第四章随机变量的数字特征 数字特征的优越性: 1.较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征。 2.很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均匀分布、 指数分布、正态分布等)的分布函数都能用一、两个数字特征 完全确定。 3.重要的数字特征-数学期望、方差具有明确的统计意义, 同时还具有良好的数学性质。 4.随机变量的数字特征较易求出
第四章 随机变量的数字特征 数字特征的优越性： 1. 较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征。 2. 很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均匀分布、 指数分布、正态分布等)的分布函数都能用一、两个数字特征 完全确定。 3. 重要的数字特征---数学期望、方差具有明确的统计意义， 同时还具有良好的数学性质。 4.随机变量的数字特征较易求出
第一节、数学期望 例1.有甲、乙两个射击选手,他们的射击技术由下表给出 甲射手:环数 9 10 0.3 0.1 0.6 乙射手:环数 8 9 10 0.2 0.5 0.3 试问哪一个选手射击本领较好? 甲:8×0.3N+9×0.1N+10×06N=93N 乙:8×0.2N+9×0.5N+10×0.3N=91N
第一节、数学期望 例1. 有甲、乙两个射击选手，他们的射击技术由下表给出： 甲射手： p 0.3 0.1 0.6 环数 8 9 10 乙射手： p 0.2 0.5 0.3 环数 8 9 10 试问哪一个选手射击本领较好？ 甲：8×0.3N+9×0.1N+10×0.6N=9.3N 乙：8×0.2N+9×0.5N+10×0.3N=9.1N
定义4.1 设ξ为离散型随机变量,其分布律为 pk=P(5=xk),k=1,2, 若级数∑xPk绝对收敛,则称EG)=∑xAPk为的数 k=1 k=1 学期望(或称期望或均值)。 设~B(n,p),求E(2):E(2)=np 2.设~π(A),求E(): E(2)=. 3.设服从参数为p的几何分布,求F():E(2)=1p. 例2.设随机变量ξ分布律为 pk=P(5=(-1)2/k)=1/2,k=1,2, 求E(2)
定义4.1 设为离散型随机变量，其分布律为 若级数 绝对收敛，则称 E()= 为的数 学期望(或称期望或均值)。 pk = P( = xk )， k =1，2， k =1 k pk x k =1 k pk x 1. 设～B(n，p)，求E()： E()=np. 2. 设～()，求E()： E()=. 3. 设服从参数为p的几何分布，求E()： E()=1/p. 例2. 设随机变量分布律为 求E() 。 pk = P( = (−1) k 2 k / k) =1/ 2 k ， k =1，2，
定义42 设ξ为连续型随机变量,其分布密度为x),若积分 ∫/(x)x收敛,则称E(5)=∫xf(x)h为的数学期 望(或称期望或均值)。 4.设服从参数为的指数分布,求F():E(2)=1/ 5设服从(a,b区间上的均匀分布,求E():E()=(a+b)/2 6设5N,02),则E()=u 7.设ξ~I(x,β),则E(2)=β。 设x(m)=/4、则有E(x(m)=n 22 例3.设的分布密度为 f(x)=1/(T(1+x)), ( Cauchy()
定义4.2 设为连续型随机变量，其分布密度为f(x)，若积分 收敛， 则称 为的数学期 望(或称期望或均值)。 x f (x)dx + − + − E() = x f (x)dx 4. 设服从参数为的指数分布，求E()： E()=1/ 5. 设服从(a，b)区间上的均匀分布，求E()：E()=(a+b)/2 6. 设 ( ) ，则 E()=. 2 ～N ， 7. 设～(，)，则E()= /。 ) ( ( )) . 2 1 2 ( ) ( 2 2 E n n n 设 n = ， ，则有 = 例3. 设的分布密度为 ( ) 1/( (1 )) ( ) ( ). 2 f x = + x ，Cauchy 求E
例4设5,92,…,5n相互独立,且均服从参数为的指数分 布,M-max{5,2,,n},N-min{5,点2,,n}, 求E(M)和E(N)。 定义4.3 对ξ=(552…,与,若E(5),i=1,2,…,n都存在, 则称E()=(E(51),E(2)…,E(n)为n维随机变量ξ的数学期望 (或均值向量)
例4. 设 相互独立，且均服从参数为的指数分 布，M=max{ }，N=min{ }， 求E(M)和E(N)。 1 ， 2 ，， n 1 ， 2 ，， n 1 ， 2 ，， n 定义4.3 对=( )，若 都存在， 则称 为n维随机变量的数学期望 (或均值向量)。 1 ， 2 ，， n E(i )，i =1，2，，n ( ) ( ( ) ( ) ( )) E E 1 E 2 E n = ， ，，
定理 设y=g(x是连续函数,n=g(2): )ξ是离散型随机变量,其分布律为 P(=x)=P,t=1,2, 若∑|g(x)<+∞, 则E()=E[(=∑g(x,) 2)ξ是连续型随机变量,其概率密度为x), 若∫g((x)x<+∞, 则联(O)=Eg()=「8(x(x)x
定理 设y=g(x)是连续函数，=g()： 1) 是离散型随机变量，其分布律为 2) 是连续型随机变量，其概率密度为f(x)， P( = xi ) = pi ，i =1，2， 则 。 若 ， i i i i i i E E g g x p g(x p = = = = + 1 1 ( ) [ ( )] ( ) ) 则 。 若 ， E g g x )f x dx g(x) f x dx E( ) [ ( )] ( ( ) ( ) + − + − = = +
推广: 设y=8(x,y)是连续函数5=(5,52)n=g(5,2) l)ξ是离散型随机变量,其分布律为 Pn=P(51=x,52=y,i,j=1,2, 若∑g(x,y 01<+0, 则E(O)=Eg(5,52)=∑g(x,y)P 2)ξ是连续型随机变量,其概率密度为∫(x,y) Oo-+OO 若∫g(x,y)(x,y)ah<+∞, ∞O+O 则E(7)=Eg(552)=∫∫g(x,y)(x,y)b
推广： 设 是连续函数， 1) 是离散型随机变量，其分布律为 2) 是连续型随机变量，其概率密度为 y = g(x，y) = (1 ， 2 )， = g(1 ， 2 )。 pi j = P( 1 = xi ， 2 = y j )，i，j =1，2， ( ) [ ( )] ( ) . ( ) 1 1 2 1 j i j i j i i j i j i j E E g g x y p g x y p 则 ， ， 若 ， ， ， ， = = = = + f (x，y)。 + − + − + − + − = = + ( ) [ ( )] ( ) ( ) . ( ) ( ) E E g 1 2 g x y f x y dxdy g x y f x y dxdy 则 ， ， ， 若 ， ， ，
例5.设二维随机变量(ξ,η)的概率密度为 f(x,少xx+y,当 0≤x≤1,0≤y≤l; 其它 试求ξn的数学期望 定理 1.设a,b,c为任意常数,若a≤≤b,则a≤E()≤b 特别,E(c)=co 2线性性:设a,a,…,an和b为任意常数,贝 EC∑a45+b)=∑aE(5)+b 3若5,52…,5n相互独立,则 E(52…n)=E(951)E(2)…E(n)
例5. 设二维随机变量(，)的概率密度为 试求的数学期望。 0 . 0 1 0 1 ( ) { ， 其它 ，当 ， ； ， + = x y x y f x y 定理 1. 设a，b，c为任意常数，若 特别，E( c)=c。 a b，则a E() b。 2. 线性性：设 a1 ，a2， ，an 和b 为任意常数，则 ( ) ( ) . 1 1 E a b a E i b n i i i n i i + = + = = 3. 若 1 ， 2 ，， n 相互独立，则 E(1 2 n ) = E(1 )E( 2 )E( n )
性质设8(x),t=1,2,…,n为连续函数5,2…,n 为相互独立的随机变量,则81(51),82(2,…,gn(5)也是 相互独立的随机变量。 由此可得 E[81(51)g2(52)…gn(n=E8(51)E[82(52)…Egn(5n 例6.(2003年数学一考研试题十一题) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格 品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产 品放入乙箱后,求: 1)乙箱中次品数X的数学期望 2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率
性质 设 为连续函数， 为相互独立的随机变量，则 也是 相互独立的随机变量。 g x i n i ( )， =1，2，， 1 ， 2 ，， n ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 n n g ，g ，，g 由此可得 [ ( ) ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]. E g1 1 g2 2 gn n = E g1 1 E g2 2 E gn n 例6. (2003年数学一考研试题十一题) 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格 品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产 品放入乙箱后，求： 1) 乙箱中次品数X的数学期望； 2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率
例7.(2002年数学三、四考研试题十二题) 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布, 平均无故障工作的时间(EX)为5小时。设备定时开机,出现 故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机。 试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)
例7. (2002年数学三、四考研试题十二题) 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布， 平均无故障工作的时间(EX)为5小时。设备定时开机，出现 故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。 试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)