《常微分方程》第五章 线性微分方程组（5.1）存在唯一性定理习题解答

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存在性与唯一性 第五章 线性微分方程组

§5.1存在唯一定理 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助

存在性与唯一性 §5.1 存在唯一性定理

线性微分方程组的有关概念 1线性微分方程组的定义 定义形如 x1=a1(D)x1+a12()x2+…+a1n()xn+f1(t x2=a21(1)x1+a2(1)x2+…+a2n()xn+2(1)(5 ●香●0● xn=an(1)x1+an2(1)x2+…+amn(t)xn+f(t) 的微分方程组,称为一阶线性微分方程组 其中an(t)(,j,=1,2,…,n),f()(i=1,2,…n)在a≤t≤b上连续 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助

存在性与唯一性 一、线性微分方程组的有关概念 1 线性微分方程组的定义 定义 形如 ' 1 11 1 12 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x a t x a t x a t x f t = + + + + ' 2 21 1 22 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x a t x a t x a t x f t = + + + + ' 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n nn n n x a t x a t x a t x f t = + + + +      (5.1) 的微分方程组,称为一阶线性微分方程组. ( )( , , 1,2, , ), ( )( 1,2, , ) ij i 其中 在 上连续. a t i j n f t i n a t b = =  

两设函数组x(i=1,2,…,m)在a≤t≤b上连续,且 dx, (t) =an()x1+a12(t)x2+…+an(t)xn+f(t) 则称函数组x1(1)x2(1)…,x()为微分方程组(51)在 a≤t≤b上的一个解 (51)含有n个独立的任常数c12C2…,Cn的解 x1(t)=q(t,c12C2,…cn),i=1,2,…,n 称为(51)的通解 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助

存在性与唯一性( )( 1,2, , ) i 设函数组 在 上连续,且 x t i n a t b =   1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), i i i in n i dx t a t x a t x a t x f t dt = + + + + i n =1, 2, , 1 2 ( ), ( ), , ( ) (5.1) n x t x t x t a t b   则称函数组 为微分方程组 在 上的一个解. 1 2 (5.1) , , , n 含有 个独立的任常数c 的解 n c c 1 2 , , , 1,2, , i n x t t c c i n i ( )= ( ,c ),  = 称为(5.1)的通解

2函数向量和函数矩阵的有关定义 (1)n维函数列向量定义为 x() x()=120)每x()i=12;…,n)在区间I上有定义 x, (t) n×n数矩阵4(t)定义为 a1()a2()…a12() A(t)= 22 2,()每a1()在上有定义 11 注:对向量或矩阵的代数运算的性质对于以函数作为元素的 矩阵同样成立 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助

存在性与唯一性 2 函数向量和函数矩阵的有关定义 (1) n维函数列向量定义为 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n x t x t x t x t       =       ( )( 1,2, , ) i 每一 在区间I上有定义. x t i n = n n A t  函数矩阵 定义为 ( ) 11 12 12 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t       =       ( ) ij 每一a t 在I上有定义. 注: 对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的 矩阵同样成立

2)函数向量和矩阵的连续微分和积分的概念 如果函数向量x()或函数矩阵4)的每一元素都是区间 连续函数 连续 a≤I≤b上的可微函数,则称x()或4(在a≤t≤b上{可微 可积函数 可积 此时,它们的导数与积分分别定义为 X,(t a1()a12(1)…a1n(t) x()=/x2() A(1)= a21()a2()…a2n(t) an(t an2(t m2(t) 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助

存在性与唯一性 (2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念 如果函数向量x t A t ( ) ( ) 或函数矩阵 的每一元素都是区间 a t b ,        连续函数 上的 x t A t a t b ( ) ( ) ,        连续 可微函数 则称 或 在 上 可微 可积函数 可积 此时,它们的导数与积分分别定义为 ' 1 ' ' 2 ' ( ) ( ) ( ) , ( ) n x t x t x t x t       =         ' ' ' 11 12 1 ' ' ' ' 21 22 2 ' ' ' 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t       =      

X, ( Sas 注:关于函数向量与矩阵的微 分,积分运算法则,和普通数 X ( Sas x(s)as 值函数类似. Tx,(sds a sas 12 (s)ds a(s)as lo a,(s) a2,(s)ds (s)ds s)ds an, (sds an2(s)ds ann(sds 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助

存在性与唯一性 0 0 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t n t x s ds x s ds x s ds x s ds         =               0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t n t t t t t t t n t t t t t t t n n nn t t t a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds a s ds A s ds a s ds a s ds a s ds         =                     注: 关于函数向量与矩阵的微 分,积分运算法则,和普通数 值函数类似

(3)矩阵向量的范数 定义对n维列向量x=(x1,x2…,x)及nxn矩阵 A=(an)2x,定义它们的范数为 =∑|x4=∑ 设A,B是n×n矩阵,x和y是n维列向量,A(t),x(1)是在[a 上可积的函数矩阵和向量,则易验证有下面的性质 P‖ABs‖州B,‖4x4x 20‖A+B +|B x b b 1(.8214 (a≤b 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助

存在性与唯一性 (3 ) 矩阵向量的范数 定义 1 2 ( , , , ) ( T n ij n x x x x n n A a  =  = n n 对 维列向量 及 矩阵 ) ,定义它们的范数为 1 , n i i x x = =  , 1 , n ij i j A a = =  , , , ( ), ( ) [ , ] , 设 是 矩阵 和 是 维列向量 是在 A B n n x y n A t x t a b  上可积的函数矩阵和向量则易验证有下面的性质 0 1 , AB A B  Ax A x  , 0 2 , A B A B +  + x y x y +  + , 0 3 ( ) ( ) , b b a a x s ds x s ds    ( ) ( ) , b b a a A s ds A s ds    ( ). a b 

(4)向量或矩阵序列的敛散性 目P向量序列x},x=(x1,xk…,x)称为收敛的如果 对每一个i(=1,2,…n)数列{xk}收敛 函数向量序列{x4(t)}2x(1)=(x1(),x2(1)…,x(t) 称为在a≤t≤b敛(致收敛), 如果对每一个(=12,…,n)函数序列{x(t)在a≤t≤b 上是收敛(一致收敛 2设∑x()是函数向量级数如果部分和所组成的函 k=1 数向量序列在a≤t≤b收敛(致收敛), 则称∑x()a≤t≤收敛(致收敛 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助

存在性与唯一性 (4 ) 向量或矩阵序列的敛散性 0 1 2 1 { }, ( , , , ) , ( 1,2, , ), { } T k k k k nk ik x x x x x i i n x = = 向量序列 称为收敛的 如果 对每一个 数列 收敛. 1 2 { ( )}, ( ) ( ( ), ( ), , ( ))T k k k k nk x t x t x t x t x t a t b =   函数向量序列 称为在 收敛 ( 1,2, , ), { ( )} ik 如果对每一个 函数序列 在 i i n x t a t b =   上是收敛 (一致收敛), (一致收敛). 1 ( ) , k k x t a t b  =    0 2 设 是函数向量级数 如果部分和所组成的函 数向量序列在 收敛 1 ( ) k k x t a t b  = 则称 在   收敛 (一致收敛), (一致收敛)

如果 x(O)|≤M k,a≤≤b 而级数∑M收敛,则函数向量级数∑x()在a≤t≤b k=1 上一致收敛 如果函数向量序列{x(t)}在a≤t≤b上一致收敛,则 b b lim x(tdt= lim x(t )at k→ k 如果函数向量级数∑x()在a≤t≤b上一致收敛,则 k=1 b b ∑∫x()t=∑x(Mt 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助

存在性与唯一性 如果 ( ) , , k k x t M a t b    1 k k M  = 而级数 收敛,  1 ( ) k k x t a t b  = 则函数向量级数 在   上一致收敛. { ( )} k 如果函数向量序列 x t a t b 在   上一致收敛,则 lim ( ) lim ( ) , b b k k k k a a x t dt x t dt → → =  ( ) k x t a t b     k=1 如果函数向量级数 在 上一致收敛,则 1 1 ( ) ( ) . b b k k a a k k x t dt x t dt   = =   =  