L. Hospital法则 在第一章中我们已经知道,当分子分母都是无穷小 或都是无穷大时,两个函数之比的极限可能存在也可 能不存在,即使极限存在也不能用“商的极限等于极 限的商这一运算法则。这种极限称为未定式0 本节我们就利用 Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的 LHospit法则,利用这一法则,可以直接求 和这两种基本未定式的极限,也可间接求出 0 0.,0-∞,0°,∞0,1等其它类型的未定式的极限
L.Hospital法则 在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小 或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可 能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极 限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式 , 0 0 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求 和0 0 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 0, − ,0 , ,1 0 0 等其它类型的未定式的极限
0 型及型未定式解法:洛必达法则 0 ● 定义如果当x→a(或x→∞)时,两个函数f(x) 与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那末极限 im(x)称为或”型未定式 a、F(x) (x→>0) tanx 0 In sin ax∞ 例如,im 0X x→>0 In sin bx
一 、型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) , ( ) , ( ) ( ) 称 为 或 型未定式 与 都趋于零或都趋于无穷大 那末极限 如果当 或 时 两个函数 → → → → F x f x F x x a x f x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( )
定理设(1)当x→0时函数f(x)及F(x)都趋于零; (2)在a点的某领域内点a本身可以除外,f(x) 及F(x)都存在且F(x)≠0 (3)lim/(r) 存在(或为无穷大 x-a F(x) 那末lm lim f( x-a F(x) xa F(x) 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 当x→>时,以及x→a,x>时,该法则仍然成立
. ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) ( ) 0; (2) ( ), ( ) (1) 0 , ( ) ( ) ; F x f x F x f x F x f x F x F x a a f x x f x F x x a x a x a = → → → → 那 末 存 在 或为无穷大 及 都存在且 在 点的某领域内点 本身可以除外 定理 设 当 时 函 数 及 都趋于零 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 当x → 时,以及x → a, x → 时,该法则仍然成立
证定义辅助函数 f1(x)= ∫f(x),x≠a F(x),x≠a ,F1(x) 0. r=a 在U(a,6)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上, f(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f(x)f(x)-f(a)f'(2) F(x)F(x)-F(a)f(9)(5在x与a之间) 当x→a时,5→a,:Ⅷm,+) li ∫'(4) x→a F'(x) F(, lim f(x) F(x)5-aF(2)
证 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → →
注①定理的条件:分子分母都是无穷小;分子分母 都可导,且分母的导数不等于0;导数之比的 极限存在或为 ②定理的结论:函数之比的极限等于导数之比的 极限 ③∫"(刈)还是未定式,且f(x8(x)满足 x→xng(x) 定理中对f(x),g(x)所要求的条件,则可继续 使用法则,直到不再是未定式为止 lim f() f(x) im m x→+xg(x)x→xg(x)x→xg"(x)
注 ①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为∞ ②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限 ③ 使用法则，直到不再是未定式为止 定理中对 所要求的条件，则可继续 若 还是未定式，且 满足 ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) lim 0 f x g x f x g x g x f x x x → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x x x x x = → → = = → ( ) ( ) lim 0 g x f x x x
④将x→>x换成x→x,x→x,x→+,x→-∞, x→)0仍有类似的结论 如:x→>∞时型的极限 定理设f(x),(x)在|x|>N上有定义,且 (lim f(x)=lim g(r)=0 (2)∫(x),g(x)在|x|>N时可导,且g(x)≠0 f(x A(或∞) g(r) 则imf()i"(x) f(r) A(或∞) x→00 g()x>yo
④ → → → → → + → − + − x x x x x , x x , x , x , 将 0换成 0 0 仍有类似的结论 时 型的极限 0 0 如： x → 定理 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) (3)lim (2) ( ), ( ) | | ( ) 0 (1)lim ( ) lim ( ) 0 ( ), ( ) | | = = = = = → → → → → 则 或 或 在 时可导，且 设 在 上有定义，且 A g x f x g x f x A g x f x f x g x x N g x f x g x f x g x x N x x x x x
关于一型的极限,有下述定理 定理设f(x),g(x)在x的某邻域内有定义,且 (1)lim f(x)=lim g(x)=oo (2)∫(x),g(x)可导,且g'(x)≠0 ∞结论仍成立
关于 型的极限，有下述定理 定理 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) (3) lim (2) ( ), ( ) ( ) 0 (1) lim ( ) lim ( ) ( ), ( ) 0 0 0 0 0 0 = = = = = → → → → → 则 或 或 可导，且 设 在 的某邻域内有定义，且 A g x f x g x f x A g x f x f x g x g x f x g x f x g x x x x x x x x x x x x → → → → → + → − + − x x x x x , x x , x , x , 将 0换成 0 0 结论仍成立
x3-3x+2 例1求lm 1x-x2-x+1 解原式=lim 3x2-3 0000 3x2-2x-1 6x lim x16x-22 例2ex-e x=2x0=lim *tex-2 0 x→)0x-sIny x→0 0 cos x tex 0 =lim e te m x→>0sinx →>0coSx 注 在反复使用法则时,要时刻注意检查是否为 未定式,若不是未定式,不可使用法则
例1 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 ) 0 0 ( 解 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 ) 0 0 ( 6 2 6 lim 1 − = → x x x . 2 3 = 例2 x x e e x x x x sin 2 lim 0 − − − − → ) 0 0 ( x e e x x x 1 cos 2 lim 0 − + − = − → ) 0 0 ( x e e x x x sin lim 0 − → − = ) 0 0 ( x e e x x x cos lim 0 − → + = = 2 注 在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为 未定式，若不是未定式，不可使用法则
元 例3求m2 arctan x x→+0 0 2 解原式=lim1+x=imx x-+oO x→)+∞1+x 例4求lm In sin ax x→>0 In sin bx 解原式=lim a cos a· sin bx lim cos bx x-0 bcos bx. sin ax )0 cos ar
例 3 解 . 1 arctan 2 lim x x x − →+ 求 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 原式 2 2 1 lim x x x + = →+ = 1 . 例 4 解 . lnsin lnsin lim0 bx ax x → 求 b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim0 = → 原式 = 1 . ) 00 (( ) ax bx x cos cos lim→0 =
例5证明 lim In px:0me x→+0 e=0(B,元,p>0) 证分两种情况 ①若μ=正整数则连续使用μ次法则,得 t-)+edr= limu! x→+∞AHbD4 ②若≠正整数记=[]+r(0<r<1) 则连续使用次法则,得 x+0=imA(-1),…(-A+1)x1 Ionx imk(-1)…(-lx+1)x x→+0
例5 证明 0 ln lim = →+ x x x lim = 0 ( , , 0) →+ x x e x 证 分两种情况 ① 若 = 正整数 则连续使用μ次法则，得 x x x x e e x ! lim lim →+ →+ = = 0 ② 若 正整数 记 = + r (0 r 1) 则连续使用[μ]次法则，得 x x x x e x e x [ ] [ ] ( 1) ( [ ] 1) lim lim − →+ →+ − − + = x r x e x [ ] ( 1) ( [ ] 1) lim − − + = →+