第十八讲参数的区间估计 重点:正态总体参数的置信区间 难点:区间估计方法 点估计的优点是简单易行,但缺点是无法知道误差,下面我们要讲的区间估计方法从某种程 度上克服了这种缺点 、置信区间的概念 定义:设总体分布函数F(x,0)含有一个未知参数0,对给定的a(0<a<1),若有两个统计量 θ=(X1x2…,xn)b=6(X1,x2…,xn)满足P{<b<b}=1-a,则称随机区间(,)是0的置信度为1 α的置信区间,θ,6分别称为置信下限和置信上限,1-α称为置信度,用置信区间估计参数的方法 称为参数的区间估计 置信区间的含义:如果做n次抽样,则得n个置信区间(,01),i=1,2,…n,由频率和概率的关 系知道,当n很大时,大约有n(1-a)个区间是包含参数θ的。若只做一次抽样则得到的置信区 间(6,6)属于包含参数θ的区间的概率为1-a,若得到的置信区间(6,)是包含参数0的,则在(0,6) 中任取一个值作为θ的近似值,误差不超过区间长度 置信区间的求法 设总体X~N(μ,σ2),σ2已知,X,X2,…X为样本,为样本均值,求μ的置信度为1-a的置信区 解:由定理有U X-~N(0,1) 所以P
第十八讲 参数的区间估计 重点： 正态总体参数的置信区间 难点：区间估计方法 点估计的优点是简单易行，但缺点是无法知道误差，下面我们要讲的区间估计方法从某种程 度上克服了这种缺点。 一、置信区间的概念 定义：设总体分布函数 F(x, ) 含有一个未知参数θ，对给定的α（0<α<1),若有两个统计量 ( , , , ), ( , , , ) = X1 X2 Xn = X1 X2 Xn − − 满足 = − − P{ } 1 ，则称随机区间 (, ) − 是θ的置信度为 1- α的置信区间， , − 分别称为置信下限和置信上限，1-α称为置信度，用置信区间估计参数的方法 称为参数的区间估计 置信区间的含义：如果做 n 次抽样，则得 n 个置信区间 ( , ) i i − ，i=1,2,…n,由频率和概率的关 系知道，当 n 很大时，大约有 n（1-α）个区间是包含参数θ的。若只做一次抽样则得到的置信区 间 (, ) − 属于包含参数θ的区间的概率为 1-α，若得到的置信区间 (, ) − 是包含参数θ的，则在 (, ) − 中任取一个值作为θ的近似值，误差不超过区间长度 二、置信区间的求法 设总体 X～N(µ,σ 2 ) , σ 2已知, X1,X2,…Xn为样本， X 为样本均值，求 µ 的置信度为 1-α的置信区 间 ~ N(0,1) n X U − 解：由定理有 = = − − {| | } 1 2 u n X 所以 P
因此P{x-7un<<X+7un}=1-a 置信区间为(x x+=ua),简记为(x± 求置信区间的方法: 1.确定枢轴量U:只含待估参数且分布已知的随机变量 2.确定常数a、b使P{a<U<b}=1-a 3.由a<U<b解出待估参数得置信区间 、态总体均值方差的区间估计 1.置信区间表 由于我们见到的很多总体为正态总体,它的参数的置信区间由正态总体样本均值和方差函数的 分布又容易导出,所以我们有下列置信区间公式。 总体待估参数已知条件置信度置信区间 σ2已知 单正 总 未知 (n-1) u未知 ur-2a2a已知|1-a x-F±n厘+2 nI 2 双正 x-rttal(n+n2-2)5, 态总 a2=a未知 体 u12未知1-a S2 Fal s2 说明:在上表中n为NO.)的上侧号分位数,t2为t(m-1)的上侧兰分位数,x2为z2(n-)的上侧2
{ − + } =1− 2 2 u n u X n 因此 P X ( , ) ( ) 2 2 2 u n u X n u X n 置信区间为 X − + ，简记为 求置信区间的方法： 1. 确定枢轴量 U：只含待估参数且分布已知的随机变量 2. 确定常数 a、b 使 P{a U b }=1- 3. 由 a U b 解出待估参数得置信区间 三、态总体均值方差的区间估计 1．置信区间表 由于我们见到的很多总体为正态总体，它的参数的置信区间由正态总体样本均值和方差函数的 分布又容易导出，所以我们有下列置信区间公式。 总体 待估参数 已知条件 置信度 置信区间 单正 态总 体 μ σ2已知 1-α ( ) 2 u n X μ σ 2未知 1-α ( ( 1)) 2 t n − n S X σ2 μ未知 1-α − − − − − ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) 2 2 1 2 2 2 2 n n S n n S 双正 态总 体 μ1-μ2 2 2 2 1 已知 1-α − + 2 2 2 1 2 1 2 n n X Y u μ1-μ2 2 2 2 1 = 未知 1-α − + − + 1 2 1 2 2 1 1 ( 2) n n X Y t n n Sw 2 2 2 1 μ1μ2未知 1-α − 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 , 1 S F S S F S 说明：在上表中 2 u 为 N(0,1)的上侧 2 分位数, 2 t 为 t(n-1)的上侧 2 分位数, 2 2 为 ( 1) 2 n − 的上侧 2
分位数,F为F(n-1,n-1)的上侧分位数。单正态总体X~N(以,o2),x1…,xn为样本,x为样 本均值,S2为方差。双正态总体X~N(,o),Y~N(,02),x1,…,Xm为来自总体X的样本, 为样本均值,s2为方差,H1…2为来自总体Y的样本,了为样本均值,s2为方差,x1,…,Xn与 …,Y2独立。S2=(-S+(m2-1)2 n1+n2-2 置信区间的推导 (1)设总体X~N(μ,o2),σ2未知,X1,X2,…X为样本,x为样本均值,求H的置信度为1-a的 置信区间 解:由定理有1=x ~1(n-1) 所以P k<tn(n-1)}=1 因此PF-S <<X+-tn}=1-a 置信区间为(x±S) (2)设总体X~N(,2),μ未知,X1,X2,…X为样本,求σ2的置信度为1-a的置信区间 解:由定理有x2=(m-)3-x2(n- 因此P 2(n-1) }=1-a 置信区间为(n-)s,(m=1S) 四、例题 例1铁院男生身高X~N(μ,σ2),随机测量16人的身高得x=173cm,s2=3602未知,求μ的置 信度为0.95的置信区间
分位数, 2 F 为 F(n1-1,n2-1) 的上侧 2 分位数。单正态总体 X～N(µ,σ2 )， X X n , , 1 为样本， X 为样 本均值， 2 S 为方差。双正态总体 X～N(µ1,σ1 2 )，Y～N(µ2,σ2 2 )， 1 , , X1 Xn 为来自总体 X 的样本， X 为样本均值， 2 1 S 为方差， 2 , , Y1 Yn 为来自总体 Y 的样本， Y 为样本均值， 2 2 S 为方差， 1 , , X1 Xn 与 2 , , Y1 Yn 独立。 2 ( 1) ( 1) 1 2 2 2 2 2 2 1 1 + − − + − = n n n S n S Sw 2． 置信区间的推导 （1）设总体 X～N(µ,σ2 ) , σ2未知, X1,X2,…Xn为样本， X 为样本均值，求 µ 的置信度为 1-α的 置信区间 ~ ( −1) − = t n S n X t 解：由定理有 − = − − {| | ( 1)} 1 2 t n S n X 所以 P { − + } =1− 2 2 t n S t X n S 因此 P X } ( ) 2 t n S 置信区间为 X 。 （2）设总体 X～N(µ,σ2 ) , µ 未知, X1,X2,…Xn为样本，求σ2的置信度为 1-α的置信区间 ~ ( 1) ( 1) 2 2 2 2 − − = n n S 解：由定理有 ， = − − − − } 1 ( 1) ( 1) { 2 2 1 2 2 2 2 2 n S n S 因此 P ) ( 1) , ( 1) ( 2 2 1 2 2 2 2 − n − S n − S 置信区间为 。 四、例题 例 1 铁院男生身高 X～N(µ,σ 2 ) ,随机测量 16 人的身高得 173 , 36 2 x = cm s = σ 2未知,求 µ 的置 信度为 0.95 的置信区间
解:n=16,x=173cm,s2=36,1-a=0.95,a=0.05,o25(5)=21315,H的置信度为0.95的置信 区间 (x±=(n-1)=(1736 √16 2.1315)=(1698,1762) 例2食堂某师傅的打饭量Ⅹ~N(μ,σ3),随机测量9次打饭量(单位:两):4,4.1,4.2,3.9,3.9, 3.9,4,3.8,3.9,求μ,σ2的置信度为0.95的置信区间 解:n=9,x=3.967,s2=00151-a=0.95a=005 查表得l023(8)=2.305,x23(8)=2.18,x203(8)=17.535, μ的置信度为0.95的置信区间 (X±1l/(n-1)=(3.8734.061) σ2的置信度为0.95的置信区间 (n-1)s2(n-1)s2 x2(n-1)2x2(n-/=(00068055 例3南方成年男子身高X~N(,σ2),随机测量4人的身高:167,170,175,188:北方成年男子 身高Y~N(μ,σ2),随机测量4人的身高:168,176,176,173,两样本独立。求南北方成年男子 平均身高差的的置信度为0.95的置信区间 解:n=n=4,x=175cm,s1=86,j=173.25cm,2=1425,1-a=0.95,a=0.05,to25(6)=2.419, S2=5025南北方成年男子平均身高差的的置信度为0.95的置信区间 x-y土t(m1+n2-2)+=(1.75±5006×2419)=(-104991399 n
解：n=16, 173 , 36 2 x = cm s = ,1-α=0.95, α=0.05，t0.025(15) = 2.1315 ，µ 的置信度为 0.95 的置信 区间 2.1315) (169.8,176.2) 16 6 ( ( 1)) (173 2 t n − = = n S x 例 2 食堂某师傅的打饭量 X～N(µ,σ 2 ) ,随机测量 9 次打饭量（单位：两）：4，4.1，4.2，3.9，3.9， 3.9，4，3.8，3.9，求 µ，σ2的置信度为 0.95 的置信区间 9, 3.967, 0.015,1 0.95, 0.05 2 解：n = x = s = − = = , (8) 2.305 (8) 2.18, (8) 17.535 2 0.025 2 查表得 t 0.025 = ， 0.975 = = ， µ 的置信度为 0.95 的置信区间 ( ( 1)) (3.873,4.061) 2 t n − = n s x σ2的置信度为 0.95 的置信区间 (0.0068,0.055) ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) 2 2 1 2 2 2 2 = − − − − − n n s n n s 例 3 南方成年男子身高 X～N(µ1,σ2 ) ,随机测量 4 人的身高：167，170，175，188；北方成年男子 身高 Y～N(µ2,σ2 ) ,随机测量 4 人的身高：168，176，176，173,两样本独立。求南北方成年男子 平均身高差的的置信度为 0.95 的置信区间 解：n1=n2=4, 175 , 86 2 x = cm s1 = , 173.25 , 14.25 2 y = cm s2 = ，1-α=0.95, α=0.05，t0.025(6) = 2.4469 ， 50.125 2 Sw = 南北方成年男子平均身高差的的置信度为 0.95 的置信区间 (1.75 5.006 2.4469) ( 10.499,13.999) 1 1 ( 2) 1 2 1 2 2 = = − − + − + n n x y t n n s w