Chap5微分方程 §51微分方程的基本概念 §52一阶微分方程 1§5.3二阶微分方程 §5.1微分方程的基本概念 微分方程的定义 含有未知函数的导数(或微分)的方程, 称为微分方程 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个, 称这种微分方程为常微分方程
1 Chap5 微分方程 §5.1 微分方程的基本概念 §5.2 一阶微分方程 §5.3 二阶微分方程 §5.1 微分方程的基本概念 一、微分方程的定义 含有未知函数的导数（或微分）的方程， 称为微分方程 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个， 称这种微分方程为常微分方程
微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数, 称为微分方程的阶数 例如 3yy+2y=e 三阶 (")+5y-4y=smx三阶 +5y-4y=(imx)7]二阶 §5.2一阶微分方程 一、可分离变量的徽分方程 形如 小y 队=f(x)0)的方程称为可分离变量的 微分方程这里f(x)g(y)分别是x、y的连续函数
2 例如： 3 2 x y yy y e ′′′ ′′ − += 2 ( ) 5 4 sin y yy x ′′′ ′ + −= 2 ( ) 5 4 (sin ) y yy x ′′ ′ ′′′ + −= 三阶 三阶 二阶 1. 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数， 称为微分方程的阶数 §5.2 一阶微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) f x gy xy dy f xgy dx 形如 的方程， = 称为 的 微分方程，这里 、 分别 可分离变 是 、 量 的连续函数 一、可分离变量的微分方程
例1:求微分方程+x=sinx的通解 解:移项 =SInx-u dx 分离变量=sinx-x)dx 两边积分∫=∫imx-x)de 得通解y=-cosx-1x2+c (c是任意常数) d 例2:求微分方程 的通解 d 解:分离变量y=-xt 两边积分1y2=-1x2+1c 2 2 得通解y2=-x2+c 即x2+y2=c或y=±√e
3 例1： sin dy x x dx 求微分方程 的通解 + = 移项 sin dy x x dx = − 分离变量 dy x x dx = (sin ) − 两边积分 dy x x dx = − (sin ) ∫ ∫ 得通解 1 2 cos 2 y x =− − x + c ( ) c是任意常数 解： 例2： x + y = c 2 2 dy x dx y 求微分方程 的通解 = − 分离变量 ydy xdx = − 两边积分 得通解 y = − x + c 2 2 即 2 或 y =± −c x 1 1 2 2 2 2 1 2 y x = − + c 解：
例3求微分方程女=2y的通解 解:分离变量小 =rdx 两边积分Iny=x2+lnc 得通解y=ce 注:因为不影响最后结果,所以约定,在解微分 方程的过程中 ∫ d形式可写成lnx+c 自例4求微分方程(1+y2x+yy=0的通解 解:移项 (+y)dr=-xydy 分离交量d≠1+y d J 1 d(1+y 21+y 两边积分Inx=-lm(1+y2)+lnc 2 点得通解 xvi+y
4 例3： 2 dy xy dx 求微分方程 的通解 = 分离变量 2 dy xdx y = 两边积分 2 ln y = + x c ln 2 x 得通解 y = ce 1 dx x c ln x + ∫ 注：因为不影响最后结果，所以约 形式可 定， 写成 在解微分 方程的过程中， 解： 例4： 2 求微分方程 的通解 (1 ) 0 + += y dx xydy 移项 2 (1 ) + =− y dx xydy 分离变量 2 1 dx ydy x y = − + 两边积分 1 2 ln ln(1 ) ln 2 x yc =− + + 得通解 x + y = c 2 1 2 2 1 (1 ) 2 1 y d y x dx + + = − ⋅ 解：
例5:求微分方程 y coSx的通解,并求 满足初始条件当x=0时,y=1的特解 解:分离变量0xt 两边积分 =sinx+c 得通解 J sinx+c 将x=0,y=1代入通解,得c=-1 ∴所求特解为y 1-sin x 二、齐次微分方程 形如=g(的方程称为齐次微分方程, 目这里q(u)是连续函数 作变量变换 d 令u=,即y=ux则 L =x一+L 代入方程求解最后用u=代回原来的变量
5 例5： 2 cos 0 1 dy y x dx x y = = = 求微分方程 的通解，并求 满足初始条件 的特解 当 时， 分离变量 2 cos dy xdx y = 两边积分 1 sin x c y − = + 得通解 1 sin y x c = − + 将 ， 代入通解，得 xy c = = =− 01 1 1 1 sin y x ∴ = − 所求特解为 解： 二、齐次微分方程 ( ) ( ) dy y dx x ϕ u u 形如 的方程， = ϕ 称为 微分方程， 齐次 这里 是 的连续函数 作变量变换 y u y ux x 令 ，即 = = dy du x u dx dx 则 = + 代入方程求解 y u x 最后用 代 = 回原来的变量
自例1:求微分方程=卫+tmny的通解 dx x 解:令y_m少d 十L d x 代入原方程xx+=+tanu→x=tanu d x 分离变量 coteau d(sin u) sInl 两边积分mn(sinu)=lnx+lnc→sinu=cx 目将n=代回,得通解|sin=cx 例2求微分方程=2(+2满足川=2=0的特解 解:令=l则=x,+u dx du 代入原方程x+u=2√l+u→x=2、a d 分离变量 2√lx 自两边积分m=mx+lne→e=cx 将u=代回,得通解cx=e 目将y2=0代入通解,得c=,:所求特解x=2e 6
6 例1： tan dy y y dx x x 求微分方程 的通解 = + u x y 令 = u dx du x dx dy 则 = + 代入原方程 tan du x uu u dx +=+ tan du x u dx ⇒ = 分离变量 cot dx udu x = x dx u d u ⇒ = sin (sin ) 两边积分 ln(sin u) = ln x + lnc ⇒ sin u cx = 将 代回，得通解 x y u = sin y cx x = 解： 例2： 2 2 0 x dy y y y dx x x = 求微分方程 满足 的特解 =+ = 代入原方程 u x y 令 = u dx du x dx dy 则 = + 2 du x u uu dx + = + 2 du x u dx ⇒ = 分离变量 x dx u du = 2 两边积分 u = ln x + lnc u ⇒ e cx = 将 代回，得通解 x y u = y x cx e = 2 0 1 2 x y c = 将 代入通解， = 得 = 2 y x ∴所求特解 x e = 解：
三、一阶线性徽分方程 形如y+P(x)y=Q(x方程称为一阶线性微分方程 图若Q(x)=0,则y+P(x)y=0 称为一阶线性齐次微分方程 若Qx)≠0,则+P(x)y=Q 称为一阶线性非齐次微分方程 一阶线性非齐次徽分方程的通解公式 +P(x)y=o(r) y=e P(a)e(x) P(a)ldd+cl
7 三、一阶线性微分方程 形如 的方 y Pxy Qx ′ + () () = 程称为一阶线性微分方程 若 ，则 Q x() 0 ≡ y Pxy ′ + () 0 = 称为一阶线性齐次微分方程 若 ，则 Q x( ) ≠ 0 y Pxy Qx ′ + () ( = ) 称为一阶线性非齐次微分方程 () () [ ] ( ) P x dx P x dx y e e dx Q x c −∫ ∫ = + ∫ 一阶线性非齐次微分方程的通解公式 y y ′ + = Px Qx ( ) ( )
百例:求微分方程少 dx+1J=e(x+1的通解 解:将P(x)、Q(x)代入求解公式得通解 J e(x+1)"e dx +cl d(x+1 e (x+lre dx+cl mx订e(x+1) e-in(x+d+c en(x+le(x+1"(x+dx+cl (+1)e(x+y(x+1+ (x+)1∫d+dl=(x+y(°+c) 例2求微分方程+ cost=e的通解 d 解:P(x)=csxQ(x)=ex 将P(x)、Q(x)代入求解公式得通解 y=e de +c em∫emce"+cl dr+ (r+c
8 例1： ( 1) 1 n x n dx e y x x d − + y = + 求微分方程 的通解 解：将 、 代入求解公式得通解 Px Qx () () 1 1 [ ( 1) ] x n n d x n dx x x y e e x e dx c − + + ∫ ∫ = ++ ∫ 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 [ ( 1) ] n dx n dx x x x n e e x e dx c + −+ + + ∫ ∫ = ++ ∫ ln( 1) ln( 1) [ ( 1) ] nx n x n x e e x e dx c + −+ = ++ ∫ ln( 1) ln( 1) [ ( 1) ] n n x x x n e e x e dx c − + + = ++ ∫ ( 1) ( [ ( 1) 1) ] n x n n x e x x x d c − = ++ + + ∫ ( 1) [ ] n x =+ + x c e dx ∫ ( 1) ( ) n x =+ + x ec 例2： sin cos dy x y xe dx − 求微分方程 的通解 + = 将P(x)、Q(x)代入求解公式得通解 sin cos cos [ ] x xdx xdx y e e e dx c − −∫ ∫ = + ∫ P x( ) = cos x sin ( ) x Q x e− = sin sin sin [ ] x x x e e e dx c − − = + ∫ sin [ ] x e c dx − = + ∫ sin ( ) x e xc − = + 解：
注 (1)在标准形式下解题 3(2)每一个不定积分只取一个原函数,任 意常数均包含在c中 (3)倒数函数的原函数,真数两边不要加 绝对值,否则无法整理 §53二阶微分方程 、特殊类型的二阶微分方程 "=∫(x)型的二阶微分方程 可逐次积分求通解 例:求微分方程y"=4sin2x的通解 解:两边积分 y=-2cos 2x+c 再次积分得通解y=-sin2x+c1x+c2
9 注： （1）在标准形式下解题 （2）每一个不定积分只取一个原函数，任 意常数均包含在c中 （3）倒数函数的原函数，真数两边不要加 绝对值，否则无法整理 §5.3 二阶微分方程 一、特殊类型的二阶微分方程 y fx ′′ = ( ) 型的二阶微分方程 可逐次积分求通解 求微分方程 的通解 y x ′′ = 4s n2 i 两边积分 1 y ′ = − + 2cos2x c 再次积分得通解 1 2 y = − ++ sin 2x cx c 例： 解：
二、二阶常系数线性微分方程 形如y"+P(x)y+Q(x)y=f(x)的微分方程称为 二阶线性微分方程 当f(x)≡0时,称为二阶线性齐次微分方程 当f(x)≠0时,称为二阶线性非齐次微分方程 [f(x)称为非齐次项] 当P(x)Q(x)为常数时,称为二阶常系数线性 ‖微分方程 1.二阶线性微分方程解的性质 性质1 若y1(x)和y2(x)都是二阶线性齐次微分方程 y+P(x)y+o(x)y=0 的解,则 y=Cy,(x)+c2y2(x) 也是该方程的解(c1c2为任意常数) 线性齐次方程的解的迭加原理
10 二、二阶常系数线性微分方程 形如 的微分方 y Pxy Qxy f x ′′ ′ + += () () () 二阶线 程称为 性微分方程 当 时，称为 f x() 0 ≡ 二阶线性齐次微分方程 当 时，称为 微分方程 f x() 0 ≠ 二阶线性非齐次 ⎡ f x( ) ⎤ ⎣ 称为非齐次项⎦ 当 时， Px Qx () () 、 为常数 二阶常系数线性 称为 微分方程 1. 二阶线性微分方程解的性质 1 2 11 2 1 2 2 () () ( ) ( ) 0 ( () () ) yx yx y Pxy Qxy y cy x c cy x c ′′ ′ + += = + 若 和 都是二阶线性齐次微分方程 的解，则 也是该方程的 、 为任意常数 解 （线性齐次方程的解的迭加原理） 性质1