《高等数学》课程教学资源：第十二章 高阶微分方程（12.5）全微分方程

全微分方程 全微分方程及其解法 1.定义:若有全微分形式 dn(x,y)=P(x,y)tc+(x,y)y全微分方程 则P(x,y)x+Q(x,y)小y=0 或恰当方程 例如x+yy=0,∵以(x,y)=(x2+y2) ∴d(x,y)=xt+ydy,所以是全微分方程 全微分方程冷 OP 00

1.定义: 若有全微分形式 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 则 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 全微分方程 或恰当方程 例如 xdx + ydy = 0, ( ), 2 1 ( , ) 2 2 u x y = x + y du(x, y) = xdx + ydy, 所以是全微分方程. . x Q y P   =   全微分方程 全微分方程 一、全微分方程及其解法

2.解法: P(x,y)dkx+g(x,y)hy=0全微分方程 oP 00 应用曲线积分与路径无关 ay ax 通解为(x,y)=P(x,y)dx+JQ(x1,y) re(, ydy+P(x, yodx,u(x,y)=c 其中x,y是在G中适当选定的点M(x0,y) 的坐标,起点坐标选择的不同,至多使u(x,y) 相差一个常数 用直接凑全微分的方法

2.解法: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 全微分方程 应用曲线积分与路径无关. x Q y P   =    通解为 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y y  = + u(x, y) = C ; 用直接凑全微分的方法.   = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 其中 x0 , y0 是在G中适当选定的点 M0 (x0 , y0 ) 的坐标，起点坐标选择的不同，至多使u( x, y) 相差一个常数

例1求方程(x3-3xy2)x+(y32-3x2y)y=0 的通解 解 aP Q a ,是全微分方程, u(x, D)=(x'-3xy2)dx+ydy x 3 2 r y t x43 原方程的通解为 22 X v+ y=C

例1 . ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 求方程 x − xy dx + y − x y dy = 解 6 , x Q xy y P   = − =   是全微分方程,   = − + x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 原方程的通解为 . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x − + =

例2求方程dx+ 3x =0的通解 aP 6x a0 解 ,是全微分方程, ax 将左端重新组合2d+(-3x-4d) =d(--)+d(3)=d(-+…3) 原方程的通解为-+ =C 3

例2 0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P   = − =   是全微分方程, 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 原方程的通解为 . 1 3 2 C y x y − + =

二、积分因子法 定义:(x,y)≠0连续可微函数,使方程 μ(x,y)P(x,y)dx+μu(x,y)Q(x,y)=0成为全 微分方程则称(x,y)为方程的积分因子 问题:如何求方程的积分因子?

二、积分因子法 ( x, y)  0连续可微函数，使方程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0成为全 微分方程.则称( x, y)为方程的积分因子. 问题: 如何求方程的积分因子? 定义:

1公式法::O(P)_O(Q ax +PQ、 OP = 两边同除山 ayax ax 4-pohn_P0Q解不容易 ax y dr 特殊地: a当只与x有关时;QH=0,0= ax dx

1.公式法: , ( ) ( ) x Q y P   =      x Q x Q y P y P   +   =   +       两边同除， x Q y P y P x Q   −   =   −   ln  ln  求解不容易 特殊地: a.当只与x有关时; = 0,   y  , dx d x   =  

dIn u 1 aP aQ o ay ax f(x)dc u(x)= b当只与有关时:Ooo_l ax’ayd dInu 1 ao aP g(y) 小 P ar ay sejs(v)

( ) ln 1 x Q y P dx Q d   −    =  = f (x) ( ) . ( )   = f x dx  x e b.当只与y有关时; = 0,   x  , dy d y   =   ( ) ln 1 y P x Q dy P d   −    =  = g( y) ( ) . ( )   = g y dy  y e

2.观察法:凭观察凑微分得到A(x,y) 常见的全微分表达式 r t y xdx+vdy=d 2 ydx+xdy=d(xy) xdy-yx_xy、xdy-yt d( xdy-ydx y d(n xdy-ydx d(arctan xy x xty xdx+yy=d(n√x2+y2) x ty

2.观察法: 凭观察凑微分得到 (x, y) 常见的全微分表达式 ) 2 ( 2 2 x y xdx ydy d + + = ydx + xdy = d(xy) ( ) 2 x y d x xdy ydx = − ( ) 2 y x d y xdy ydx = − − (ln ) x y d xy xdy ydx = − (arctan ) 2 2 x y d x y xdy ydx = + − (ln ) 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy = + + +

可选用的积分因子有 x y 2 22 2 等 xty x r y x t y 例3求微分方程 (3xy+y2)dx+(x2+xy)d=0的通解 1OPaQ、1 解 )=-,∴(x) X三 o ay ax x 则原方程成为 (3x y+xy)dx+(x'+x y)dy=0

可选用的积分因子有 , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y 例3 (3 ) ( ) 0 . 2 2 的通解 求微分方程 xy + y dx + x + xy dy = 解 , 1 ( ) 1 x x Q y P Q =   −      = dx x x e 1 ( ) 则原方程成为 (3 ) ( ) 0, 2 2 3 2 x y + xy dx + x + x y dy = = x

( y+xy)dx+(x'+x y)dy=0, 3x ydx+xay+xy(yd+xay) 可积组合法 d(yx°+(xy)) =0, 原方程的通解为 yx3+3(xgy)2=C.(公式法)

(3 ) ( ) 0, 2 2 3 2 x y + xy dx + x + x y dy = 3 ( ) 2 3 x ydx + x dy + xy ydx + xdy 可积组合法 ( ) ) 2 1 ( 3 2 = d yx + xy = 0, 原方程的通解为 ( ) . 2 3 1 2 yx + xy = C (公式法)