§12基本概念
§1.2 基本概念
、常微分方程与偏微分方程 定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数(或微 分)的关系式称为微分方程 例1:下列关系式都是微分方程 2x (2)xdy-ydx=0 x d x (3) +t +x=0:(4) +5 d+3x=sin t () 2 (6) our+y 0
定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微 分）的关系式称为微分方程. (1) 2x ; dx dy = (2) xdy− ydx = 0 ; (3) 0 ; 3 2 2 + = + x dt dx t x dt d x (4) 5 3 sin ; 2 2 4 4 x t dt d x dt d x + + = (5) z ; y z x z = + (6) 0 . 2 2 2 2 + + − = + x y uz y u x u 例1：下列关系式都是微分方程 一、常微分方程与偏微分方程
1常微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数只有一个 则这样的微分方程称为常微分方程 如0)2=2x,(2)x-yt=0; dx dx dx (3) +tx +x=0: dt 2 X ax df4+51.2+3x=sin t', 都是常微分方程
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程. (1) 2x; dx dy = (2) xdy− ydx = 0 ; (3) 0; 3 2 2 + = + x dt dx t x dt d x (4) 5 3 sin ; 2 2 4 4 x t dt d x dt d x + + = 都是常微分方程 1.常微分方程 如
2偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上称为偏微分方程 z 如(5)+ ax a (6) +x+y-uz=0 OX 都是偏微分方程. 注:本课程主要硏究常微分方程.同时把常微分方程简称 为微分方程或方程
如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程. (5) z ; y z x z = + (6) 0 . 2 2 2 2 + + − = + x y uz y u x u 注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称 为微分方程或方程. 2.偏微分方程 如 都是偏微分方程
、微分方程的阶二 定义2:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数称为微分方程的阶数 如:(1) dy=2x (2)xdy-ydx=0 是一阶微分方程; d=x dx (3)2+)+x=0是二阶微分方程; 女q+5ax+3x=snt是四阶微分方程
定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数称为微分方程的阶数. (1) 2x dx dy = 是一阶微分方程； (2) xdy − ydx = 0 (3) 0 是二阶微分方程； 3 2 2 + = + x dt dx t x dt d x (4) 5 3 sin 是四阶微分方程. 2 2 4 4 x t dt d x dt d x + + = 二、微分方程的阶 如:
n阶微分方程的一般形式为 dy d F(X >dx dn)=0 (1) dy,…,2y)=0是y,…,“y的已知函数 这里F( y, dx dx dx dx 而且一定含有 d y是未知函数,x是自变量
, , ) 0 (1) dx dy F(x, y, = n n dx d y n阶微分方程的一般形式为 , , . , , , dx dy , , ) 0 x, y, dx dy F(x, y, 而且一定含有 是未知函数 是自变量 这里 是 的已知函数 y x dx d y dx d y dx d y n n n n n n =
线性和非线性 1.如果方程 d F(x,y,,…,",n)=0 dx dx 的左端为y及4,,"的一次有理式 dx d 则称其为n阶线性方程 如( 2x(2)xdy-ydx=0 dx (4) d32+3x=smnt是线性微分方程 dt
(1) 2x dx dy = 是线性微分方程. (2) xdy − ydx = 0 (4) 5 3 sin 2 2 4 4 x t dt d x dt d x + + = 三 线性和非线性 , , ) 0 dx dy F(x, y, = n n dx d y 如 . , , , dx dy y 则称其为 阶线性方程 的左端为 及 的一次有理式 n dx d y n n 1.如果方程
不是线性方程的方程称为非线性方程 如(3)2+1x +x=0 dt 是非线性微分方程 2n阶线性微分方程的一般形式 +alx x +…+an(x)y=f(x 这里a(x),…an(x),f(x)是x的已知函数
是非线性微分方程. 如 (3) 0 3 2 2 + = + x dt dx t x dt d x 2.n阶线性微分方程的一般形式 1 1 1 ( ) ( ) ( ) (2) n n n n n d y d y a x a x y f x dx dx − − + + + = ( ), ( ), ( ) . 这里a1 x an x f x 是x的已知函数 不是线性方程的方程称为非线性方程
四微分方程的解 定义4如果函数y=0(x),x∈,满足条件 (1)y=0(x)在/上有直到m阶价的连续导数; (2)对∨x∈有:F(x,0(x),q(x),…四"(x)≡0, d 则称y=)为方程F(xya)=0 在/上的一个解
四 微分方程的解 定义4 如果函数y =(x), xI,满足条件: (1) y =(x)在I上有直到n阶的连续导数; (2) : ( , ( ), ( ), ( )) 0, ' xI F x x x x n 对 有 . , , ) 0 dx dy y (x) F(x, y, 在 上的一个解 则称 为方程 I dx d y n n = =
例2验证y=six,y=cosx都是微分方程 y+y=0在(-∞,+∞)上的一个解 证明:对y=sinx,由于 y =CosX, y =-sin 故对√x∈(∞,+∞,有 y+y=-sin x +sin x=0 故y=six是微分方程y+y=0在(-∞,+∞)上的一个解 同理y=cosx是微分方程y+y=0在(∞,+)上的一个解
例2 y 0 ( , ) . y sinx, y cosx " 在 上的一个解 验证 都是微分方程 + = − + = = y 证明: 对y = sinx, 由于 y cosx, y sin x ' " = = − 故对 − + x ( , ),有 y + y = " −sin x +sin x = 0 y sinx y 0 ( , ) . 故 = 是微分方程 " + y = 在 − + 上的一个解 y cos x y 0 ( , ) . 同理 = 是微分方程 " + y = 在 − + 上的一个解