《高等数学》课程教学资源：第十一章（11.2）函数展开成幂级数

函数展开成界级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函 数,因此我们就有可能利用幂级数来表示函 数。如果一个函数已经表示为幂级数,那末 该函数的导数、积分等问题就迎刃而解

函数展开成幂级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函 数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函 数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末 该函数的导数、积分等问题就迎刃而解

泰勒级数 上节例题∑(-1)-12=lm(1+x)(-1<xs1 f(x)=∑an(x-x1)y存在幂级数在其收敛 oo 域内以fx)为和函数 问题:1.如果能展开,mn是什么? 2展开式是否唯-? 3在什么条件下才能展开成幂级数?

一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1  − = + −    = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 =  −  = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?

定理1如果函数f(x)在U。(x0)内具有任意阶导 数,且在U(x内能展开成(x-x)的幂级数, 即f(x)=∑an(x 0 则其系数a=1 f(x0)(n=0,1,2,…) 且展开式是唯一的 证明∑an(x-x)"在n(x收敛于f(x),即 =0 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)”+

定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且 在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 =  −  = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 且展开式是唯一的. 证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n  n −  =  f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n +

逐项求导任意次得 ∫(x)=a1+2a2(x-x)+…+nan(x-x0)”+ f(x=nlan+(n+In 3.2an(-xo)+ X=]o, 即得 f"(x0)(n=0,1,2,)泰勒系数 泰勒系数是唯一的,∴f(x)展开式是唯一的

逐项求导任意次,得 f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 泰勒系数 泰勒系数是唯一的,  f (x)的展开式是唯一的

定义如果f(x)在点x处任意阶可导则幂级数 20m(x-x)%称为f(x)在点x的泰勒级数 ∑“0x“称为()在点x的麦克劳林级数 n=0 问题∫(x)?20(x-x)y 泰勒级数在收敛区间是否收敛于fx)?不一定

如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( )  −  = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f   =0 ( ) ! (0) 称为 f (x)在点x0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( )  −  = = = 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定义

例如f(x)={e x≠0 在x0点任意可导,且f(0)=0(n=01,2,…) f(x)的麦氏级数为∑0x 该级数在(-0,+0和函数(x)≡0 除x=0外,∫(x)麦氏级数处处不收鲂于f(x)

    =  = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 在x=0点任意可导, (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n =    =   0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x)  0. 除 x = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x)

定理2f(x)在点x0的泰勒级数,在U(x)内收 敛于∫(x)分在U2(x0)内lmRn(x)=0 n 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数, f(x)=∑ i=o i(x-xo)+R,(x) Rn(x)=∫(x)-sn+1(x),; lim s+1(x)=∫(x) n→0o limr (x)=limlf(x)-sn(x)=0

定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 设f (x)能展开为泰勒级数, ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i =  − + =  ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = →   = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;

充分性∵f(x)-Sn(x)=Rn(x), lf(x)-sm,u(x)=lim r (r) 即imSn1(x)=f(x) n→ f(x)的泰勒级数收敛于f(x) 定理3设f(x)在U(x)上有定义,丑M>0,对 x∈(xn-R,x0+R),恒有f"(x)sM (n=0,1,2,),则∫(x)在(x0-R,x0+R)内可展 开成点x的泰勒级数

充分性 ( ) ( ) ( ),  f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + →  − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即  f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M  0,对 ( , )  x  x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( )  ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数

证明 (n+1) H+1 R2(x)= (x-x0)≤M 0 (n+1) n n+1 x∈(x0-R,xa+R) ∑ x-x 在(-∞,+0)收敛, d(n+1)! m~七n/n+1 n→>∞(n+1) n,=0,故imR1(x)=0, n→ x∈(x0-R,x0+R) 可展成点x的泰勒级数

证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x   , ( 1)! 1 0 + −  + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + −   = + n n n x x  0, ( 1)! lim 1 0 = + −  + → n x x n n lim ( ) = 0, → Rn x n 故 ( , ) x x0 − R x0 + R . 可展成点x0的泰勒级数

二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤:()求a=f(x) (2)讨论mR,=0或f(x)≤M, 则级数在收敛区间内收敛于f(x)

二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , Rn f (n) x M n =  → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x)