《高等数学》课程教学资源：第十二章 高阶微分方程（12.1）二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 (n) +Py++P-y+Py=f(x) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y+py+qy=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y"+my2+gy=∫(x)

一、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y Pn y Pn y f x n n + + + −  + = −  二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = 0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二阶常系数齐次线性微分方程

二、二阶常系数齐次线性方程解法 y+py+ay=0 一特征方程法 特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 即函数和其各阶导数只相差常数因子 猜想有特解 设y=e",将其代入上方程,得 (r+ pr +e=0 ≠0 故有r2+p+q=0特征方程 特征根r12= p±√p2-4q 2

二、二阶常系数齐次线性方程解法 y + py + qy = 0 -----特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e  0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 特征根 , 2 4 2 1,2 p p q r −  − = 特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 即函数和其各阶导数只相差常数因子 猜想 有特解 rx y = e

有两个不相等的实根△>0) P+√p2-4 4c 特征根为 2 2 两个线性无关的特解 1下e 12 2 得齐次方程的通解为y=C2e+C2e;

有两个不相等的实根 特征根为 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = 两个线性无关的特解 , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e + C e (  0)

有两个相等的实根(△=0) 特征根为r=r=-P,一特解为n=e, 2 设另一特解为y2=u(x)e1x 将y2,y2,y代入原方程并化简, n"+(2r1+p)u'+(r2+pr1+q)=0, 知u"=0,取(x)=x,则 V2=xei- 得齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e

有两个相等的实根 特征根为 , 2 1 2 p r = r = − 一特解为 , 1 1 r x y = e ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 将 y2 ，y2  ，y2  代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C + C x e ( = 0)

有一对共轭复根(△<0) 特征根为=a+jB,r2=a-j, =c+1,y2=ea0)X 重新组合=(y1+y2)=e"c0sx, 2 D2=: (n1-y2)=ea sin Bx, 得齐次方程的通解为 y=e(C cos Bx+ C2 sin px)

有一对共轭复根 特征根为 , r1 = + j , r2 = − j , ( ) 1 j x y e +  = , ( ) 2 j x y e −  = 重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y = y + y e cos x, x   = ( ) 2 1 2 1 2 y y j y = − e sin x, x   = 得齐次方程的通解为 ( cos sin ). y e C1 x C2 x x =  +   (  0)

由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法 方法步骤 ①写出特征方程r2+pr+q=0 ⑨求出特征根r,r ③按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解 特征根 齐通解 t2() Y=Ce+c)e Y=(C+c,x)el 1,2-a+ jB Y=e(c, cos Bx+C2 sin Bx)

由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 方法步骤 ①写出特征方程 0 2 r + pr + q = ②求出特征根 1 2 r ,r ③按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解 特征根 齐通解 ( ) r1  r2 实 r x r x Y c e c e 1 2 1 2 = + 1 2 r = r r x Y c c x e 1 ( ) = 1 + 2 r1,2 =  j ( cos sin ) Y e c1 x c2 x x    = +

例1求通解y-2y-3y=0 解特征方程为r2-2r-3=0 特征根为 3 齐通解为Y=c1ex+c2e3x 例2求方程y"+4y'+4y=0的通解 解特征方程为r2+4r+4=0, 解得r1=z2=-2, 故所求通解为y=(C1+C2x)e2x

例1 求通解 y − 2y − 3y = 0 解 特征方程为 2 3 0 2 r − r − = 特征根为 r1 = −1,r2 = 3 齐通解为 x x Y c e c e 3 = 1 + 2 − 例2 求方程 y + 4 y + 4 y = 0的通解. 解 特征方程为 4 4 0 , 2 r + r + = 解得 2 , r1 = r2 = − 故所求通解为 ( ) . 2 1 2 x y C C x e − = +

例3求方程y"+2y+5y=0的通解 解特征方程为r2+2r+5=0, 解得 1,2 1±2j, 故所求通解为 y=e (Ci cos 2x +C, sin 2x) 例4设圆柱形浮筒,直径为05米,铅直放 在水中,当稍向下压后突然放开,浮筒 在水中振动的周期为2秒,求浮筒的质量

例3 求方程 y + 2 y + 5 y = 0的通解. 解 特征方程为 2 5 0 , 2 r + r + = 解得 1 2 , 1 2 r ， = −  j 故所求通解为 ( cos 2 sin 2 ). y e C1 x C2 x x = + − 例4 设圆柱形浮筒，直径为0.5 米，铅直放 在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒 在水中振动的周期为2 秒，求浮筒的质量

解设浮筒的质量为m 平衡时圆柱漫入水中深度为l 浮力=pnRl·g重力=mg PnR2l.g=mg 设t时刻浮筒上升了x米此时 浮力=pzR2(-x)g重力=mgy 由 Newton第二定律 d=x At2 pR(1-x)g-mg

解 设浮筒的质量为 m 平衡时 圆柱浸入水中深度为 l 浮力 = R l  g 2  重力 = mg R l  g = mg 2  设 t 时刻浮筒上升了 x 米 此时 浮力 R (l x)g 2 =  − 重力 = mg 由Newton第二定律 R l x g mg dt d x m = ( − ) − 2 2 2 

=PIR(L-x)8-PIR'Z prR gr d2x,2 x=0 记 2a2 g →"+m2x=0 d t 2丌 →x=C1C0SOr+C2SinO兮O T PgR 今m =19525(kg) =10 m38=9.:8m/,R=0,25mx=314 S

= R l − x g − R l  g 2 2  ( )  R gx 2 = − 0 2 2 2  + x = m R g dt d x  记 m R g 2 2   = 0 2 2 2  + x = dt d x  x c cost c sint  = 1 + 2     = = T 2 195.25( ) 2 kg gR  m = =   3 3 10 m kg  = 8 2 9. s g = m R = 0.25m  = 3.14