《高等数学》课程教学资源：第七章 数量积与向量积

数量积与向量积 两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力F所作的功为 W=F‖|cose(其中b为F与的夹角) 启示两向量作这样的运算结果是一个数量 定义向量与b的数量积为a·b d·b=‖bcos6(其中为与b的夹角)

数量积与向量积 一物体在常力F  作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s 表示位移，则力F  所作的功为 W | F || s | cos   = (其中 为F  与s 的夹角) 启示 向量a 与b  的数量积为a b    a b | a || b | cos      = (其中 为a  与b  的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 一、两向量的数量积

6 d·b=‖b|cos6 b|cos=Prjb,向量b在向量a方向上的投影 d|cosθ=Pr/a,向量a在向量b方向上的投影 d·b= b prj,a=|a|Prjb 结论两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积 数量积也称为“点积”、“内积

a  b   a b | a || b | cos      = | b | cos Pr j b, a    = 向量b在向量a方向上的投影   | a | cos Pr j a, b    = 向量a在向量b方向上的投影   a b b j ba       =| | Pr | a | Pr j b. a   = 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. 数量积也称为“点积”、“内积

关于数量积的说明: (1)a·a=l 证∵6=0,∴l·=l‖lic0sb=l (2)a.b=0←→d⊥b 证(→):·b=0,|l|≠0,|b≠0, c0s6=0,θ=π,∴db 2 (÷)∵a⊥b,6 cos=0 2 n·b=l‖b|cos6=0

关于数量积的说明： (2) a  b = 0    a b.   ⊥ () a  b = 0,    | a | 0,  | b | 0,  cos = 0, a b.    ⊥ (1) | | . 2 a a a     = () a b,    ⊥ cos = 0, a  b =| a || b | cos = 0.      = 0, | || | cos | | . 2 a a a a a      证   =  = 证  = , 2  , 2   =

数量积符合下列运算规律: (1)交换律:ab=b·G; (2)分配律:(+b)·C=l·C+b·e; (3)若为数(Am)·b=a·()=4(a·b), 若、数:(an)(pb)=x(a·b) 证明(1)、(3)由定义可证 余下证明(2)

数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数 ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、  为数： ( a) ( b) (a b).        =   证明 （1）、（3）由定义可证 余下证明（2）

仅就下图所示的情形给出证明,其它情形可 仿此证明 (+b)· IcRi(a+b) lc|(Pr元d+Prjb) a+b/ b cPrja+cprje i·c+bc

仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可 仿此证明 a  b  a b   + c  a b c    ( + ) | c | Pr j (a b) c    = + | c |(Pr j a Pr j b) c c    = + c j ca   =| | Pr c j cb   + | | Pr a c   =  b c   + 

i a=a,+,+, k, b=bi+b,j+b,k b=(a i+a,j y +a2k)·(bi+b,j+b2k) jLk,∴i·j=j…k=k·i=0, i|j=k=1, i·i=jj=k·k=1 i·b=a.b.+a.b.+a.b x y J 数量积的坐标表达式

a a i a j a k, x y z     = + + b bx i by j bzk     设 = + + a  b =   (a i a j a k) x y z    + + (b i b j b k) x y z     + + i j k,     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k  i = 0,       | i |=| j |=| k |= 1,     i  i = j  j = k  k = 1.       x x y y z z a  b = a b + a b + a b   数量积的坐标表达式

.b=lb|c0sb→c0s0=4:b a、b.+a.b.+a.b cos 6 2 2 b+tb 2 +a.+a 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 db∈→a1bx+a,b,+a2b2=0

a b | a || b | cos      = , | || | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b    axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为

例1已知a={1,1,-4},b={1,-2,},求(1 a·b;(2)a与的夹角;(3)a上的投影 解(1)ab=11+1.(-2)+(4).2=-9 (2)c0s6= a,b +a,b,+a, b a2+an2+a2、b2+b2+b2 3 6= 2 i·b (3)a·b=b|Prjd Jba 3 b

例 1 已知a = {1,1,−4}  ，b = {1,−2,2}  ，求（1） a b    ；（2）a 与b  的夹角；（3）a  在b  上的投影. 解 a b   (1)  = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = , 2 1 = − a b b j ba     (3)  =| | Pr 3. | | Pr = −   = b a b j ba      = . 4 3

例2证明向量c与向量(a·Cb-(b·c)a垂直 证(a·c)b-(b·c)d =[(a·c)b:c-(b·c)l·dl =(b)·c-a·q 0 I(a·c)b-(b·cd|Le

例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a       (  ) − (  ) 垂直. 证 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ] [(a c)b c (b c)a c]         =   −   (c b)[a c a c]       =   −  = 0 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ]⊥

例3应用向量证明 Cauchy--Schwarz不等式 a+a2b2+a3b3a2+a2+a2·++b 证记a={a1,a2,a3}b={1,b2,b3} 则|a=√a2+n2+n2|b}=√研2+b+b d·b=a1b1+a2b2+a3b3 →|ab同=a|·b|·|cos(a,b) ≤a||b|=√a2+a2+a +b2+b →|a1b1+a2+ah2a2+a2+n2所2+b2+b

例3 应用向量证明Cauchy—Schwarz不等式 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 | a b + a b + a b | a + a + a  b + b + b 证 记 a = a1 ,a2 ,a3  b = b1 ,b2 ,b3  则 2 3 2 2 2 1 | a |= a + a + a  2 3 2 2 2 1 | b |= b + b + b  a b = a1b1 + a2b2 + a3b3    | a b | | a | | b | | cos(a,b)|         =   | a | | b |     2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 = a + a + a  b + b + b 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1  | a b + a b + a b | a + a + a  b + b + b