§32 Cauchy积分定理 C为从a到b的路径.f(=)=1处处解析 f()=d=ln∑(-4-)=b-a 积分与路径无关 =2m≠0 在z=a处处解析 C为圆周|-a=p>0,积分与路径有关。 上节的例题 例题计算积分 I Re zd (1)从原点O到1+i的直线段 (2)从原点O到1再到1+i的折线 中,Rez处处不解析 Rezd积分与路径有关 柯西积分定理 若∫(=)在z平面上的单连域D内解析C为D内 任一简单闭路,则有 [/(k=0 附加条件“f(=)在D内连续”证明如下。 证:令二=x+y,f()=l(x,y)+m(x,y), f(d:=sudx-vady +il vdr+udy 而f(x)在D内连续,则1,2,Vx,"在D内连续 并且满足C-R条件 au av Ou a(-v) ax ay ay ax
§3.2 Cauchy 积分定理 C 为从 a 到 b 的路径. f (z) = 1 处处解析. f z dz dz z z b a n k k k C C = = − = − = − → 1 1 0 ( ) lim ( ) 积分与路径无关。 = C − i z a dz 2 0 ， z − a 1 在 z = a 处处解析。 C 为圆周 | z − a |= 0 ，积分与路径有关。 上节的例题 例题 计算积分 C Re zdz （1） 从原点 O 到 1+i 的直线段 （2） 从原点 O 到 1 再到 1+i 的折线 中，Re z 处处不解析。 C Re zdz 积分与路径有关。 柯西积分定理 若 f (z) 在 z 平面上的单连域 D 内解析,C 为 D 内 任一简单闭路，则有 ( ) = 0 C f z dz 附加条件“ f (z) 在 D 内连续”证明如下。 证：令 z = x + iy , f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ， 则 = − + + C C C f (z)dz udx vdy i vdx udy 而 f (z) 在 D 内连续，则 x y x y u ,u ,v ,v 在 D 内连续， 并且满足 C.-R.条件。 x v y u y v x u − = = ( )
由格林公式 udx+(-1)dy=o, vdx+udy=0 故得f(-)=0 格林公式: P(x,y),Q(x,y)在区域上有连续的一阶偏导。C 为D内分段光滑闭曲线,则 S Pdx+ Ody=(ap-a)drdy 若_aP 则Pax+Ohy=0 ax 原定理的证明过长,略去 柯西一古萨定理f(z)在单连域D内解析,C为D内 任一有向闭曲线(不必是简单的),则 [(=0 证:视C为多段简单闭路组成 推论∫(=)在单连域D内解析,则积分与路径无 (二0,=1∈D) 只与=0,=1两点有关,不依赖于D内连接=0到=1的曲 证:设C1,C2为=0到21的任两条曲线,则
由格林公式 + (− ) = 0, + = 0 C C udx v dy vdx udy 故得 = C f (z)dz 0 格林公式： P(x, y) , Q(x, y) 在区域上有连续的一阶偏导。 C 为 D 内分段光滑闭曲线，则 (( )) . 0 − + = C dxdy y P P Q Pdx Qdy 若 y P x Q = , 则 0. + = C Pdx Qdy 原定理的证明过长，略去。 柯西—古萨定理 f (z) 在单连域 D 内解析， C 为 D 内 任一有向闭曲线（不必是简单的），则 = C f (z)dz 0 证：视 C 为多段简单闭路组成 推论 f (z) 在单连域 D 内解析，则积分与路径无 关，即 ( ) ( , ) 0 1 1 0 f z dz z z D Z Z 只与 0 1 z ,z 两点有关，不依赖于 D 内连接 0 z 到 1 z 的曲 线。 证：设 1 2 C ,C 为 0 z 到 1 z 的 任 两 条 曲 线， 则
C1+C2为一有向闭曲线 f()c=|f(-)d+Lf(-)z=0 ()k=-:/(k= 定理若∫(=)在单连域D内解析,则函数 F()=f( 在D内解析,且F'()=f()(z∈D) 设∫(=)=l(x,y)+iv(x,y) 二0=x+0。,F(z)=(x,y)+iv(x,y) 则(xy)=Cmhk 因积分与路径无关,故 dy= vdx+ud 故F(=)在D内解析,且 F()=φ 定义若在区域D内恒有w(=)=f(=),则v(=) 成为f()在D内的一个原函数(不定积分) 令W(二)是∫(-)在DD内的一个原函数, 则W(=)=f(-)
− C1 + C2 为一有向闭曲线 1 z C2 C1 0 z − − + = + = 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0. C C C C f z dz f z dz f z dz = − = − 1 2 2 ( ) ( ) ( ) C C C f z dz f z dz f z dz 定理 若 f (z) 在单连域 D 内解析，则函数 = z z F z f d 0 ( ) ( ) 在 D 内解析，且 F(z) = f (z) (z D) 证：设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ， 0 0 0 z = x + iy ， F(z) = (x, y) + i(x, y) ， 则 = − ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) x y x y x y udx vdy = + ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) x y x y x y vdx udy 因积分与路径无关，故 d = udx − vdy, d = vdx + udy 即 x y y x = u = , = −v = − . 故 F(z) 在 D 内解析，且 F (z) i u iv f (z). = x + x = + = 定义 若在区域 D 内恒有 w (z) = f (z) ，则 w(z) 成为 f (z) 在 D 内的一个原函数（不定积分）。 令 W (z) 是 f (z) 在 D D 内的一个原函数， 则 W (z) = f (z)
W()-F()=f(-)-f(-)=0 (=)=F(=)+C 令二=二0,则C=W(二0),F()=(-)-1(=0) 进而有 (=1)=f(0 coS(2+2+ 在|=1上解析 从而 例 c 0z+1 解 只在z=-1点不解析,但去掉x=-1 成多连域,找单连域 在D:-n<arg(x+1)<丌内解析 故
[W (z) − F(z)] = f (z) − f (z) = 0 W(z) = F(z) + C 令 0 z = z ，则 ( ), ( ) ( ) ( ) 0 0 C = w z F z = w z − w z 进而有 = = − 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 z z F z f d W z W z 定理 若 f (z) 在单连域 D 内解析， W (z) 是 f (z) 的一个原函数， 则对 z0 ,z1 D ，有 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 z z f z dz W z W z W z z z = − = 与定积分中的牛顿—莱布尼茨公式相似 例： dz z z z z z = + + + + | | 1 2 100 2 4 cos( 1) 解：当 | z | 1 时 | 2 4 | 4 | 2 | | | 4 2 1 0. 2 2 z + z + − z − z − − 故 2 4 cos( 1) 2 100 + + + + z z z z 在 | z | 1 上解析, 从而 0 2 4 cos( 1) | | 1 2 100 = + + + + = dz z z z z z 例： − + + i dz z 1 0 1 1 解： 1 1 z + 只在 z = −1 点不解析，但去掉 z = −1 成多连域，找单连域。 1 1 z + 在 D : − arg(z +1) 内 解析， 1 1 (ln( 1)) + + = z z ， 故 − + = − = − + = + + i i i i dz z z 1 0 2 ln ln 1 0 1 ln( 1) 1 1
01 解:f(二)=-在D:-x<arg(z)<丌内解析 hz是f()的一个原函数,故 d=h,=hz-hl=hz(z∈D) 例1+=,=0是D|=k呐的两点 解 在|zk1内解析。又 Arctan [Ln(1+z)-In(1-) 的单值函数 arctan ==[n(1+i)-In(1-i)] 在D内解析,满足 arctan == 211+E1-/=1 d -=arctan =-1=arctan -1 arctan 例 1a=- 33C为|二|=3,Rez≥0, 从-3到3多连域上的积分
1+i -1 O 例 z dz z 1 1 解： z f z 1 ( ) = 在 D : − arg(z) 内解析。 ln z是f (z) 的一个原函数，故 = = − = z z z z D z dz z z 1 ln ln 1 ln ( ) 1 ln 1 例 + 1 0 2 1 z 1 z dz z ， z0 ,z1是D :| z |1内的两点。 解： | | 1 1 1 2 + z z 在 内解析。又 [Ln(1 ) Ln(1 )] 2 1 Arctan iz iz i z = + − − 的单值函数 [ln(1 ) ln(1 )] 2 1 arctan iz iz i z = + − − 在 D 内解析，满足 2 1 1 ] 1 1 [ 2 1 (arctan ) iz z i iz i i z + = − + + = 故 = = − + 1 0 1 0 0 1 2 arctan arctan arctan 1 z 1 z z z z z dz z z 例： = = − = − C i C z z i i z dz z , | | 3,Re 0, 3 2 3 1 1 3 2 为 从 − 3i到3i多连域上的积分
设B为有界多连域,由C及C1,…,Cn组成, r=C+C1+C2+…+Cn为B的边界曲线的正向 复闭路定理 定理:设B是以复闭路 r=C+C1+C2+…+Cn为边界的多连域,f(=) 在B上解析,则 ∫(=)dz=0 [r(k=∑[(k 证:只证n=2时,设D1,D2的边界为和2 DI
3i O -3i 设 B 为有界多连域，由 C 及 − − C Cn , , 1 组成， − − − = C + C1 + C2 ++ Cn 为 B 的边界曲线的正向。 1 1 − C 1 2 − C C −1 Ci 复闭路定理 定理：设 B 是 以 复 闭 路 − − − = C + C1 + C2 ++ Cn 为边界的多连域， f (z) 在 B 上解析，则 ( ) = 0 f z dz 或 = = n k C Ck f z dz f z dz 1 ( ) ( ) 证：只证 n = 2 时，设 1 2 D ,D 的边界为 1 和 2 ， D2 C D1
则[=0,[=0 [=+=0 例 ,C为任一包含a的简单闭路 解:作圆周C,|-a|=p于C内 则 0 即 c ∫2m(n=) (z-ay-(z-a)0(n≠1 ,C为包含0和1两点的简单闭路 解: 2a=[-k +L
则 = = 1 2 0, 0 = + = C 1 2 0 例 C − n z a dz ( ) ， C 为任一包含 a 的简单闭路 解：作圆周 C :| z − a |= 于 C 内 C a C 则 − + = C C 0 即 = = − = − 0 ( 1) 2 ( 1) ( ) ( ) n i n z a dz z a dz C C n n 例 C z − z dz 2 ，C 为包含 0 和 1 两点的简单闭路。 解： O 1 − C0 − C1 C 0 0 1 + + = − − C C C = + C C0 C1 − − = C − C dz z z z z dz ] 1 1 1 [ 2 − − − + − = 0 1 ] 1 1 1 ] [ 1 1 1 [ C C dz z z dz z z
(--)d dE 2m+2m
0 2 2 1 1 ) 1 ( 0 1 = = − + − = − + i i dz z dz z C C