度函数), 或 X,Y 的联合概率密度(联合密度函数). 概率密度函数 f (x, y) 的性质: (1) f (x, y)  0; (2) ( , ) = (+,+) =1;    −  − f x y dxdy F (3) 设 D 是 xOy 平面上的区域,点 (X,Y) 落入 D 内的概率为

PI(x, yED=f(, y)dxdy 特别地,边缘分布函数 (0Px=P5x+-C厂MmC[Cmp 上式表明:X是连续型随机变量,且其密度函数为 f(x)= f(r, y)a 同理,Y是连续型随机变量,且其密度函数为 f1(y)= 分别称f1(x)和f(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度函数 (4)若x,y)在点(x,y)连续,则有9(xy=(xy) 进一步,根据偏导数的定义,可推得:当Ax,Ay很小时,有 P{x0,a2>0,pk1,则称(X,Y)服从参数为A1,k2,a12G2,p 的二维正态分布 注:二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布,且都不依赖于参数ρ,亦 即对给定的1,2,O1,O2,不同的p对应不同的二维正态分布,但它们的边缘分布都是相同 的,因此仅由关于X和关于Y的边缘分布,一般来说是不能确定二维随机变量(X,Y)的联合 分布的 例题选讲

  = D P{(x, y) D} f (x, y)dxdy 特别地, 边缘分布函数 F (x) = P{X  x} = P{X  x,Y  +} X ( , ) ( , ) ,   −  + − − + −       = = x x f s t dsdt f s t dt ds 上式表明: X 是连续型随机变量, 且其密度函数为: ( ) ( , ) ,  + − f x = f x y dy X 同理, Y 是连续型随机变量, 且其密度函数为:  + − f y = f x y dx Y ( ) ( , ) , 分别称 f (x) X 和 f ( y) Y 为 (X,Y) 关于 X 和 Y 的边缘密度函数. (4) 若 f (x, y) 在点 (x, y) 连续, 则有 ( , ). ( , ) 2 f x y x y F x y =    进一步, 根据偏导数的定义, 可推得:当 x,y 很小时, 有 P{x  X  x + x, y  Y  y + y}  f (x, y)xy, 即, (X,Y) 落在区间 (x, x + x](y, y + y] 上的概率近似等于 f (x, y)xy. 五、二维均匀分布 设 G 是平面上的有界区域,其面积为 A .若二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度函数       = 0, 其它 , ( , ) 1 ( , ) x y G f x y A 则称 (X,Y) 在 G 上服从均匀分布. 六、二维正态分布 若二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度                 − +         −         − −         − − − − = 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2(1 ) 1 2 2 1 2 1 1 ( , )              x x y y f x y e 其中 1 , 2 , 1 , 2 ,  均为常数,且 1  0, 2  0,|  |1 ,则称 (X,Y) 服从参数为 1 , 2 , 1 , 2 ,  的二维正态分布. 注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数  ，亦 即对给定的 1 2 1 2  ,  , , ，不同的  对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同 的，因此仅由关于 X 和关于 Y 的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量 (X,Y) 的联合 分布的. 例题选讲

二维随机变量的分布函数 例1设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=AB+arc 0<X<+0,-0<y<+0 (1)试确定常数AB,C (2)求事件{2<X<+0,0<Y≤3}的概率 解(1)由二维随机变量的分布函数的性质,可得 F(+∞,+∞)=A(B+r/2)C+x/2)=1, F(-∞+∞)=A(B-x/2)C+z/2)=0 F(+∞,-∞)=A(B+x/2)C-/2)=0, 由这三个等式中的第一个等式知A≠0,B+r/2≠0,C+x/2≠0, 故由第二、三个等式知B-/2=0,C-/2=0,于是得B=C=r/2,A=1/2 故(x,y)的分布函数为F(xy)=-2+ arctan 22+arctan 3 (2)由(1)式得 P{2<X+∞,0<Y<3}=F(+∞3)-F(+0,0)-F(2,3)+F(20)=1/16 二维离散型随机变量及其概率分布 例2(E01)设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量Y 在1~X中等可能地取一整数值,试求(X,Y)的分布律 解由乘法公式容易求得(X,H)的分布律.易知{X=i,=}的取值情况是:i=1,2,34, 取不大于i的正整数,且 P{X=1,Y=}=P{Y=jX=1}P{X=i} 于是(X,Y)的分布律为 2 4 l/12 1/16 l/16 0 0 l/12 1/16 0 0 0 1/16 例3(E02)把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次抛掷中正面出现的次数,而Y为正面 出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的概率分布及(X,Y)关于X,y的边缘分 解(x,Y)可取值(0,3),(1,1)、2,1)(3,3) P{X=0,y=3}=(1/2)3=1/8, P{X=1,Y=1}=3(1/2)=3/8, P{X=2,Y=l}=3 P{X=3,y=3}=l/

二维随机变量的分布函数 例 1 设二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为  −    + −    +       +      = + x y y C x F x y A B , , 3 arctan 2 ( , ) arctan (1) 试确定常数 A, B,C; (2) 求事件 {2  X  +,0  Y  3} 的概率. 解 (1) 由二维随机变量的分布函数的性质, 可得 F(+,+) = A(B + / 2)(C + / 2) =1, F(−,+) = A(B − / 2)(C + / 2) = 0, F(+,−) = A(B + / 2)(C − / 2) = 0, 由这三个等式中的第一个等式知 A  0, B + / 2  0, C + / 2  0, 故由第二、三个等式知 B − / 2 = 0, C − / 2 = 0, 于是得 B =C = / 2, 2 A =1/ 故 (X,Y) 的分布函数为 . 3 arctan 2 2 arctan 2 1 ( , ) 2        +      = + x y F x y    (2) 由(1)式得 P{2  X + ,0  Y  3} = F(+,3) − F(+,0) − F(2,3) + F(2,0) =1/16. 二维离散型随机变量及其概率分布 例 2 (E01) 设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量 Y 在 1~ X 中等可能地取一整数值，试求 (X,Y) 的分布律. 解 由乘法公式容易求得 (X,Y) 的分布律. 易知 {X = i,Y = j} 的取值情况是: i =1,2,3,4, 取不大于 i 的正整数, 且 P{X = i,Y = j} = P{Y = j | X = i}P{X = i} , 4 1 1 =  i i =1,2,3,4, j  i 于是 (X,Y) 的分布律为 例 3 (E02) 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设 X 为三次抛掷中正面出现的次数, 而 Y 为正面 出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求 (X,Y) 的概率分布及 (X,Y) 关于 X,Y 的边缘分 布. 解 (X,Y) 可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3) { 0, 3} (1/ 2) 1/8, 3 P X = Y = = = { 1, 1} 3(1/ 2) 3/8, 3 P X = Y = = = P{X = 2,Y =1} = 3/8, P{X = 3,Y = 3} =1/8, X 1 2 3 4 Y 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16

故(X,Y)的概率分布如右表从概率分布表不难求得(X,Y)关于X,的边缘分布 P{X=0)}=1/8,P(X=l}=3/8 P{X=2}=3/8,P{X=3}=1/8, P{Y=1}=3/8+3/8=6/8 P{Y=3}=1/8+1/8=2/8, 从而得右表 PIX=x 3/8 0 1/8 1/8 P=yi 例4设二维随机变量的联合概率分布为 -2 0.3 0.1 0.1 0.05 0 0 0.05 求P{X≤1,Y≥0}及F(00) 解P{X≤1,y≥0}=P{X=-1y=0}+P{X=-1,Y=l}+P{X=1y=0}+P{X=1,Y=l} =0.1+0.1+0.2+0=0.4 F(00)=P{X=-,y=-2}+P{X=-1Y=0}=0.3+0.1=04 例5设(X,)的概率分布由下表给出,求 P{X≠0,Y=0},P{X≤0,Y≤0} PiXY=O, PX=Y, PXHYD 0.2 0.1 解P{X≠0,y=0}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=005+0=0.05 P{X≠0,=0}=P(X=0,y=-1}+P{X=0,y=0}=0.1+02=03 P{XHY|}=P{X=0,y=0}+P{X=1y=-l}+P{X=1,Y=-1}=02+0.3+0.1=06 例6一整数N等可能地在1,23,…,10十个值中取一个值.设D=D(N)是能整除N 的正整数的个数,F=F(N)是能整除N的素数的个数(注意1不是素数).试写出D和F 的联合分布律,并求分布律

故 (X,Y) 的概率分布如右表. 从概率分布表不难求得 (X,Y) 关于 X,Y 的边缘分布. P{X = 0}=1/8, P{X =1} = 3/8, P{X = 2} = 3/8, P{X = 3}=1/8, P{Y =1} = 3/8 + 3/8 = 6/8, P{Y = 3}=1/8 +1/8 = 2/8, 从而得右表 Y 1 3 { }i P X = x X 0 0 1/8 1/8 1 3/8 0 3/8 2 3/8 0 3/8 3 0 1/8 1/8 { }i P Y = y 6/8 2/8 1 例 4 设二维随机变量的联合概率分布为 Y X −2 0 1 −1 0.3 0.1 0.1 1 0.05 0.2 0 2 0.2 0 0.05 求 P{X 1,Y  0} 及 F(0,0). 解 P{X 1,Y  0} = P{X = −1,Y = 0}+ P{X = −1,Y =1} +P{X =1,Y = 0}+ P{X =1,Y =1} = 0.1+ 0.1+ 0.2 + 0 = 0.4. F(0,0) = P{X = −1,Y = −2}+ P{X = −1,Y = 0} = 0.3 + 0.1= 0.4. 例 5 设 (X,Y) 的概率分布由下表给出，求 P{X  0,Y = 0},P{X  0,Y  0}, P{XY = 0},P{X = Y},P{| X |=| Y |}. Y X −1 0 2 0 0.1 0.2 0 1 0.2 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1 解 P{X  0,Y = 0} = P{X =1,Y = 0}+ P{X = 2,Y = 0} = 0.05+ 0 = 0.05, P{X  0,Y = 0} = P{X = 0,Y = −1}+ P{X = 0,Y = 0} = 0.1+ 0.2 = 0.3, P{| X |=|Y |}= P{X = 0,Y = 0}+ P{X =1,Y = −1} +P{X =1,Y = −1} = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6. 例 6 一整数 N 等可能地在 1,2,3,  ,10 十个值中取一个值. 设 D = D(N) 是能整除 N 的正整数的个数， F = F(N) 是能整除 N 的素数的个数（注意 1 不是素数）. 试写出 D 和 F 的联合分布律, 并求分布律

解将试验的样本空间及DF取值的情况列表如下 F0111121112 D所有可能取值为1,2,3,4;F所有可能取值为0,1,2 容易得到(D,F)取(,j),i=123.4,j=0,12的概率,可得D和F的联合分布律及边缘 分布律如下表 D 3 4|PF=} F 10|2/10 7/10 0 2/10 2/10 PD=104102/03/10 即有边缘分布律 D|1 Pk104/02/103/0p41/107/02/0 二维连续型随机变量及其概率密度 例7(E03)设二维随机变量(X,y)具有概率密度 x>0,y>0 f(x,y)= 其它 (1)求分布函数F(x,y);(2)求概率P{Y≤X} 解(1)F(x,y) f(x, y)dxdy 0,y>0 其它 即有F(x e2)(1-e),x>0,y>0 其它 (2)将(X,)看作是平面上随机点的坐标,即有{Y≤X}={(X,Y)∈G},其中G为xOy 平面上直线y=x及其下方的部分,如图3-1-3.于是 P(Ysx)=P((x,y)EG=/(x,y)dxdy= 2e -(2x+y)dxdy 例8(E04)设(X,Y)的概率密度是

解 将试验的样本空间及 D,F 取值的情况列表如下: 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F D D 所有可能取值为 1,2,3,4; F 所有可能取值为 0,1,2. 容易得到 (D,F) 取 (i, j), i =1,2,3,4, j = 0,1,2 的概率, 可得 D 和 F 的联合分布律及边缘 分布律如下表: D 1 2 3 4 P{F = j} F 0 1/10 0 0 0 1/10 1 0 4/10 2/10 1/10 7/10 2 0 0 0 2/10 2/10 P{D = i} 1/10 4/10 2/10 3/10 1 即有边缘分布律 1/10 4 /10 2 /10 3/10 1 2 3 4 pk D 1/10 7 /10 2 /10 0 1 2 pk F 二维连续型随机变量及其概率密度 例 7 (E03) 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 , 0, 2 , 0, 0 ( , ) (2 )       = − + 其它 e x y f x y x y (1) 求分布函数 F(x, y); (2) 求概率 P{Y  X}. 解 (1) − − = y x F(x, y) f (x, y)dxdy       =   − + , 0, 2 , 0, 0 0 (2 ) 0 其它 e dxdy x y x x y y 即有 . 0, (1 )(1 ), 0, 0 ( , ) 2    − −   = − − 其它 e e x y F x y x y (2) 将 (X,Y) 看作是平面上随机点的坐标, 即有 {Y  X} ={(X,Y)G}, 其中 G 为 xOy 平面上直线 y = x 及其下方的部分, 如图 3-1-3. 于是 P{Y  X} = P{(x, y)G  = G f (x, y)dxdy   + − + + = y x y e dxdy (2 ) 0 2   + − + + − = y x y dy e dx (2 ) 2  + − − − + = e −e dy y y x [ ] 2 . 3 3 1 = =  + − − e dy y 例 8 (E04) 设 (X,Y) 的概率密度是

Cy(2-x),0≤x≤1,0≤y≤x f(x, y) 其它 求(1)c的值;(2)两个边缘密度 解()由(xy)b=1确定c如图314 =5c/24=1cAc=24/5 (2)fx(x)= (2-x)dyf(2-x)0≤x≤1 124 f(y)==y(2-x)dr= 0≤v≤1 1(x)={x(2-x).0sx≤1 其它 f()=15 其它 例9设随机变量X和Y具有联合概率密度 y≤x f(x, y) 0,其它 求边缘概率密度∫x(x),f(y) 解f(x)=f(xy)=6=6(x-x2,0≤x≤1 其它 fr=()=.f(x,y)dx=6dx=6vy-y),sys 其它 二维均匀分布 例10(E05)设(X,Y服从单位圆域x2+y2≤1上(见图3-1-6)的均匀分布,求X和y的边 缘概率密度 解f(x,y)= +y2≤时 其它 当x1时,f(x,y)=0,从而fx(x)=0

   −     = 0, 其它 (2 ), 0 1,0 ( , ) cy x x y x f x y 求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度. 解 (1) 由 ( , ) =1   + − + − f x y dxdy 确定 c, 如图 3-1-4. cy x dy dx x       −  0 1 0 (2 )  = − 1 0 2 c [x (2 x)/ 2]dx = 5c / 24 =1 c = 24/ 5. (2) (2 ), 5 12 (2 ) 5 24 ( ) 2 0 f x y x dy x x x X = − = −  0  x 1 , 2 2 2 3 5 24 (2 ) 5 24 ( ) 2 1         = − = − +  y f y y x dx y y y Y 0  y 1 即     −   = 0, 其它 (2 ), 0 1 5 12 ( ) 2 x x x f x X . 0, , 0 1 2 2 2 3 5 24 ( ) 2                − + = 其它 y y y y f y Y 例 9 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度      = 0, 其它 6, ( , ) 2 x y x f x y 求边缘概率密度 f (x), X f ( y) Y . 解  + − f x = f x y dy X ( ) ( , ) , 0, 6 6( ), 0 1 2 2     = −   =  其它 dy x x x x x  + − f = y = f x y dx Y ( ) ( , ) . 0, 6 6( ), 0 1      = −   =  其它 dx y y y y y 二维均匀分布 例 10 (E05) 设 (X,Y) 服从单位圆域 1 2 2 x + y  上(见图 3-1-6)的均匀分布, 求X 和Y 的边 缘概率密度. 解 , 0, 1/ , 1 ( , ) 2 2    +  = 其它 当x y 时 f x y  当 x  −1 或 x  1 时， f (x, y) = 0, 从而 f (x) = 0. X O x y y = x y = x 2 1 1 1 1 x y − O

当-1≤x≤1时,f(x)=」(x地√3的3 i-x2t 于是我们得到x的边缘概率密度f(x)={z x2,-1≤x≤l 其它 由X和y在问题中地位的对称性,将上式中的x改成y,就得到Y的边缘概率密度 fr()=z l≤y≤1 其它 二维正态分布 例1E06)设二维随机变量(X,Y)的概率密度 f(r,y) t sinxsin 1 试求关于X,Y的边缘概率密度函数 解利用r函数及奇偶函数的积分性质得 (0)(xy)b=c-2,0)=xy 注:此例说明,边缘分布均为正态分布的二维随机变量,其联合分布不一定是二维正态 分布 课堂练习 1.将两封信随意地投入3个邮筒,设X,Y分别表示投入第1,2号邮筒中信的数目,求 X和Y的联合概率分布及边缘概率分布 2.设向量(X,Y)的密度函数f(x,y)的密度函数为 kxy,0≤x≤1,0≤y≤1 f(x, y) 0,其它 求(1)参数k的值;(2)(X,Y)的边缘密度

当 −1  x 1 时，  + − f x = f x y dy X ( ) ( , ) 1 . 1 2 2 1 1 2 2 dy x x x = = −  − − −   于是我们得到 X 的边缘概率密度     − −   = 0, 其它 1 , 1 1 2 ( ) 2 x x f x X  由 X 和 Y 在问题中地位的对称性, 将上式中的 x 改成 y, 就得到 Y 的边缘概率密度 . 0, 1 , 1 1 2 ( ) 2     − −   = 其它 y y f y Y  二维正态分布 例 11(E06) 设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度 (1 sin sin ), 2 1 ( , ) ( ) 2 1 2 2 f x y e x y x y = + − +  试求关于 X,Y 的边缘概率密度函数. 解 利用  函数及奇偶函数的积分性质得 , 2 1 ( ) ( , ) / 2 2 x X f x f x y dy e − + − = =   . 2 1 ( ) ( , ) / 2 2 y Y f y f x y dx e − + − = =   注: 此例说明, 边缘分布均为正态分布的二维随机变量, 其联合分布不一定是二维正态 分布. 课堂练习 1. 将两封信随意地投入 3 个邮筒, 设 X ,Y 分别表示投入第 1, 2 号邮筒中信的数目, 求 X 和 Y 的联合概率分布及边缘概率分布. 2. 设向量 (X,Y) 的密度函数 f (x, y) 的密度函数为        = 0, 其它 , 0 1, 0 1 ( , ) kxy x y f x y 求 (1) 参数 k 的值；（2） (X,Y) 的边缘密度