Chap2导数与微分 §21导数的概念 82,2导数的基本公式与运算法则 §23高阶导数 蜜§2.4导数的应用 82.5微分 §21导数的概念 导数的定义 设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义, 当自变量x在点x处有增量△时,相应的函数 的增量Ay=f(x0+△x)-f(x0)如果极限 △ lim =linf(xn+△x f(x0) △x→0△x△x→0 △r 存在,则称函数f(x)在点x可导,并称此极限 值为函数f(x)在点x的导数,记作f(x)即:
1 Chap2 导数与微分 §2.1 导数的概念 §2.2 导数的基本公式与运算法则 §2.3 高阶导数 §2.4 导数的应用 §2.5 微分 导数的定义 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) () lim lim ( ) ( ) ( ) x x y fx x xx x y y fx x fx y x fx x fx x f f f x x x x x Δ → Δ → = Δ Δ = +Δ − +Δ − = Δ Δ Δ ′ 设函数 在点 的某个邻域内有定义， 当自变量 在点 处有增量 时，相应的函数 的增量 ，如果极限 存在，则称 ，并 函数 在点 可导 称此极限 值为函数 在点 的导数，记作 ，即： §2.1 导数的概念
∫(xn)= lim Ay_imf(xn+△x)-f(xn) Ax→0△x△x→0 △ 也可记作y d 或 df(x) dx x=o 例1:已知f(x0)=1, 则imf(x+3h)-f(x) h =lim3/(o+3/)-f(o) h→0 3 3 lim/(*o+3/2)-/(o) 3h→0 3h =3f(x0) 3·1=3
2 0 0 0 ( ) x x xx xx dy df x y dx dx = = = 也可记作 、 或 ′ 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim lim x x y f f x x x x x f Δ → Δ → x + Δ − = Δ ′ = Δ Δ 例1： 0 已知 ， ( ) 1 f x ′ = 0 0 0 ( ) () lim 3 3 h 3 fx f h x → h + − 0 0 3 0 ( ) () 3 li 3 3 m h f x h f h x → + − = 0 = 3 f x ′( ) = 3 ⋅ 1 = 3 0 0 0 ( ) () lim 3 h f x h f x → h + − = 则
例2:已知f(x)=1, 则/nf(xn-31)-f(x) h→0 h =-3 im f(x0-3h)-f(x0) 3h→0 -3h 3f(x0)=-3 例3:已知f(x0)=1, 则 f(x0+3h)-∫(x 2h f∫(x0+3h)-f(x0) 23h→0 3 f(o) 2
3 例2： 0 已知 ， ( ) 1 f x ′ = 0 3 0 0 ( ) () 3 l 3 im h 3 h h fx fx − → − = − − − 0 = − =− 3 3 f x ′( ) 0 0 0 ( ) () lim 3 h f x h f x → h − − 则 例3： 0 已知 ， ( ) 1 f x ′ = 0 3 0 0 3 ( ) () lim 2 3 3 h f x h h f x → + − = 0 ) 3 2 2 ( 3 = = f x ′ 0 0 0 ( ) () 3 lim h 2 fx fx h → h + − 则
导函数的定义 f(x)在I上的导函数,简称导数, 记作f(x),y,或(,即: dx △ 用|f(x)=lim f(x+△x)-f(x) lin Ar→0 △x △x→0△x 则函数f(x)在点x处的导数值f(x) 就是导函数f(x)在x=x处的函数值, ‖即: f(o)=f(xsx
4 导函数的定义 ( ) ( ) ( ) dy df x fx y d f I x x dx ′ ′ 在 上的 ， ， 导函数 简 记作 ， 称 ， 或 导数 ，即： 0 0 ( ) li ( ) ( i ) l m m x x fx x f f x x x y Δ → x Δ → +Δ − ′ Δ Δ = Δ = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) () x x fx x f x fx x f fx x x = ′ ′ = ′ ′ = 则函数 在点 处的导数值 就是导函数 在 处的函数值， 即：
导数的几何意义 函数f(x)在点x的导数f(x)就是曲线=f(x) 在点(x0,f(x0)处切线的斜率 切线方程:y-f(x)=f(xx-x, 例:求曲线y=x2在点(1,1)的切线方程 解:该曲线在点(1,1)处切线的斜率k k=f(x)=f(1)=2x1=2 则所求切线方程为:y-1=2(x-1) 即2x-y-1=0 §2,2导数的基本公式与运算法则 、导数公式(熟记) c)=0 (x") (a)=alna当a=e时,(e (og, x) 当a=e时,有(lnx)
5 导数的几何意义 0 0 0 0 ( ) ( ,( () ( ) )) fx x f x x y fx f x 函数 在点 的 ′ 曲线 = 在点 处切 导数 就是 线的斜率 0 00 切线方程：y fx f x x x − ( ) ( )( ) = − ′ 求曲线 y = x2 在点(1，1)的切线方程 该曲线在点 (1，1)处切线的斜率 k 0 k fx = ′( ) = f ′(1) 1 2 = = x x = 2 则所求切线方程为：y x − 1 2( 1) = − 即 2 10 x y − − = 例： 解： §2.2 导数的基本公式与运算法则 一、导数公式（熟记） () 0 c ′ = 1 (log ) ln a x x a ′ = 1 a e (ln ) x x 当 时， = 有 ′ = 1 ( ) x x α α α − ′ = ( ) ln x x a aa ′ = ( ) x x 当 时， a = e e ′ = e
sinx)=cosx (cosx =-sin x (tan x)=sec x(cot x)=-csc'x (sec x)=sec x tanx G(cscx)'=-cscxcotx (arcsin x) (arccos x) (arctan x) 1+x (arc cotx)= 1+x
6 (sin ) cos x x ′ = (cos ) sin x x ′ = − 2 (tan ) sec x x ′ = 2 (cot ) csc x x ′ = − (sec ) sec tan x xx ′ = ⋅ (csc ) csc cot x xx ′ =− ⋅ 2 1 (arcsin ) 1 x x ′ = − 2 1 (arccos ) 1 x x ′ = − − 2 1 (arctan ) 1 x x ′ = + 2 1 ( cot ) 1 arc x x ′ = − +
二、函数四则运算的求导法则 如果函数u=l(x)与v=v(x)都是x的可导函数 则 (1)(a±)='±→有限个函数和差的情况 (2)(n·v)=a'v+uv 当v(x)=c(常数),有(cn) ch n’p-u (3)() (p≠0) 当u(x)=1,有(、p (V≠ b(1)y=3x 2 x+ 4In2 y=(3x2)-(2log2x)+(4l2) =3·2x-2 +0 xIn2 6x In 2
7 二、函数四则运算的求导法则 如果函数 与 都是 的可导函数 u ux v v = = () () x x (u ± v)′ = u′ ± v′ → 有限个函数和差的情况 (u ⋅ v)′ = u′v + uv′ 当 常数 ， vx c ( ) ( ) = 有 ( ) cu cu ′ = ′ ( ) 2 （ ≠ 0） ′ − ′ ′ = v v u v uv v u 2 1 ( ) 1 ( 0) () v v v ux v ′ 当 ，有 = ′ = − ≠ 则： （1） （2） （3） 例（1） 2 2 yx x =− + 3 2log 4ln2 2 2 y ′ =− + (3 ) (2log ) (4ln 2) x x ′ ′ ′ 3 2 1 2 l 2 0 n x x =⋅ −⋅ + 2 6 ln 2 x x = −
(2)y=3c0sx·lnx y=3(c0sx·Inx) 3(cos x). Inx+ cos x (Inx) = 3-sin x In x+cosx (3)y= 1+x (2-x)(1+x2)-(2-x)(1+ J (1+x2) (1+x2)-(2-x)·2x (1+x2)2 4x-1 (1+x2)2
8 （2） y xx = ⋅ 3cos ln y ′ = ⋅ 3(cos ln ) x x ′ = ⋅+ 3[ ln cos ] (cos ) (ln ) x x ′ x x ⋅ ′ ] 1 3[ sin ln cos x = − x ⋅ x + x ⋅ 2 1 2 x x y + − = 2 2 2 2 (2 ) (1 (1 ) (2 ) ) ) (1 x x x x y x ′ + − ′ ′ + − = − + 2 2 2 (1 ) (1 ) (2 ) 2 x x x x + − + − − ⋅ = 2 2 2 (1 ) 4 1 x x x + − − = （3）
三、复合函数的求导法则 如果函数n=g(x)在点x处有导数=q(x) 函数y=f()在对应点a处有导数y=f(a) 则复合函数y=f(q(x)在点x处也可导,且 =以或咖。dm dh 例:求下列函数的导数 (1)y=sin 3 x i y=sinu, u=3x y'=cos 3x(3x)=3 cos 3x (2)y=sin'x iy=u',u=sinx y=3sin x (sin x =3sinxcosx
9 三、复合函数的求导法则 () () ( ) ( ( ( )) ) x u ux x y fu u x u y fu yf x x ϕ ϕ ϕ = = = ′ = ′ ′ = ′ 如果函数 在点 处有导数 ， 函数 在对应点 处有导数 ， 则复合函数 在点 处也可导，且 x ux dy dy du y yu dx du dx ′ ′′ =⋅ = ⋅ 或 例：求下列函数的导数 y = sin 3x 设 ， y = sin 3 uu x = y xx ′ ′ = cos3 (3 ) ⋅ = 3cos 3x （1） y x 3 = sin 3 设 ， yuu x = = sin 2 y xx ′ ′ = ⋅ 3sin (sin ) 3sin x cos x 2 = ⋅ （2）
例:求下列函数的导数 (1)y=(4x-5) (可根据复合函数求导法则直接由外向里逐层求导) y'=(4x-5)y 004x-5)·(4x-5) =4004x-5) (2) y=Insect y=(Insecx) (secx sec Secy·tanx sec tanx
10 例：求下列函数的导数 100 y = (4x − 5) ( ) 可根据复合函数求导法则，直接由外向里逐层求导 100 y ′ = − [(4 5) ] x ′ 100(4 5) (4 5) 99 = x − ⋅ x − ′ 99 = 400(4x − 5) （1） y = lnsec x y x ′ = (ln ) s ce ′ 1 (sec s ) ec x x = ⋅ ′ x x x sec tan sec 1 = ⋅ ⋅ （2） = tan x