第二节随机事件的概率 对一个随机事件A,在一次随机试验中,它是否会发生,事先不能确定.但我们可以问 在一次试验中,事件A发生的可能性有多大?并希望找到一个合适的数来表征事件A在 次试验中发生的可能性大小、为此,本节首先引入频率,它描述了事件发生的频繁程度,进 而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数概率 分布图示 ★频率及其性质 ★例 ★概率的统计定义 ★例3 ★概率的公理化定义 ★概率的性质 ★例4 ★例5 ★例6 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题1-2 ★返回 内容要点 频率及其性质 定义1若在相同条件下进行n次试验,其中事件A发生的次数为r(A),则称 4≈6(4 为事件A发生的频率 易见,频率具有下述基本性质 0≤fn(4)≤1 2.fn(S)=1 3.设A,A2,…,Ln是两两互不相容的事件,则 fGn(4∪A2U…∪UAn)=fn(41)+fn(42)+…+fn(An) 概率的公理化定义 定义2在相同条件下重复进行n次试验,若事件A发生的频率f(4)=5(随着试验 次数n的增大而稳定地在某个常数p(0≤p≤1)附近摆动,则称p为事件的概率,记为P(A) 频率的稳定值是概率的外在表现,并非概率的本质.据此确定某事件的概率是困难的, 但当进行大量重复试验时,频率会接近稳定值,因此,在实际应用时,往往是用试验次数足够 大的频率来估计概率的大小,且随着试验次数的增加,估计的精度会越来越高
第二节 随机事件的概率 对一个随机事件 A ，在一次随机试验中，它是否会发生，事先不能确定. 但我们可以问， 在一次试验中，事件 A 发生的可能性有多大？并希望找到一个合适的数来表征事件 A 在一 次试验中发生的可能性大小. 为此，本节首先引入频率，它描述了事件发生的频繁程度，进 而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数----概率. 分布图示 ★ 频率及其性质 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 概率的统计定义 ★ 例 3 ★ 概率的公理化定义 ★ 概率的性质 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-2 ★ 返回 内容要点 一. 频率及其性质 定义 1 若在相同条件下进行 n 次试验, 其中事件 A 发生的次数为 r (A) n , 则称 n r A f A n n ( ) ( ) = 为事件 A 发生的频率. 易见, 频率具有下述基本性质: 1. 0 f (A) 1; n 2. f (S) =1; n 3. 设 A A An , , , 1 2 是两两互不相容的事件, 则 ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 2 n n 1 n 2 n An f A A A = f A + f A ++ f . 二. 概率的公理化定义 定义 2 在相同条件下重复进行 n 次试验，若事件 A 发生的频率 n r A f A n n ( ) ( ) = 随着试验 次数 n 的增大而稳定地在某个常数 p ( 0 p 1) 附近摆动，则称 p 为事件的概率，记为 P(A) . 频率的稳定值是概率的外在表现, 并非概率的本质. 据此确定某事件的概率是困难的， 但当进行大量重复试验时,频率会接近稳定值, 因此，在实际应用时，往往是用试验次数足够 大的频率来估计概率的大小, 且随着试验次数的增加, 估计的精度会越来越高
三.概率的性质 性质1-性质6 例题选讲 频率及其性质 例1(E01)圆周率x=3.1415926…是一个无限不循环小数,我国数学家祖冲之第 次把它计算到小数点后七位,这个记录保持了1000多年!以后有人不断把它算得更精确 1873年,英国学者沈克士公布了一个丌的数值,它的数目在小数点后一共有707位之多!但 几十年后,曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑他统计了x的608位小数,得到了下表: 匚数字0 56789 出现次数60626768645662445867 你能说出他产生怀疑的理由吗? 因为丌是一个无限不循环小数,所以,理论上每个数字出现的次数应近似相等,或它 们出现的频率应都接近于0.1,但7出现的频率过小这就是费林产生怀疑的理由 例2(E02)检查某工厂一批产品的质量从中分别抽取10件、20件、50件、100件、 150件、200件、300件来检查,检查结果及次品频列入表1-21 抽取产品总件数n102050100150 次品数p 20 次品频率/n00.0500.0600050004700550053 由表1看出,在抽出的n件产品中,次品数μ随着n的不同而取不同值,从而次品频率 出仅在005附近有微小变化所以005是次品频率的稳定值 概率的统计定义 例3(E03)从某鱼池中取100条鱼,做上记号后再放入该鱼池中.现从该池中任意捉来 40条鱼,发现其中两条有记号,问池内大约有多少条鱼? 100 解设池内有n条鱼,则从池中捉到一条有记号鱼的概率为,它近似于捉到有记号 鱼的频率一,即 1002 n=2000故池内大约有2000条鱼 概率的性质 例4(E04)已知P(A)=0.5,P(AB)=0.2,P(B)=0.4,求 (1)P(AB);(2)P(A-B);(3)P(AUB);(4)P(AB) 解(1)因为AB+AB=B,且AB与AB是不相容的,故有P(AB)+P(AB)=P(B) 于是P(AB)=P(B)-P(AB)=04-02=02 (2)P(A=1-P(A)=1-0.5=05 P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5-0.2=0.3
三. 概率的性质 性质 1--性质 6 例题选讲 频率及其性质 例 1（E01） 圆周率 = 3.1415926 是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一 次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了 1000 多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873 年, 英国学者沈克士公布了一个 的数值, 它的数目在小数点后一共有 707 位之多! 但 几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了 的 608 位小数, 得到了下表: 60 62 67 68 64 56 62 44 58 67 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 出现次数 数字 你能说出他产生怀疑的理由吗? 因为 是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它 们出现的频率应都接近于 0.1，但 7 出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 例 2（E02） 检查某工厂一批产品的质量, 从中分别抽取 10 件、20 件、50 件、100 件、 150 件、200 件、300 件来检查, 检查结果及次品频列入表 1-21 / 0 0.050 0.060 0.050 0.047 0.055 0.053 0 1 3 5 7 11 16 10 20 50 100 150 200 300 n n 次品频率 次品数 抽取产品总件数 由表 1 看出, 在抽出的 n 件产品中, 次品数 随着 n 的不同而取不同值, 从而次品频率 n 仅在 0.05 附近有微小变化. 所以 0.05 是次品频率的稳定值. 概率的统计定义 例 3（E03）从某鱼池中取 100 条鱼, 做上记号后再放入该鱼池中. 现从该池中任意捉来 40 条鱼, 发现其中两条有记号, 问池内大约有多少条鱼? 解 设池内有 n 条鱼, 则从池中捉到一条有记号鱼的概率为 , 100 n 它近似于捉到有记号 鱼的频率 , 40 2 即 40 100 2 n n = 2000, 故池内大约有 2000 条鱼. 概率的性质 例 4（E04）已知 P(A) = 0.5, P(AB) = 0.2, P(B) = 0.4 , 求 (1) P(AB) ; (2) P(A − B) ; (3) P(A B) ; (4) P(AB) . 解 (1) 因为 AB + AB = B, 且 AB 与 AB 是不相容的, 故有 P(AB) + P(AB) = P(B) 于是 P(AB) = P(B) − P(AB) = 0.4 − 0.2 = 0.2; (2) P(A) =1− P(A) =1− 0.5 = 0.5, P(A− B) = P(A) − P(AB) = 0.5 − 0.2 = 0.3;
(3)P(AUB)=p(4)+P(B)-P(AB)=0.5+04-02=0.7; (4)P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-0.7=0.3 例5观察某地区未来5天的天气情况,记A1为事件:“有i天不下雨”,已知 P(4)=iP(A)i=1,2,3,4,5.求下列各事件的概率: (1)5天均下雨;(2)至少一天不下雨;(2)至多三天不下雨 解显然A4,A1…A5是两两不相容事件且UA=S,故 I=P(S) ∑P(4)=P(4)+∑P(4)=16P(46) 于是 P(40)=,,P(41) 16 记(1),(2)(3)中三个事件分别为A,B,C,则 (1)P(A)=P(A0) 1-P(4) (3)PC)=PU4|=∑P(4) 例6某城市中发行2种报纸A,B.经调查,在这2种报纸的订户中,订阅A报的有45% 订阅B报的有35%,同时订阅2种报纸A,B的有10%求只订一种报纸的概率a 解记事A={订阅A报},B={订阅B报},则 只订一种报}=(A-BU(B-A)=ABU 又这两件事是互不相容的,由概率加法公式及性质4,有 a=P(A-AB)+P(B-AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.45-0.1+0.35-0.1=0.6 课堂练习 1.设AB=,P(A)=0.6,P(A+B)=08,求事件B的逆事件的概率 2.设P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A+B)=06,求P(A-B) 3.设A,B都出现的概率与A,B都不出现的概率相等,且P(A)=P,求P(B
(3) P(A B) = p(A) + P(B) − P(AB) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7; (4) P(AB) = P(A B) =1− P(A B) =1− 0.7 = 0.3. 例 5 观察某地区未来 5 天的天气情况, 记 Ai 为事件: “有 i 天不下雨”, 已知 ( ) ( ), A0 P Ai = iP i = 1,2,3,4,5. 求下列各事件的概率: (1) 5 天均下雨; (2) 至少一天不下雨; (2) 至多三天不下雨. 解 显然 0 1 5 A , A , A 是两两不相容事件且 , 5 0 Ai S i = = 故 = + = i i P S P A 5 0 1 ( ) = = 5 0 ( ) i P Ai = = + 5 1 0 0 ( ) ( ) i P A iP A 16 ( ) = P A0 于是 , 16 1 ( ) P A0 = , 16 ( ) i P Ai = i =1,2,3,4,5, 记(1),(2),(3)中三个事件分别为 A,B,C, 则 (1) P(A) ( ) = P A0 , 16 1 = (2) P(B) = = i i P A 5 1 1 ( ) = − P A0 , 16 15 = (3) P(C) = = i i P A 3 0 = = 3 0 ( ) i P Ai . 16 7 = 例 6 某城市中发行2种报纸A, B. 经调查, 在这2种报纸的订户中, 订阅A 报的有45%, 订阅 B 报的有 35%, 同时订阅 2 种报纸 A, B 的有 10%. 求只订一种报纸的概率 a. 解 记事 A ={订阅A报}, B ={订阅B报}, 则 {只订一种报} = (A− B)(B − A) = AB BA, 又这两件事是互不相容的, 由概率加法公式及性质 4, 有 = P(A− AB) + P(B − AB) = P(A) − P(AB) + P(B) − P(AB) = 0.45 − 0.1+ 0.35 − 0.1 =0.6. 课堂练习 1. 设 AB = , P(A) = 0.6, P(A + B) = 0.8, 求事件 B 的逆事件的概率. 2. 设 P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(A + B) = 0.6, 求 P(A− B) . 3. 设 A, B 都出现的概率与 A, B 都不出现的概率相等, 且 P(A) = p , 求 P(B)
