第七讲连续型随机变量 重点:连续型随机变量概率密度函数的性质、正态分布的性质及计算。 难点:连续型随机变量概率密度函数的性质 连续型随机变量的基本概念 离散型随机变量并不能描述所有的随机试验,对于可在某一区间内任意取值的随机变量X,由 于它的值不是集中在有限个或可列个点上,因此只有知道其取值于任一区间上的概率P{a<X≤b} (其中,α<b为任意实数),才能掌握它取值的概率分布情况。对于这种取值非离散型的随机变量, 其中有一类很重要也很常见的类型,就是所谓的连续型随机变量。 定义1设随机变量X的分布函数为F(x),若存在非负函数fx),使得对任意实数x有 F(x)=f(0=P{x≤x 则称X为连续型随机变量,称∫x)为X的分布密度或概率密度或密度函数。 注易知连续型随机变量的分布函数是连续函数。 f(x)有如下性质 1)fx)≥0(非负性) 2)(x)k=1(规一性) 反之,可以证明,定义在R上的任一函数,若满足上面两个条件,则它一定是某个连续型随 机变量的概率密度。 3)Pa<X≤6=F(b)-F(a)=f(x);一般地,若LcR,则PX∈L=J(x 4)若fx)在点x连续,则有F(x)=fx) 5)X为连续型随机变量,则P{X=a}=0.由此可知若A是不可能事件,则P{A}=0,反之,若 P{A}=0,A不一定是不可能事件;同理,若A是必然事件,则P{A}=1,反之,若P{A}=1,A不 定是必然事件。 注性质1)表明fx)位于x轴上方;2)说明密度函数与横轴之间的面积等于1;3)说明事件{a<X
第七讲 连续型随机变量 重点：连续型随机变量概率密度函数的性质、正态分布的性质及计算。 难点：连续型随机变量概率密度函数的性质。 一、连续型随机变量的基本概念 离散型随机变量并不能描述所有的随机试验，对于可在某一区间内任意取值的随机变量 X，由 于它的值不是集中在有限个或可列个点上，因此只有知道其取值于任一区间上的概率 P{a<X≤b} （其中，a<b 为任意实数），才能掌握它取值的概率分布情况。对于这种取值非离散型的随机变量， 其中有一类很重要也很常见的类型，就是所谓的连续型随机变量。 定义 1 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，若存在非负函数 f(x)，使得对任意实数 x 有 F(x) f (t)dt P{X x} x = = − 则称 X 为连续型随机变量，称 f(x)为 X 的分布密度或概率密度或密度函数。 注 易知连续型随机变量的分布函数是连续函数。 f(x)有如下性质： 1）f(x)≥0（非负性）； 2） ( ) =1 （规一性）； − f x dx 反之，可以证明，定义在 R 上的任一函数，若满足上面两个条件，则它一定是某个连续型随 机变量的概率密度。 ） = − = ； b a 3 P{a X b} F(b) F(a) f (x)dx = L 一般地，若L R，则P{X L} f (x)dx . 4) 若 f(x)在点 x 连续，则有 F’(x)= f(x)。 5）X 为连续型随机变量，则 P{ X=a}=0. 由此可知若 A 是不可能事件，则 P{ A}=0，反之，若 P{ A}=0，A 不一定是不可能事件；同理，若 A 是必然事件，则 P{ A}=1，反之，若 P{ A}=1，A 不 一定是必然事件。 注 性质 1）表明 f(x)位于 x 轴上方；2）说明密度函数与横轴之间的面积等于 1; 3) 说明事件{a<X
≤b}的概率等于区间(ab)上密度函数fx)之下,横轴之上的曲边梯形的面积(如图1):4)给出求fx) 的方法,(F(x)=(x);5)说明计算连续型随机变量落在某一区间的概率时,可以不必区分区间的 开闭。即 F(b)-F(a)=P{a1}。 解:由[f(x)d=L,可知kedx=1 解得k=3。于是X的概率密度为 f(x)= J3e- x>0 l0 x≤0 从而PX>=「=”3“b=-=c 例2设连续型随机变量X的分布函数为 (:=14+k x>0 0 0 试求1)常数A,B;2)密度函数fx):3)X落在区间(1,2)内的概率 解(1)由F(+∞)=1可得lm(4+Be)=1即A=1, 又因F(x)在x=0处连续,故
≤b}的概率等于区间(a,b)上密度函数 f(x)之下，横轴之上的曲边梯形的面积（如图 1）；4)给出求 f(x) 的方法，（F’(x)= f(x)）；5)说明计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分区间的 开闭。即 F(b) − F(a) = P{a X b} = P{a X b} = P(a X b} = P(a X b}。 图 1 例 1 设连续型随机变量 X 的密度函数为 = − 0 0 0 ( ) 3 x ke x f x x ， 试确定常数 k，并求 P{X>1}。 ( ) 1 1 0 3 = = + − + − f x dx ke dx 解：由 ，可知 x ， 解得 k=3。 于是 X 的概率密度为 = − 0 0 3 0 ( ) 3 x e x f x x 。 3 1 3 3 1 1 { 1} ( ) 3 − + − − + = + = = = − P X f x dx e dx e e 从而 x x 。 例 2 设连续型随机变量 X 的分布函数为 + = − 0 0 0 ( ) 2 2 x A Be x F x x 试求 1）常数 A,B； 2）密度函数 f(x)； 3）X 落在区间（1，2）内的概率。 1 ( ) 1 ( ) 1 1 / 2 2 + = lim + = = − →+ F A Be A x x 解（）由 可得 即 ， 又因 F(x)在 x=0 处连续，故
0= F(O)=lim F(x)=lim(A+ Be-/)=A+ Bo x-0 从而B=A=-1,所以 x>0 0 (2)对F(x)求导,得X的概率密度为 x>0 f(x)=F(x) x≤0 (3)X落在区间(1,2)内的概率为 P{1<X<2}=F(2)-F(1)=e-e≈0.4712 均匀分布 设连续型随机变量ⅹ在有限区间(a,b)内均匀取值,其密度函数为 a<x<b f(x) 其它 则称X在(a,b)上服从均匀分布,记为XU(ab),容易求得其分布函数为 x≤a a<x≤b ≥b 其密度函数图像如图2 f(x) 图2
F F x A Be A B x x x = = = + = + − → + → + 0 (0) ( ) ( ) / 2 0 0 2 lim lim 。 从而 B=-A=-1，所以 − = − 0 0 1 0 ( ) / 2 2 x e x F x x 。 （2）对 F(x)求导，得 X 的概率密度为 = = − 0 0 0 ( ) ( ) / 2 2 x x e x f x F x x 。 （3）X 落在区间（1，2）内的概率为 {1 2} (2) (1) 0.4712 0.5 2 = − = − − − P X F F e e 。 二、均匀分布 设连续型随机变量 X 在有限区间(a,b)内均匀取值，其密度函数为 = − 0 其它 ( ) 1 a x b f x b a ， 则称 X 在(a,b)上服从均匀分布，记为 X~U(a,b)，容易求得其分布函数为 = − − x b a x b x a F x b a x a 1 0 ( ) ， 其密度函数图像如图 2 图 2 。 。 0 a b f (x) x
服从(a,b)上均匀分布的随机变量的物理意义是:落在区间外的概率为0,落在区间内的概率为 1.0。落在(a,b)任一子区间(c;d内概率只与区间长度有关,与位置无关 例3某公共汽车展从上午7时起,每15分钟来一辆车,700,7:15,7:30,745等时刻到站。如 果某乘客达到此站的时间为700到7:30之间服从均匀分布的随机变量,求他等候时间少于5分钟 就能乘车的概率。 解设乘客7时过X分钟达到此站,由题意知,X在(0,30)上服从均匀分布,其密度函数为 1/30当00为参数) 如图3,则称X服从参数为4的指数分布,记为X丌(A),容易求得X的分布函数为 0 F(x) 0 f(x) 0 图3 指数分布用于刻划各种“寿命
服从(a,b)上均匀分布的随机变量的物理意义是：落在区间外的概率为 0，落在区间内的概率为 1.0。落在(a,b)任一子区间(c,d)内概率只与区间长度有关，与位置无关。 例 3 某公共汽车展从上午 7 时起，每 15 分钟来一辆车，7:00,7:15,7:30,7:45 等时刻到站。如 果某乘客达到此站的时间为 7:00 到 7:30 之间服从均匀分布的随机变量，求他等候时间少于 5 分钟 就能乘车的概率。 解 设乘客 7 时过 X 分钟达到此站，由题意知，X 在(0，30)上服从均匀分布，其密度函数为 = 其它 当 0 1/ 30 0 30 ( ) x f x 。 为使等候时间少于 5 分钟，此乘客必须且只需在 7:10 到 7:15 之间或在 7:25 到 7:30 之间到达车 站。因此，所求概率为 3 1 30 25 30 1 15 10 30 1 {10 15}+ {25 30} = + = P X P X dx dx 。 三、指数分布 若连续型随机变量 X 的密度函数为 ( 0 ) 0 0 0 ( ) 为参数 = − x e x f x x 如图 3, 则称 X 服从参数为λ的指数分布，记为 X~π(λ)，容易求得 X 的分布函数为 − = − 0 0 1 0 ( ) x e x F x x 图 3 指数分布用于刻划各种“寿命“。 f (x) x 0
例4已知随机变量的密度函数为 0015e015x ≥0 f(x) x100};2)x取何值时,才能使P{X>x}x}=[0.01501k=e50,则称X服从参数μ,2的正态分布或高斯分布,记为 正态分布的密度函数fx)的性质 1)fx)关于x=对称; 2)fx)在x=处达到最大值1/2zo;且x→±∞时,fx)→0。这说明同样长度的区间,当区 间离μ越来越远,X落在该区间上的概率越小,如图4
例 4 已知随机变量的密度函数为 = − 0 0 0.015 0 ( ) 0.015 x e x f x x ， 求 1) P{X>100}； 2）x 取何值时，才能使 P{X>x}0，则称 X 服从参数μ,σ2 的正态分布或高斯分布，记为 X~N(μ,σ 2 ) 正态分布的密度函数 f(x)的性质： 1）f(x)关于 x=μ对称； 2）f(x)在 x=μ处达到最大值 1/ 2 ；且 x→±∞时，f(x)→0。这说明同样长度的区间，当区 间离μ越来越远，X 落在该区间上的概率越小, 如图 4
f(xy N(3,4/5) (3,1) N(3,5/4) 图5 3)fx)在x=4±O处有拐点,以x轴为渐进线 4)在f(x)中,μ为位置参数,O为形状参数。若固定,改变μ的值,则fx)的图形延x轴 平行移动而不改变形状。若固定μ,改变σ的值,σ越大,爪μ)越小,∫x)越扁平;越小,f) 越大,f(x)图形越陡。(如图5) 5)X的分布函数F(x)= 2丌o 标准正态分布及其计算 称=0,O=1的正态分布为标准正态分布,记为x-N(0,1)。其密度函数为 p(r)=.I 分布函数为 r d(x)= 由中(x)=中(x)可知Φ(x)=1-Φ(x) 标准正态分布的分布函数d(x)的值可通过查表及Φ(-x)=1-Φ(x)求得。而一般的正态分布的分 布函数F(x)与中(x)的关系如下 于是:P{a<X≤b=F(b)-F(a)=④b p(
图 4 图 5 3）f(x)在 x=μ±σ处有拐点，以 x 轴为渐进线； 4）在 f(x)中，μ为位置参数，σ为形状参数。若固定σ，改变μ的值，则 f(x)的图形延 x 轴 平行移动而不改变形状。若固定μ，改变σ的值，σ越大，f(μ)越小，f(x)越扁平；σ越小，f(μ) 越大，f(x)图形越陡。（如图 5） X F x e dt x t − − − = 2 2 2 ( ) 2 1 5 ( ) ） 的分布函数 。 2．标准正态分布及其计算 称μ=0,σ=1 的正态分布为标准正态分布，记为 X~N(0,1)。其密度函数为 2 2 2 1 ( ) x x e − = ， 分布函数为 − − = x t x e dt 2 2 2 1 ( ) ； 由φ(x)=φ(-x)可知Φ(-x)=1-Φ(x)。 标准正态分布的分布函数Φ(x)的值可通过查表及Φ(-x)=1-Φ(x)求得。而一般的正态分布的分 布函数 F(x)与Φ(x)的关系如下 ( ) ( ) − = x F x 。 { } ( ) ( ) ( ) ( ) − − − = − = b a 于是：P a X b F b F a 。
5设XNO,1),利用标准正态分布表计算 1)P{x2.34}:3)P{Xk1.14};4)P{x>1.25} 解答略。 例6Xx-N(1,4),求1)P{0C}=1-F(C)=1-(2)。由题意知1-(2)=2Φ(2),即Φ()=, 查表得号=-043,即C=0.14
例 5 设 X~N(0,1)，利用标准正态分布表计算 1) P{X −2.34} ； 2) P{X 2.34} ； 3) P{| X | 1.14} ； 4) P{| X | 1.25}。 解答略。 例 6 X~N(1,4)，求 1)P{02.3}； 1）求常数 C，使得 P{X>C}=2P{X<C}。 解 1）、2）解答略。 3) { } 1 ( ) 1 ( ) 2 −1 = − = − C P X C F C 。 3 1 2 1 2 1 2 1 1− ( ) = 2( ) ( ) = 由题意知 C− C− ，即 C− ， 0.43 0.14 2 1 = − = − C 查表得 C ，即