《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.3）隐函数与参量函数微分法

隐函数与参量函数微分法 、隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数 y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0→→y=f(x)隐函数的显化 问题隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导

隐函数与参量函数微分法 一 、隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数 y  y(x)称为隐函数 . y  f (x) 形式称为显函数. F(x, y)  0 y  f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导

设F(x,y)=0确定了一元隐函数y=y(x) 将y=y(x)代入F(x,y)=0得=F[x,y(x)≡0 则=0 两边对x求导,当遇到y的函数fU)时 要求的是,If(y)记z=f(y) z→y→>x dz dz dy =fly dx dy de

设F(x, y)  0确定了一元隐函数 y  y(x) 将 y  y(x)代入F(x, y)  0得 u  F[x, y(x)]  0  0 dx du 则 两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时 [ f ( y)] dx d 要求的是 记 z  f ( y) z  y  x dx dy dy dz dx dz    dx dy  f ( y)

将求出的这些导数代入=0 得到关于咖的代数方程, 解得=g(x,y)即为所求 至于隐函数求二阶导数,与上同理 在=g(x,y)两边再对x求导 2=G(x,,y)再将①=g(x,y代入

将求出的这些导数代入  0 dx du 得到关于 dx dy 的代数方程， 解得 g( x, y )即为所求 dx dy  至于隐函数求二阶导数，与上同理 在 g x y 两边再对 x求导 dx dy  ( , ) ( , , ) 2 2 G x y y dx d y    再将 g(x, y)代入 dx dy 

例1求由方程x-e+e"=0所确定的隐函数 y的导数 dx d x=0 解方程两边对x求导 dh e" te 0 dx 解得咖=e-y,由原方程知x=0,y=0, x+e e -y = x=0 X+e

例1 , . 0 0    x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对 x求导,     0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy    由原方程知 x  0, y  0, 0 0 0        y y x x x x e e y dx dy  1

例2设曲线C的方程为x3+y3=3x,求过C上 点(,)的切线方程,并证明曲线C在该点的法 线通过原点 解方程两边对x求导,3x2+3y2y=3y+3xy 所求切线方程为y2(3 3 即x+y-3=0 法线方程为y 3 2 即y=x,显然通过原点 2

例2 . ) , 2 3 , 2 3 ( 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求过 上 C C x  y  xy C 解 方程两边对 x求导, 3x  3 y y  3 y  3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y       1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y    x  即 x  y  3  0. 2 3 2 3 法线方程为 y   x  即 y  x, 显然通过原点

例3设x4-x+y4=1,求y”在点(0,1)处的值 解方程两边对x求导得 4x'-y-xy+4yy=0 1) 代入x=0,y=1得y1x 将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y-xy"+12y2(y')2+4y3y"=0 代入x=0,y 得y"x 16

例3 1, (0,1) . 设 x 4  xy  y 4  求y在点 处的值 解 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x  y  xy  y y  代入 x  0, y  1得 ; 4 1 1  0    y x y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x  y  xy  y y  y y  代入 x  0, y  1, 得4 1 1  0    y x y . 16 1 1  0     y x y

补证反函数的求导法则 设x=q(y)为直接函数,y=f(x)为其反函数 y=∫(x)可视为由方程x-φ(y)=0确定的一个 隐函数 由隐函数的微分法则 方程x=q(y)两边对x求导得 l=φ(y) d x dx '(y

补证反函数的求导法则 设x  ( y)为直接函数，y  f (x)为其反函数 隐函数 y  f ( x)可视为由方程 x  ( y)  0确定的一个 由隐函数的微分法则 方程x  ( y)两边对 x求导得 dx dy 1  ( y) ( ) 1 dx y dy   

例4设 arctan=n√x2+y2,求 dy dy dx dx2 解方程两边对x求导得 x-十 2 1+ yr-y 2x+2yy r t y 2 x2+y22√x2+y →yx-y=x+yy 小yx+y

例4 2 2 2 2 arctan ln , , dx d y dx dy x y x y 设   求 解 方程两边对x求导得 ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2                     x y x x y y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x y x yy x x y y x y x y x             yx  y  x  yy x y x y dx dy    

dfy d(x+y dxt dxx (1+y)(x-y)-(x+y)(1-y) (x-y) 2xy 2 x(x+y)-y(x-y (x-y) (x-y)3 2(x2+y 例5求证抛物线x+√y=√a上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a

         x y x y dx d dx d y 2 2 2 ( ) (1 )( ) ( )(1 ) x y y x y x y y          2 ( ) 2 2 x y xy y     3 ( ) ( ) ( ) 2 x y x x y y x y       3 2 2 ( ) 2( ) x y x y    例5 求证抛物线 x  y  a 上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a

证方程x+√y=Ⅶa两边对x求导得 0 2 2、pd d x 故曲线上任一点(x0,y0)处切线的斜率为 小y J d x 切线方程为y-y= x-x →√x0y+√Jox=√x0y+√yo

证 方程 x  y  a两边对x求导得 0 2 1 2 1   dx dy x y x y dx dy    故曲线上任一点 ( , ) 0 0 x y 处切线的斜率为 0 x x dx dy k   0 0 x y   切线方程为 ( ) 0 0 0 0 x x x y y  y    0 0 0 0 0 0  x y  y x  x y  y x