医用高等数学 理学院 g版权所有 Chap函数、极限与连续 §11函数 蜜制§1.2极限 蜜81.3无穷小量与无穷大量 §14函数的连续性 §2.4罗必塔法则
1 医用高等数学 理学院 版权所有 Chap1 函数、极限与连续 函数、极限与连续 §1.1 函数 §1.2 极限 §1.3 无穷小量与无穷大量 §1.4 函数的连续性 §2.4 罗必塔法则
§1.1函数 复合函数 定义: 设有两个函数y=f(),=g(x),且x在函数 目叫(x)的定义域或其一部分上取值时所对应的 带值,函数y=f(m)有定义,则得到是的函数 y=fp(x)称为由y=f(n),=g(x)复合而 成的函数,u称为中间变量 例(1)y=sinu,l=x2→>y=sinx2 (2)y=u', u=sinx>y=sinx 复合函数也可以由多个函数相继复合而成 例:y= log u,u=√",v=1-x2 →y=loga
2 定义： ( ) ( ) ( ) () [()] ( ) ( ) x x u y fu y fu u x y x yf x y fu u x u ϕ ϕ ϕ ϕ = = = = = = 设有两个函数 ，且 在函数 的定义域 或其一部分上取值时所对应的 值，函数 有定义，则得到 是 的函数 ，称为由 ， 复 ， 称 合而 成的函数， 为中间变量。 二、复合函数 §1.1 函数 2 2 y uu x = =→ sin ， y x = sin 2 2 yu u x = = ， sin → y = sin x 例（1） （2） 复合函数也可以由多个函数相继复合而成 2 2 log 1 log 1 a a v x y uu v x y = = = =− → − 例： ，
把一个复杂的复合函数分解为若干个简单 的函数 例(1) y=2是由y=2",l=sinx复合而成 (2) y=gco2x是由y=n,u=lgy, v=w2,w=cosx复合而成 三、初等函数 1.幂函数指数函数对数函数 三角函数反三角函数 统称为基本初等函数 2.初等函数 H由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算 和有限次的复合所构成的由一个解析式表示的 函数,称为初等函数
3 把一个复杂的复合函数分解为若干个简单 的函数 sin 2 2 nsi x u y = 是由 ， 复合而成 y = u x = 2 2 3 3 lgcos lg c so y uu v vw w y x x = = = = = 是由 ， ， ， 复合而成 例（1） （2） 三、初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 统称为基本初等函数 1. 2. 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算 和有限次的复合所构成的由一个解析式表示的 函数，称为初等函数
§12极限 极限是描述在自变量的某个变化过程中, 对应的函数值的变化趋势 数列极限 定义: 对于数列如果存在某个确定的常数4 使得当无限增大时,u无限接近于A,则把 常数4称为数列{un}的极限,也称数列an严收 敛于A,记作:imun=A n→+
4 §1.2 极限 极限是描述在自变量的某个变化过程中， 对应的函数值的变化趋势。 { } { } li {} m n n n n n n A n uA u u A u u A A →+∞ = 对于 ，如果存在某个确定的常数 ， 使得当 无限增大时， 无限接近于 ，则把 ，也称数列 ，记作： 数列 常数 称为数列 的极限 收 敛于 定义： 一、数列极限
例如: im(3+)=3 lim(3- 3 n→+0 n→+o lim (3+ (-1 )=3 lim 3=3 n→+o n→+0 (常数教列的极限是其本身) 二、函数极限 对于函数y=f(x),自变量x的变化趋势: (1)x→∞(x→>+∞,x→-) (2)x→x0(x为常数,x≠x)
5 例如： ) 3 10 1 lim (3 + = →+∞ n n ) 3 1 lim (3 − = n→+∞ n ) 3 ( 1) lim (3 = − + →+∞ n n n lim 3 = 3 n→+∞ （常数数列的极限是其本身） 二、函数极限 对于函数 ， y fx x = ( ) 自变量 的变化趋势： x → ∞ ( ) x x → +∞ ， → −∞ 0 0 0 x x → ( ) x xx 为常数 ， ≠ （1） （2）
1.当x→∞时,函数f(x)的极限 定义: 如果当x无限增大时(记作x→,函数 值f(x)无限接近于某个确定的常数A,则 称当x→∞时,f(x)的极限是A,记作 imf(x)=A或f(x)→A(x→∞) x→0 例1: (1)Iim()=0 x→ (2)im2=0 x→-0 y
6 定义： () ( ) ( ) x x fx A x fx A → → ∞ ∞ 如果当 无限增大时 记作 ，函数 值 无限接近于某个 当 时， 的极限 确定的常数 ，则 称 ， 是 记作： lim ( ) ( ) x fx A fx A x →∞ = → →∞ 或 （ ） 1. 当 时 x → ∞ ，函数f x( )的极限 例1： （1） 1 lim ( ) 2 x x→ +∞ lim 2 x x →−∞ = 0 （2） = 0
例2: (1) lim arctan x→+0 2 (2) lim arctan r s、z x→-0 (3) lim arctan x不存在 x→0 y= arctan 2.x→x(常数)时,函数f(x的极限 定义: 5设函数f(x)在点的附近有定义(在点x可以 无定义),如果当x无论以何种方式无限接近 于x0时(记作x→x),函数值f(x)无限接近 于某个确定的常数A,记作: im∫(x)=A或∫(x)→A(x→x0) x→x0
7 例2： （1） lim arctan x x →+∞ lim arctan x x →−∞ lim arctan x x →∞ 2 π = 2 π = − 不存在 （2） （3） 定义： 0 0 0 0 ( ) () fx x x x x fx A x x → 当 无论以何种方式无 设函数 在点 的附近有定义（在点 可以 无定义），如果 （记作 ），函数值 无限接近 于某个确定的 限接 常数 ， 近 于 时 记作： 0 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x A f x Ax x → = →→ 或 2. 0 当 （常数）时 x x → ，函数 的极限 f x( )
例1:f(x)= 当x→2时的极限 2 解::lim =lim(x+2)=4 x→2x-2x→2 2x+1x≠ 例2:∫(x)= 2 10x= ,当x→时的极限 2 2 ‖解:imf(x)=|m2x+1)=2≠f( x→ 2 单侧极限: (1)如果当x从x的左侧(x<x)趋于x时, 函数f(x)无限趋近于常数A,则称A 为当x→x时的左极限,记作: lim f(x)=A x→x0
8 例1： ，当 2时的极限 2 4 ( ) 2 → − − = x x x f x 2 2 4 lim x 2 x → x − ∴ − 2 lim( 2) x x → 解： = + = 4 ，当 时的极限 2 1 2 1 10 2 1 2 1 ( ) → ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≠ = x x x x f x lim ( ) 2 1 f x x→ 1 2 lim(2 1) x x → = + = 2 1 ( ) 2 ≠ f 例2： 解： 单侧极限： 0 00 0 ( ( ) x x xx ) f x x A x x A < → 如果当 ， 函数 无 从 的左侧 趋于 时 称 为当 时的左极限 限趋近于常数 ，则 ，记作： （1） 0 lim ( ) x x fx A → − =
(2)如果当x从x的右侧(x>x)趋于x时, 函数f(x)无限趋近于常数A,则称4 为当x→x时的右极限,记作: lim f(r=A x→x0 im∫(x)存在的充要条件是: x→x 当x→x时,左、右极限都存在且相等, 即:limf(x)=Iimf(x) x→x0 该结论一般用于分段函数在分段点求极限
9 0 00 0 ( ( ) x x xx ) f x x A x x A > → 如果当 ， 函数 无 从 的右侧 趋于 时 称 为当 时的右极限 限趋近于常数 ，则 ，记作： （2） 0 lim ( ) x x fx A → + = 0 lim ( ) x x f x → 存在的充要条件是： 该结论一般用于分段函数在分段点求极限 0 0 0 lim ( ) lim ( ) xx xx x x fx fx → → − + → = 当 时，左、右极限都存在且相等， 即：
xx≤0 例1:∫(x)= ,当x→0时的极限 1x>0 解:∵Iim∫(x)=limx=0 x→0 x→0 lim f(r)=lim 1=1 x→0+ x→0+ 左、右极限都存在但不相等 limf(x)不存在 例2:f(x)=x,当x→0时的极限 解:f(x)=x xx≤0 xx>0 .lim f(x)=lim (x)=0 x→0 lim f(r)=lim x=0 x→0 ∴im∫(x)=0 x→0
10 0 ( ) 0 1 0 x x fx x x ⎧ ≤ = → ⎨ ⎩ > ，当 时的极限 0 lim ( ) x f x → + 0 lim ( ) x f x ∵ → − x x→ − = 0 lim lim 1 0 → + = x = 1 = 0 lim ( )不存在 0 f x x→ ∴ 例1： 左、右极限都存在但不相等 解： fx x x ( ) 0 = → ，当 时的极限 0 ( 0 ) x x x x fx x − = = ⎧ ≤ ⎨ ⎩ > 0 lim ( ) x f x ∵ → − 0 lim ( ) x f x → + 0 lim( ) x x → − = − 0 lim x x → + = = 0 = 0 lim ( ) 0 0 ∴ = → f x x 例2： 解：