定积分在物理学中的应用 前面我们已经介绍了定积分在几何方 面的应用,我们看到,在利用定积分解决几 何上诸如平面图形的面积、平面曲线的弧长 旋转体的体积等问题时,关键在于写出所求 量的微元 定积分在物理方面的应用的关键也是 如此,希望大家注意如何写出所求量的微元 微功、微压力、徼引力等
定积分在物理学中的应用 前面我们已经介绍了定积分在几何方 面的应用，我们看到，在利用定积分解决几 何上诸如平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积等问题时，关键在于写出所求 量的微元 定积分在物理方面的应用的关键也是 如此，希望大家注意如何写出所求量的微元 ——微功、微压力、微引力等
、变力沿直线作功 由物理学知道,如果一个物体在常力F 作用下,使得物体沿力的方向作直线运动 物体有位移s时,力F对物体所作的功为: W=F*s 这个公式只有在力F是不变的情况下才 适用,但在实际问题中,物体在运动过程中 所受到的力是变化的。下面我们通过例子来 说明如何利用微元法来求变力所作的功。 例1已知弹簧每伸长0.02m要用9,8N的力, 求把弹簧拉长0,1m需作多少功
由物理学知道，如果一个物体在常力F 作用下，使得物体沿力的方向作直线运动 ， 物体有位移 s 时，力F对物体所作的功为： W=F*s 这个公式只有在力F是不变的情况下才 适用，但在实际问题中，物体在运动过程中 所受到的力是变化的。下面我们通过例子来 说明如何利用微元法来求变力所作的功。 例1 已知弹簧每伸长 0.02 m 要用 9,8 N 的力， 求把弹簧拉长 0,1 m 需作多少功 一、变力沿直线作功
解当我们拉长弹簧时,需要克服弹性力 作功,由Hoke定律,弹性力F与伸长 量x之间有函数关系:F=kx k—弹性系数 由题设98=0.02kk=490F=490 要求的是变力所作的功用微元法 取x为积分变量积分区间为0,0,11 v[x,x+dlc|0,0,11 弹簧由x处拉到x+k处,由F(x) 的连续性,当很小时,弹性力F(x)变 化很小,可近似地看作是不变的(常力)
当我们拉长弹簧时，需要克服弹性力 作功，由 Hoke 定律，弹性力F与伸长 量 x 之间有函数关系：F=kx k ——弹性系数 用微元法 由题设 9.8=0.02k k= 490 要求的是变力所作的功 F=490x 取 x 为积分变量 积分区间为 [0 ,0.1] [x, x + dx] [0,0.1] 弹簧由 x 处拉到 x +dx 处，由 F (x ） 的连续性，当 dx 很小时，弹性力F (x) 变 化很小，可近似地看作是不变的（常力） 解
于是在小区间[x,x+x]上对应的变 力F所作的功近似于把变力F看作常力 F=490x所作的功 dw= F(xdx=490xdx 0.1 H=」490xd=245() 例2发射火箭需要计算克服地球引力所 作的功,设火箭的质量为m,问将火箭 垂直地向上发射到离地面高H时,需作 多少功。并由此计算初速度至少为多少 时,方可使火箭脱离地球的引力范围
于是在小区间 [x， x +dx ]上对应的变 力F所作的功近似于把变力F看作常力 F =490x 所作的功 dW = F(x)dx = 490xdx ( ) = = 0.1 0 W 490xdx 2.45 J 例2 发射火箭需要计算克服地球引力所 作的功，设火箭的质量为 m ，问将火箭 垂直地向上发射到离地面高H 时，需作 多少功。并由此计算初速度至少为多少 时，方可使火箭脱离地球的引力范围
解取Ox轴竖直向上 地球半径设为R质量为M,由万有引力定律, 火箭所受地球的引力f=k X R+H 随火箭发射的高度x而变化 当火箭在地面上即x=R时 火箭所受的引力就是火箭的重力mg mM k-,=mg,→MM=pP2 R 代入上 f=mgR2·-2 为了发射火箭,必须克服地球引力, 克服地球引力的外力F与∫大小相等
解 取 ox 轴竖直向上 x o R R+H 地球半径设为R 质量为M，由万有引力定律， 即 x =R 时 火箭所受的引力就是火箭的重力mg 2 x mM 火箭所受地球的引力 f = k 随火箭发射的高度 x 而变化 当火箭在地面上 2 2 mg, kM gR R mM k = = 代入上式 2 2 1 x f = mgR 为了发射火箭，必须克服地球引力， 克服地球引力的外力F与 f 大小相等
F(x)=mgR2.2下面用微元法来求变力所作的功 取x为积分变量x∈IR,R+Hl W=F(x)=图Q2 d x 2 R+h H g R 丶=mRR+H 2 R 为了使火箭脱离地球引力范围,也 就是说要把火箭发射到无穷远处H→>+00 所须作的功 w=limwH=limmeR( )=mgR H→+0 H→+0 RR+h
2 2 1 ( ) x F x = mgR 下面用微元法来求变力所作的功。 x[R,R+ H] dx x dW F x dx mgR 2 2 1 = ( ) = dx x W mgR R H R H + = 2 2 1 ) 1 1 ( 2 R R H mgR + = − 取 x 为积分变量 mgR R R H w w mgR H H H = + = = − →+ →+ ) 1 1 ( 2 lim lim H → + 所须作的功 为了使火箭脱离地球引力范围，也 就是说要把火箭发射到无穷远处
这功是由火箭上的动能转化而来,若火箭 离开地面时的初速度为v 则动能为1 v 2 因此要使火箭脱离地球引力范围,须有 mv2≥mgRv≥√2gR 98×103km/s2,R=6371km 代入上式得212m第二宇宙速度
0 v 则动能为 2 0 2 1 mv 因此要使火箭脱离地球引力范围，须有 mv mgR 2 0 2 1 v0 2gR g 9.8 10 km s ,R 6371km 3 2 = = − 代入上式得 s v 11.2 km 0 ——第二宇宙速度 这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭 离开地面时的初速度为
例3半径为R,高为H的圆柱形贮水桶,盛满了水, 问将水桶中的水全部吸出须作多少功? 解这个问题虽然不是变力作功问题,但是由于吸 出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的,所 以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地 被吸到桶口的 在区间[y+小]上对应一小薄柱体 该水柱重为nR 将这一小水柱提到桶口所经过的距离 H
半径为R，高为H 的圆柱形贮水桶，盛满了水， 问将水桶中的水全部吸出须作多少功？ 解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸 出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所 以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地 被吸到桶口的 在区间 [ y ,y + dy ] 上对应一小薄柱体 该水柱重为 R dy 2 将这一小水柱提到桶口所经过的距离 H − y 例3
h=mR(H-y)小 →形=mR2(H-y)=R2H2 2 将以上几例的解法一般化可得 若一物体在变力F(x)的作用下,沿 力的方向(ox轴)作直线运动,当物体由 x=a移到x=b时,变力F(x) 对物体所作的功为 w= F()dx
dw R (H y)dy 2 = − 2 2 0 2 2 w R (H y)dy R H H = − = 将以上几例的解法一般化 可得 若一物体在变力 F ( x ) 的作用下，沿 力的方向（ox 轴）作直线运动，当物体由 x = a 移到 x = b 时，变力 F ( x ) = b a w F(x)dx 对物体所作的功为
、液体的侧压力 由物理学知道,一水平放置在液体中的薄板, 其面积为A,距液面的深度为h,则该薄板的 侧所受的压力P等于液体的压强p与受力面积的 乘积,而压强等于深度与比重的乘积,于是 P=pA=nhA 但在实际问题中,往往需要计算与液面垂直放 置的薄板一侧的所受的压力,由于薄板在不同深度 处压强不同,因而不能直接应用上述公式进行计算, 需要采用微元法,利用定积分来计算 例4设半径为R的圆形水闸门,水面与闸顶平齐, 求闸门一侧所受的压力
由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板， 其面积为A，距液面的深度为 h ，则该薄板的一 侧所受的压力P等于液体的压强 p 与受力面积的 乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是 P = pA = hA 但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放 置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度 处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算， 需要采用微元法，利用定积分来计算。 例4 设半径为R的圆形水闸门，水面与闸顶平齐， 求闸门一侧所受的压力。 二、液体的侧压力