微分法在几何上的应用 空间曲线的切线和法平面 定义设M是空间曲线L上的一个定点,M是 L上的一个动点,当M沿曲线L趋于M 时,割线MM*的极限位置MT(如果极 限存在)称为曲线L在M处的切线 下面我们来导出空间曲线的切线方程
微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线和法平面 定义 设 M 是空间曲线 L 上的一个定点, M*是 L 上的一个动点, 当M* 沿曲线 L 趋于M 时 , 割线MM* 的极限位置 MT （如果极 限存在） 称为曲线 L 在 M 处的切线 下面我们来导出空间曲线的切线方程
I。设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导且 y=y() 导数不同时为零 z=(t) 设M(x0,y,z),对应于t=6; M M(o+ 4x, yo+Ay, 40+Az) O 对应于t=t+△t. X 2 割线MM的方程 x-x0_y-y02-z0 M △ y
Ⅰ。设空间曲线的方程 (1) ( ) ( ) ( ) = = = z t y t x t (1)式中的三个函数均可导.且 导数不同时为零 ( , , ), ; 0 0 0 0 设 M x y z 对应于t = t . ( , , ) 0 0 0 0 * t t t M x x y y z z = + + + + 对应于 o z y x M • * .M 割线MM*的方程 z z z y y y x x x − = − = − 0 0 0 o z y x M • * .M
考察割线趋近于极限位置切线的过程 上式分母同除以△t, -o y-=yo 当M→M,即→>0时 △ △ △tx-X≠ y=Vo 曲线在M处的切线方程 φ"(ta)v'(t)o() 切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量 T={0(t)y′(tn,o(tn) 法平面:过M点且与切线垂直的平面 p"(a0(x-x0)+y(t)(y-yo)+o'(t0)(z-)=0
考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 t, , 0 0 0 z z z y y y x x x − = − = − t t t , 0 , 当M * → M 即t → 时 曲线在M处的切线方程 . ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x − = − = − 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. T = (t 0 ),(t 0 ),(t 0 ) 法平面：过 M0 点且与切线垂直的平面. (t 0 )(x − x0 ) +(t 0 )( y − y0 ) +(t 0 )(z − z0 ) = 0
例1求曲线r:x=e" cosudu,y=2sint +cost,z=1+e在t=0处的切线和法平面方程 解当t=0时,x=0,y=1,z=2, x'=e cost, y=2cost-sint, z=3e3r x(0)=1,y(0)=2,z'(0)=3, 切线方程x-0y-1x-2 3 法平面方程x+2(y-1)+3(z-2)=0 即x+2y+3z-8=0
例1 求曲线 : = t u x e udu 0 cos ，y = 2sin t + cost, t z e 3 = 1+ 在t = 0处的切线和法平面方程. 解 当t = 0时， x = 0, y = 1,z = 2, x e cost, t = y = 2cost − sint, 3 , 3t z = e x(0) = 1, y(0) = 2, z (0) = 3, 切线方程 , 3 2 2 1 1 0 − = − = x − y z 法平面方程 x + 2( y − 1) + 3(z − 2) = 0, 即 x + 2 y + 3z − 8 = 0
Ⅱ。空间曲线方程y=(x),取x为参数 在M(xn,yn,zn)处,(z=v(x) 切线方程为x-x0y-y-3=x0 φ"(x0)v'(x0) 法平面方程为 (x-x)+@(x0)(y-y)+y(x0)(z-z0)=0 F(x,y,z)=0 Ⅲ。空间曲线方程c(x,2)=0 切向量 ⌒、「F,FF.pF G. G.,G. G.G. G
Ⅱ。空间曲线方程 , ( ) ( ) = = z x y x 取 x 为参数 ( , , ) , 在M x0 y0 z0 处 切线方程为 , 1 ( ) ( )0 0 0 0 0 x z z x x x y y − = − = − 法平面方程为 ( ) ( )( ) ( )( ) 0. x − x0 + x0 y − y0 + x0 z − z0 = Ⅲ。空间曲线方程 , ( , , ) 0 ( , , ) 0 = = G x y z F x y z 切向量 = x y x y z x z x y z y z G G F F G G F F G G F F T , ,
x-x y-Vo 切线方程FF G GGG_GG 20 y 法平面方程为 fF y x-no+ G. G (y-J)+ (z-d0)=0 G.G x 例2求曲线x2+y2+x2=6,x+y+z=0在 点(1,-2,1)处的切线及法平面方程 解1直接利用公式 解2将所给方程的两边对x求导并移项,得
切线方程 , 0 0 0 0 0 0 x y x y z x z x y z y z G G F F z z G G F F y y G G F F x x − = − = − 法平面方程为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 − + − + z − z = G G F F y y G G F F x x G G F F x y x y z x z x y z y z 例 2 求曲线 6 2 2 2 x + y + z = ，x + y + z = 0在 点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程. 解 1 直接利用公式; 解 2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得
中y,d z-x y;十z 中y,dz x-y dx dx y-3 d 1,-2.1 (1,-2,1) 由此得切向量T={1,0,-1}, 所求切线方程为 x-1y+2z-1 法平面方程为(x-1)+0·(y+2)-(z-1)=0, →x-z=0
+ = − + = − 1 dx dz dx dy x dx dz z dx dy y , y z z x dx dy − − = , y z x y dx dz − − = 0, (1, 2, 1) = − dx dy 1, (1, 2, 1) = − dx − dz 由此得切向量 T = {1, 0,−1}, 所求切线方程为 , 1 1 0 2 1 1 − − = + = x − y z 法平面方程为 (x − 1) + 0 ( y + 2) − (z − 1) = 0, x − z = 0
二、曲面的切平面与法线 I。设曲面方程为 x,y,z)=0 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 「x=y() r:{y=v(t), z=a( 曲线在M处的切向量T={y(40,y(t0),O'(t), 令n={F(x0,y,),F(x,y,z,F2(x0,y
二、曲面的切平面与法线 Ⅰ。设曲面方程为 F(x, y,z) = 0 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 , ( ) ( ) ( ) : = = = z t y t x t n T M 曲线在M处的切向量 { ( ), ( ), ( )}, 0 0 0 T = t t t 令 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z = x y z
则n⊥T,由于曲线是曲面上通过M的任意一条 曲线,它们在M的切线都与同一向量垂直,故 曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在同 平面上,这个平面称为曲面在点M的切平面 切平面方程为 F(x0,,z0)(x-x0)+F(x0,y0,)(y-J) +F (x0,y,z0)(z-)=0 通过点M(x,y,z0)而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线 法线方程为 r-r y=yo z-孔 09y090 09y090 05y0,40
由于曲线是曲面上通过M 的任意一条 曲线，它们在M 的切线都与同一向量n 垂直，故 曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在同一 平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面. 则 n T, ⊥ 切平面方程为 ( , , )( ) 0 ( , , )( ) ( , , )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + − = − + − F x y z z z F x y z x x F x y z y y z x y 通过点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线. 法线方程为 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z z z F x y z y y F x y z x x x y z − = − = −
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 曲面在M处的法向量即 n= 09y0,40 ,F( 09y0940 ,F2(x0,y,0 Ⅱ。空间曲面方程形为z=f(x,y) F(x, y, =f(x, y) 曲面在M处的切平面方程为 f(o, yo(x-xo)+f(ro,yo(y-yo) 曲面在M处的法线方程为 x-co y-yo 3 ∫(x0,y0)f1(x,)-1
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M处的法向量即 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z = x y z Ⅱ。空间曲面方程形为 z = f (x, y) 令 F(x, y,z) = f (x, y) − z, 曲面在M处的切平面方程为 ( , )( ) ( , )( ) , 0 0 0 0 0 0 0 f x y x x f x y y y z z x − + y − = − 曲面在M处的法线方程为 . ( , ) ( , ) 1 0 0 0 0 0 0 0 − − = − = − z z f x y y y f x y x x x y