其它展开 、周期为2L的周期函数展开成 Fourier级数 前面我们所讨论的都是以2x为周期的函数 展开成 Fourier级数,但在科技应用中所遇到的 周期函数大都是以T为周期,因此我们需要讨论 如何把周期为T=2l的函数展开为 Fourier级数 若f(t是以T=2l为周期的函数,在[l,l) 上满足 Dirichlet条件
其它展开 一、周期为 2L 的周期函数展开成 Fourier 级数 前面我们所讨论的都是以 2为周期的函数 展开成Fourier 级数，但在科技应用中所遇到的 周期函数大都是以 T 为周期，因此我们需要讨论 如何把周期为T = 2 l 的函数展开为Fourier级数 若f ( t )是以T = 2 l 为周期的函数，在[ -l , l ) 上满足Dirichlet 条件
∴T=2,∴0= 2兀兀 代入傅氏级数中 o +2(an, cos nax +, sin nax) 定理设周期为的周期函数∫(x)满足收敛 定理的条件则它的傅里叶级数展开式为 f(x)=+(a, cos" +, sin), 在连续点处级数收敛于f(x)本身 f(x-0)+∫(x+0 在间断点处级数收敛于 2
T = 2l, . 2 T l = = 代入傅氏级数中 ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n n = + + 定理 定理的条件 则它的傅里叶级数展开式 为 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n + = + = 在连续点处 级数收敛于f( x ) 本身 在间断点处 级数收敛于 2 f (x − 0) + f (x + 0)
其中系数an,b为 nTtr an=,f(x)c0sdx,(n=0,1,2,…) =比/( x)sin- d,( n=1,2,…) (1)如果(x)为奇函数,则有 f(x)=∑ nTw SIn 其中系数b为b=,(x) SIn nT ux, (n= 1,2
( )cos , ( 0,1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin , ( 1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l b l l n (1)如果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1 = = n n l n x f x b ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n 其中系数 为 = (n = 1,2, ) 其中系数an , bn为
(2)如果f(x)为偶函数,则有 f(x)=+∑a nTr a cOS T 其中系数a为n f∫( X)cos (n=0,1,2,…) 证明令z=,_l≤x≤→-π≤z≤π, 设f(x)=f()=F(z),F(x)以2m为周期 T F(a)=+2(a, cos nz+b, sin nz) 2
(2)如果f (x)为偶函数, 则有 cos , 2 ( ) 1 0 = = + n n l n x a a f x dx l n x f x l a a l n n = 0 ( )cos 2 其中系数 为 (n = 0,1,2, ) 证明 , l x z 令 = − l x l − z , ( ) ( ) F(z), lz f x f = 设 = F(z)以2为周期. ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = + n + =
其中 ∫F z)coS nzz F(sin nzdz. T=兀 7x F(=f(r) f(x)=+∑(anc0s x+b, sinx) 2 其中 f(r)cos xdx bn=L/(x)sin/xdx
( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n F(z) f (x) l x z = = ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n + = + = ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a
例1设∫(x)是周期为4的周期函数,它在[-2,2) 0-2≤x<0 上的表达式为f(x)= 将其展 k0≤x<2 成傅氏级数 解l=2,满足狄氏充分条件 0kx+[kdx=k,一 2 cos n〓 2J0
例 1 设 f (x)是周期为 4 的周期函数,它 在[−2,2) 上的表达式为 − = 0 2 0 2 0 ( ) k x x f x , 将其展 成傅氏级数. 解 l = 2, 满足狄氏充分条件. k − 2 x y − 4 0 2 4 = + − 2 0 0 2 0 2 1 0 2 1 a dx kdx = k, an = 2 0 2 cos 2 1 xdx n k = 0, (n = 1,2, )
k sin -xdx cos nT 2 nc 2k当n=135, nTC k 2k πv13 5πv ∫(x)=+—(sin。+sin+sin。+…) T 25 2 (-00<x<+∞;≠0,+2,4, x=2n时级数收敛于 2
= 2 0 2 sin 2 1 xdx n bn k (1− cos ) = n n k , 0 2,4,6, 1,3,5, 2 = = = n n n k 当 当 ) 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2 ( ) + + + = + k k x x x f x (− x +; x 0,2,4, ) 2 2 k x = n时级数收敛于
二、非周期函数的展开 前面我们研究了周期为T=2l的函数展开成 Fourier级数,其中所涉及到的函数都是定义在 无限区间上,但在实际应用中却需要对非周期函 数,或定义在有限区间上的函数展开成 Fourier 级数,下面我们就来讨论这种情况,分两种情形 讨论 1。周期延拓的情形 设函数f(t)在[l,l)上满足 Dirichlet条件 为了将其展开为 Fourier级数,需要将∫(t)在 -l,l)以外进行周期性延拓,也就是作一个周期
二、非周期函数的展开 前面我们研究了周期为T = 2 l 的函数展开成 Fourier 级数，其中所涉及到的函数都是定义在 无限区间上，但在实际应用中却需要对非周期函 数，或定义在有限区间上的函数展开成Fourier 级数，下面我们就来讨论这种情况，分两种情形 讨论 1。 周期延拓的情形 设函数 f ( t ) 在[ -l , l )上满足Dirichlet 条件 为了将其展开为Fourier 级数，需要将 f ( t ) 在 [ -l , l ) 以外进行周期性延拓，也就是作一个周期
为l的函数F(t)使得F(t)在[-l,l)上与 f(t)恒等,将F(t)展开成 Fourier级数 ∑(a nwu nyu F(t × n COS +b, sin) (1) n=1 而在[-l,l)的连续点处,有 f(t)=b+2(acos no +h sinan H=1 若to是[,l)内的间断点,则在该点处,级 数收敛于 f∫(t-0)+∫(t0+0
为 l 的函数 F (t ) 使得F (t ) 在[ -l , l ) 上与 f ( t )恒等，将F (t ) 展开成Fourier 级数 = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) n n n l n t b l n t a a F t 而在 [ -l , l ) 的连续点处， 有 = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) n n n l n t b l n t a a f t 若 t 0 是 [ -l , l ) 内的间断点，则在该点处，级 数收敛于 2 ( 0) ( 0) f t 0 − + f t 0 + (1) (2)
需要注意的是区间的两个端点,t=±l 虽然对f(t)来说,在左端点右连续, 右端点左连续,但延拓成F(t)以后,在 t=±l就不一定连续,由收敛定理, 在t=±l级数收敛于 ∫(-l+0)+f(l-0 因此若∫(t)在[l,l)上左端点的右极限等于 右端点的左极限,即 f(-l+0)=f(-0)
需要注意的是区间的两个端点， t = l 虽然对 f ( t ) 来说，在左端点右连续， 右端点左连续，但延拓成 F (t ) 以后，在 t = l 就不一定连续，由收敛定理 ， 在 t = l 级数收敛于 [ ( 0) ( 0)] 2 1 f −l + + f l − 因此若 f ( t ) 在 [ -l , l ) 上 左端点的右极限等于 右端点的左极限，即 f (−l + 0) = f (l − 0)
