单调性及其判定 Lagrange定理4=f(x0+O4x)·A给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系,为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就 来讨论这方面的问题,主要介绍:单调性、极值 最值、凹凸、拐点和曲率
单调性及其判定 Lagrange定理 y = f (x0 +x) x 给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就 来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值 最值、凹凸、拐点和曲率
、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时,首先关注的问题。第一章中已经给 出了函数在某区间上单调的定义,但利用定义来判 定函数的单调性却是很不方便的。 B y=f(r) y=∫(x) B 0 a b f(x)≥0 f(x)≤0
一、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给 出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判 定函数的单调性却是很不方便的。 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 a b B A
从几何图形上看,表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时,曲线总是上升 (下降)的。进一步若曲线在某区间内每点处的切 线斜率都为正(负),即切线的倾角全为锐(钝) 角,曲线就是上升(下降)的 这就启示我们:能否利用导数的符号来判定单调 性?回答是肯定的。 定理设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可 导(1如果在(a,b内∫(x)>0,那末函数y=f(x) 在[a,b上单调增加;(2)如果在(a,b)内f(x)<0, 那末函数y=f(x)在|a,b上单调减少
从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升 （下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切 线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝） 角，曲线就是上升（下降）的 这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调 性 ？回答是肯定的。 定理 ( ) [ , ] . [ , ] (2) ( , ) ( ) 0 . 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) 那末函数 在 上单调减少 在 上单调增加； 如果在 内 ， 导（ ）如果在 内 ，那末函数 设函数 在 上连续，在 内 可 y f x a b a b a b f x a b f x y f x y f x a b a b = = =
证Vx1,x2∈(a,b),且x0,则∫(4)>0, ∫(x2)>f∫(x1).∴y=∫(x)在a,b上单调增加 若在(a,b内,f(x)<0,则∫(5)<0, f(x2)<∫(x1)y=f(x)在a,b上单调减少
证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少
注①若在a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多 有限个不可导点,而在其余点处均有 ∫'(x)>0(∫(x)0,∴函数单调增加
注 ①若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多 有限个不可导点，而在其余点处均有 f (x) 0( f (x) 0) 则由连续性，结论仍成立 ②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用 例1 讨论函数 y = e − x − 1的单调性. x 解 = − 1. x y e 又D :(−,+). 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加
注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用 导数在这一区间上的符号来判定,而不能用 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 二、单调区间求法 问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的,则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 的分界点 方法:用方程∫(x)=0的根及∫(x)不存在的点 来划分函数f(x)的定义区间然后判断区间内导 数的符号
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 二、单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法: . ( ) , ( ) 0 ( ) 数的符号 来划分函数 的定义区间 然后判断区间内导 用方程 的根及 不存在的点 f x f x = f x
例2确定函数f(x)=2x3-9x24 +12x-3的单调区间 解∵D:(-∞,+∞) ∫(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 解方程f(x)=0得,x=1,x2=2 当-∞0,∴在(-∞,1单调增加; 当10,∴在[2,+0)上单调增加; 单调区间为(-∞,1,[1,2l,2,+∞)
例2 12 3 . ( ) 2 9 3 2 的单调区间 确定函数 + − = − x f x x x 解 D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时， f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时， f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)
例3确定函数∫(x)=3x2的单调区间 解∵D:(-∞,+∞) f(x)=2 (x≠0) J 当x=0时,导数不存在 当-∞0,∴在[0,+∞)上单调增加; 单调区间为(-∞,0[0,+∞)
例3 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 解 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时，f (x) 0, 在(−,0]上单调减少； 当0 x +时，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性 例如,y=x3,y1x=0=0,但在(-∞,+∞)上单调增加 例4当x>0时,试证x>ln(1+x)成立 证设f(x)=x-ln(1+x),则f(x) 1+x f(x)在0,+)上连续,且(,+0)可导,f(x)>0, 在0,+∞)上单调增加;∵f(0)=0, 当x>0时,x-ln(1+x)>0,即x>lm(1+x)
例4 证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则 = f (x)在[0,+)上连续,且(0,+)可导，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (0) = 0, 当x 0时，x − ln(1 + x) 0, 即 x ln(1+ x). 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加
例5证明x>0时1+xln(x+√1+x2)>1+x2 证令f(x)=1+xln(x+√1+x2)-√1+x2 1 →f(x)=ln(x+√1+x2)+x √1+x 1+x =ln(x+√1+x2) →f(x) >0 1+x →x>Q时f(x)↑→f(x)>f(0)=0 →x>0时f(x)个→f(x)>f(0)=0 →1+xln(x+√1+x2)>√1+x
例5 证明 x 0时 2 2 1+ xln( x + 1+ x ) 1+ x 证 2 2 令 f (x) = 1+ x ln( x + 1+ x ) − 1+ x 2 2 2 1 1 1 ( ) ln( 1 ) x x x f x x x x + − + = + + + ln( 1 ) 2 = x + + x 2 1 1 ( ) x f x + = 0 x 0时 f (x) f (x) f (0) = 0 x 0时 f (x) f (x) f (0) = 0 2 2 1+ x ln( x + 1+ x ) 1+ x