《高等数学》课程教学资源：第十章 曲线积分（10.1）Gauss 公式（1）

Gauss公式 Gauss公式 前面我们将 Newton- Lebniz公式推广到了平面 区域的情况,得到了 Green公式。此公式表达了平面 闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间 的关系。下面我们再把 Green公式做进一步推广,这 就是下面将要介绍的 Gauss公式, Gauss公式表达了 空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分 之间的关系,同时 Gauss公式也是计算曲面积分的 有效方法

Gauss 公式 前面我们将 Newton-Lebniz 公式推广到了平面 区域的情况，得到了Green 公式。此公式表达了平面 闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间 的关系。下面我们再把Green 公式做进一步推广，这 就是下面将要介绍的Gauss 公式，Gauss 公式表达了 空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分 之间的关系，同时Gauss 公式也是计算曲面积分的一 有效方法。 一、 Gauss 公式

定理设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Σ围成 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在2上具有 阶连续偏导数,则有公式 OP O0 OR +)=小Pd+Qd+Rd ax ay az 或「 aP a0 OR +-+)h ax ay az ∫ Pcos a+ocos B+Rcos y ds 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, C0a,c0s月,C0y是∑上点(x,y,x处的法向 量的方向余弦

定理 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P( x, y,z)、Q( x, y,z)、R( x, y,z)在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( )     =  +  +    +   +   或 这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos  ,cos 是上点(x, y,z)处的法向 量的方向余弦

证明首先假设穿过g 内部且平行于坐标轴的直线与 ∑ g2的边界曲面∑ 的交点恰好为两个 设闭区域Ω在面xo ∑ 上的投影区域为Dy ∑由Σ,∑和∑3三部分组成, 1:x=31(x,y) ry Σ2:了=2(x,y) ∑,以投影区域的边界曲线为准线,母线平行与 3坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分

o x y z 1 2 3  Dxy 证明 首先假设穿过  内部且平行于坐标轴的直线与  的边界曲面  的交点恰好为两个 设闭区域在面 xoy 上的投影区域为Dxy. 由1 ,2和3三部分组成, ( , ) 1 : 1  z = z x y ( , ) 2 : 2  z = z x y 3 以投影区域的边界曲线为准线，母线平行与 坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分

根据三重积分的计算法 OR ∫4=∫ u2(x,DaR dz addy az ZI(, y)oz J(RJx, J,2(x,D)1-RIx,v, (x,D))dxdy 根据曲面积分的计算法 (Σ取下侧,Σ取上侧,Σ取外侧 R(x, y, z)dxdy=Rx,y, z,(x, y)]dxdy R(x, y, z) dxdy=R[x,y,2(x,y)ldxdy R(x,y,孔)dcdy=0

根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dy z R Dxy z x y   z x y    =   { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . =  2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 (1取下侧, 2取上侧, 3取外侧) ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1   = −  Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy ( , , ) [ , , ( , )] , 2 2   =  Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy ( , , ) 0. 3 =   R x y z dxdy

于是「R(x,y,z)dd (Rx, y,2(x, y)]-RIx, y,,,(x, y)13dxdy aR dv=R(x,y,z)dxdy z 同理rOP P(x, y, z )doda ax 00 dv=il e(x, y,)dzdx

  于是 R(x, y,z)dxdy { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} , =  2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy ( , , ) .     =    dv R x y z dxdy z R 同理 ( , , ) ,     =   dv P x y z dydz x P ( , , ) ,     =   dv Q x y z dzdx y Q

合并以上三式得: OP,aQ,aR、 = Pdydz odzdx rdxdy 高斯公式 由两类曲面积分之间的关系知 oP 00 OR I(P cos a+2cos B+Rcos y)dS. Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系

合并以上三式得：     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) —————— 高斯公式 由两类曲面积分之间的关系知 ( cos cos cos ) . ( )     = + +   +   +   P Q R dS dv z R y Q x P    Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系

注 。若!不满足上述条件,可以引进若干张辅助曲面 将2分成几个有限的小区域使之都满足上述条件 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值 相等,而符号相反,相加时正好抵消,因此上述公 式对这样的区域也成立, 故一般地 OP,oQ,OR、 ddr+a+odv=f Pdydz +odzdx+Rdxdy

注  不满足上述条件，可以引进若干张辅助曲面 将  分成几个有限的小区域使之都满足上述条件 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值 相等，而符号相反，相加时正好抵消，因此上述公 式对这样的区域也成立， 故一般地     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 1。 若

2。公式成立的条件 (1)∑-封闭曲面 (2)∑-方向取外侧 oP O0 OR 连续 ax ay a 根据 Gauss公式,用三重积分来计算曲面积分 是比较方便的,但 Gauss公式同时也说明,可用 曲面积分来计算三重积分

2。公式成立的条件 (1)  − 封闭曲面 (2)  −方向取外侧连续 z R y Q x P       (3) , , 根据Gauss 公式，用三重积分来计算曲面积分 是比较方便的，但Gauss 公式同时也说明，可用 曲面积分来计算三重积分

二、简单的应用 例1计算曲面积分 (x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中∑为柱面x2+y2=1及平 面x=0,3=3所围成的空间闭 区域Ω的整个边界曲面的外侧 解P=(y-z)x,Q=0 R=x J aP OR ax ay a

例1 计算曲面积分 (x − y)dxdy + ( y − z)xdydz   其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面z = 0,z = 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. 解 x o z y 1 1 3 , ( ) , 0, R x y P y z x Q = − = − = 二、简单的应用 , 0, = 0,   =   = −   z R y Q y z x P

原式=∫(y-z)ddtz(利用柱面坐标得) l(rsin 8-zrdrdedz 9兀 2 例2计算曲面积分 x2cosa+y2cos+z2cosy)ds,其中∑为 锥面x2+y2=x2介于平面 =0及=h(h>0) 之间的部分的下侧, cos a, cos B, COS Y y 是Σ在(x,y,x)处 的法向量的方向余弦

  原式 = ( y − z)dxdydz (利用柱面坐标得)   = (rsin − z)rdrddz . 2 9 = − 例 2 计算曲面积分 (x cos y cos z cos )ds 2 2 2  +  +    ,其中Σ为 锥 面 2 2 2 x + y = z 介于平面 z = 0及z = h(h  0) 之间的部分的下侧, cos,cos,cos  是Σ在(x, y,z)处 的法向量的方向余弦. x y z o h