多元函数微分学 在上册中,我们讨论的是一元函数微积分 ,但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量 的函数一多元函数,也提出了多元微积分问题。 多元微积分的概念、理论、方法是一元微 积分中相应概念、理论、方法的推广和发展, 它们既有相似之处(概念及处理问题的思想方 法)又有许多本质的不同,要善于进行比较, 既要认识到它们的共同点和相互联系,更要注 意它们的区别,研究新情况和新问题,深刻理 解,融会贯通
多元微积分的概念、理论、方法是一元微 积分中相应概念、理论、方法的推广和发展， 它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方 法）又有许多本质的不同，要善于进行比较， 既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注 意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理 解，融会贯通。 多元函数微分学 在上册中，我们讨论的是一元函数微积分 ，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量 的函数—多元函数，也提出了多元微积分问题
函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西,但 从二元函数到二元以上函数则可以类推, 因此这里基本上只讨论二元函数。 重点 多元函数基本概念,偏导数,全微分, 复合函数求导,隐函数求导,偏导数的几何 应用,多元函数极值 难点 复合函数求导,多元函数极值
重点 多元函数基本概念，偏导数，全微分， 复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何 应用，多元函数极值。 难点 复合函数求导，多元函数极值。 函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上函数则可以类推， 因此这里基本上只讨论二元函数
基本要求 ①掌握多元函数基本概念,会表示定义域, 了解二元极限、连续 ②深刻理解二元函数偏导数,能熟练求出 阶和高阶偏导数, ③掌握全微分概念 ④会求复合函数偏导数,掌握隐函数的求 导方法, ⑤会求曲线的切线、法平面,曲面的切平 面和法线, ⑥会求多元函数极值
①掌握多元函数基本概念，会表示定义域， 了解二元极限、连续 ②深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一 阶和高阶偏导数， ③掌握全微分概念 ④会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求 导方法， ⑤会求曲线的切线、法平面，曲面的切平 面和法线， ⑥会求多元函数极值 基本要求
、多元函数的概念 (1)邻域 设P(x,y0)是xy平面上的一个点,是某 正数,与点P0(x0,y)距离小于δ的点P(x,y) 的全体,称为点P的δ邻域,记为(F0,6), U(Po,d)=PIPPk 8f 2 -x 0) (y-y)2<8 (2)区域 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 一个点.如果存在点P的某一邻域U(P)cE, 则称P为E的内点
（1）邻域 设 ( , ) 0 0 0 P x y 是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为 ( , ) U P0 ， ( , ) U P0 = P | PP0 | ( , )| ( ) ( ) . 2 0 2 = x y x − x0 + y − y P0 （2）区域 . ( ) 则称 为 的内点 一个点．如果存在点 的某一邻域 ， 设 是平面上的一个点集， 是平面上的 P E P U P E E P 一、多元函数的概念
如果点集E的点都是内点, 则称E为开集 例如,E1={(x,)<x2+y2<4 即为开集 E 如果点P的任一个邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点(点P本身可以属于E,也 可以不属于E),则称P为E的边界点 E的边界点的全体称为E的边界 设D是开集.如果对于D内 E 任何两点,都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于D,则称 开集D是连通的
则称 为开集. 如果点集 的点都是内点， E E 例如， {( , )1 4} 2 2 E1 = x y x + y 即为开集． E •P 可以不属于 ），则称 为 的边界点． 也有不属于 的点（点 本身可以属于 ，也 如果点 的任一个邻域内既有属于 的点， E P E E P E P E E 的边界点的全体称为 E 的边界． 开集 是连通的． 且该折线上的点都属于 ，则称 任何两点，都可用折线连结起来， 设 是开集．如果对于 内 D D D D E •P • •
连通的开集称为区域或开区域 例如,{(x,y)1<x2+y2<4 开区域连同它的边界一起称为闭区域 例如(x,y)1≤x2+y2≤4} 对于点集E如果存在正数K,使一切点 P∈E与某一定点A间的距离AP不超过K 即AP≤K 对一切P∈E成立,则称E为有界点集,否 则称为无界点集
例如， {( , )| 1 4}. 2 2 x y x + y 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 例如， {( , )|1 4}. 2 2 x y x + y x y o x y o 则称为无界点集． 对一切 成立，则称 为有界点集，否 即 与某一定点 间的距离 不超过 ， 对于点集 如果存在正数 ，使一切点 P E E AP K P E A AP K E K 连通的开集称为区域或开区域．
{(x,y)1sx2+y2≤4 有界闭区域; (x,y)|x+y>0}无界开区域 (3)聚点 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 个点,如果点P的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集E,则称P为E的聚点
{( , )|1 4} 2 2 x y x + y 有界闭区域； {(x, y)| x + y 0} 无界开区域． （3）聚点 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点. x y o
说明: 内点一定是聚点; 边界点可能是聚点; 例{(x,y)|0<x2+y2≤1} (0,0)既是边界点也是聚点 点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E 例如,{(x,y)0<x2+y≤1 (0,0)是聚点但不属于集合 例如,{(x,y)x+y2=1 边界上的点都是聚点也都属于集合
说明： 内点一定是聚点； 边界点可能是聚点； 例 {( , )| 0 1} 2 2 x y x + y (0,0)既是边界点也是聚点． 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E ． 例如, {( , )| 0 1} 2 2 x y x + y (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如, {( , )| 1} 2 2 x y x + y = 边界上的点都是聚点也都属于集合．
(4)n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称元数组 15~2 ,xn)的全体为n维空间,而每元数 组(x1,x2,…,xn)称为n维空间中的一个点,数 x称为该点的第个坐标 说明:n维空间的记号为R"; n维空间中两点间距离公式
（4）n维空间 设n 为取定的一个自然数，我们称n 元数组 ( , , , ) x1 x2 xn 的全体为n 维空间，而每个n 元数 组( , , , ) x1 x2 xn 称 为n 维空间中的一个点，数 xi称为该点的第i 个坐标. 说明： n维空间的记号为 ; n R n维空间中两点间距离公式
设两点为P(x1,x2,…,x),Q(V1,y2,…,yn) PQ (1-x1)2+(y2-x2)+…+(yn-xn 特殊地当n=1,2,3时,便为数轴、平面、 空间两点间的距离 n维空间中邻域、区域等概念 邻域:U(P,δ)={P|PPkδ,P∈R 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义
( , , , ), 1 2 n P x x x ( , , , ), 1 2 n Q y y y | | ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 2 2 1 1 n n PQ = y − x + y − x ++ y − x 特殊地当 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． n = 1, 2, 3 n维空间中邻域、区域等概念 邻域： n U(P0 , ) = P | PP0 | ,P R 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． 设两点为