Chap6多元函数微积分 §61多元函数 』86,2偏导数与全微分 186.3多元复合函数的求导法则 蜜§6.4多元函数的极值 86.6二重积分 §6.2偏导数与全微分 偏导数 目z=f(x,y)对的偏导数,记作: f(x, y) a 日z=f(x,y)对的偏导数,记作: ∫(x,y)
1 Chap6 多元函数微积分 多元函数微积分 §6.1 多元函数 §6.2 偏导数与全微分 §6.3 多元复合函数的求导法则 §6.4 多元函数的极值 §6.6 二重积分 §6.2 偏导数与全微分 一、偏导数 z x ∂ ∂ x (,) z ′ x f xy ′ z y ∂ ∂ y (,) z ′ y f xy ′ z f xy = (,) : 对 的偏 数 x 导 ，记作 z f xy = (,)对 的偏导数 y ，记作：
由偏导数的定义可知,偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 求时,只要把x之外的其他自变量暂时看成 a 常量,对x求导数即可。 求时,只要把y之外的其他自变量暂时看成 常量,对y求导数即可。 其它情况类似 例求z=x2+3x+y2在点(1,2)处的偏导数 az 解=2x+3 把y看成常量 az 3x+2 ay 把x看成常量 az a/k1=2×1+3×2=8 az x=1=3×1+2×2=7 dy
2 由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 z x ∂ ∂ 求 时，只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 x 求导数即可。 z y ∂ ∂ 求 时，只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 y 求导数即可。 其它情况类似。 解 z x ∂ ∂ = 2x + 3 y z y ∂ ∂ = 3x + 2 y 1 2 x y z x = = ∂ ∂ = 2×1 + 3× 2 = 8 1 2 x y z y = = ∂ ∂ = 3×1 + 2× 2 = 7 把 y 看成常量 把 x 看成常量 2 2 例 求 在点 处的偏导数 3 (1,2) z x xy y =+ +
例1求z=x2sin2y的偏导数 az 解=2xsin2 把y看成常量 az 2x cos 2y 把x看成常量 例2求z=x的偏导数 az 解 arr - 把y看成常量 az r Inx 把x看成常量 二、高阶偏导数 函数z=f(x,y)的二阶偏导数为 0(ax)02z fr(,v)= a/ az a 时a=()= a( az az ay( ax) away ∫x(x,y) 二阶 a aza 混合偏导数 f(x, y)=z ax ay) ayax
3 z x ∂ ∂ = y−1 yx z y ∂ ∂ = x x y ln 解 z x ∂ ∂ = 2x sin 2 y z y ∂ ∂ = 2x cos 2 y 2 把 y 看成常量 把 x 看成常量 2 例 求 的偏导数 1 sin2 zx y = 解 2 y 例 求 的偏导数 z x = 把 y 看成常量 把 x 看成常量 2 2 xx xx z f (x, y) z x z x x ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ∂ ′′ ′ = ⎠ = = ′ ∂ 2 2 (,) yy yy z f xy z y z y y ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ∂ ′′ ′ = ⎠ = = ′ ∂ 2 (,) xy xy z f xy z x z y x y ∂ == = ′′ ′′ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠ 2 (,) yx yx z f xy z y z x y x ∂ == = ′′ ′′ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠ 二阶 混合偏导数 二、高阶偏导数 函数 的 z f xy = (,) 二阶偏导数为
出例1设z=x2y2-3xy3-x+1,求一阶偏导数 解 (x3y2-3xy3-xy+1)x=3 3y3 az ay 3xy'-xy+1)y=2x'y-9xy 02z 3y3-y)y=6 02z axa (3x2y2-3y3-y)y=6x2y-9 a'z (2x3y-9 9y2-1 aya 0 z (2xy-9xy'-x)=2x'-18xy 例2设u=e" cos by,求二阶偏导数 解 a cos by) =ae cos by au (e cos by)=-be sin by a u t÷=(ae" cos by)y=a2e“cosb 02u (be sin by) =-b'e cos by ay (ae“ cos by b aya (be sin by) =-abe sin
4 解 = x y − y − y 2 2 3 3 3 = x y − xy − x 3 2 2 9 2 2 z x ∂ = ∂ 2 = 6xy 2 z x y ∂ = ∂ ∂ 6 9 1 2 2 = x y − y − 2 2 z y ∂ = ∂ 2x 18xy 3 = − 2 z y x ∂ = ∂ ∂ 6 9 1 2 2 = x y − y − 例1 设z = x3 y 2 − 3xy 3 − xy + 1，求二阶偏导数 x x y xy xy x z ( 3 1) 3 2 3 = − − + ′ ∂ ∂ y x y xy xy y z ( 3 1) 3 2 3 = − − + ′ ∂ ∂ x (3x y 3 y y) 2 2 3 − − ′ xy x x (2x y 9 ) 3 2 − − ′ y (3x y 3 y y) 2 2 3 − − ′ xy x y (2x y 9 ) 3 2 − − ′ 解 be by ax = − sin 2 2 u x ∂ = ∂ 2 2 u y ∂ = ∂ 2 u x y ∂ = ∂ ∂ 2 u y x ∂ = ∂ ∂ ae by ax = cos a e by ax cos 2 = b e by ax cos 2 = − abe by ax = − sin abe by ax = − sin 例2 设u = e ax cosby，求二阶偏导数 x ax e by x u = ( cos )′ ∂ ∂ y ax e by y u = ( cos )′ ∂ ∂ y ax (−be sinby)′ x ax (ae cosby)′ x ax (−be sinby)′ y ax (ae cosby)′
三、全微分 函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分 az az dz dx dy 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 dx+dy+ 例1求函数z=e在点(2,1)处的全微分 解 aaa =(e )=ye =(e)y=xe 因此,t=+=ye"dx+reh O (2,1)处的全微分=et+2e2y
5 三、全微分 z z dz dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ 函数 在点 的全微分 z f xy xy = (,) (,) 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 uuu du dx dy dz xyz ∂∂∂ =++ ∂∂∂ 解 xy = xe z d z dz x x y y d ∂ ∂ = + ∂ ∂ 因此， xy xy = + ye xe dx dy dz e dx e dy 2 2 (2, 1) 处的全微分 = + 2 xy = ye 1 (2 1) xy 例 求函数 在点 ，处的全微分 z e = ( ) xy x e z x ∂ = ′ ∂ ( ) xy y e z y ∂ = ′ ∂
例2求函数u=x+siny+e的全微分 解。=(x+sin+e)=1 (+sin+e)y + ze 22 x+sin+e) 所求全微分 de+(cos ze))dy ye dz 22 §63多元复合函数的求导法则 链式法则 <“×型z=fu(x,y),v(x 定理 如果=u(x,y)及v=v(x,y)在点(x,y)有连续偏导数, 且z=∫(u,v)在对应点(n,v)也有连续偏导数,则复合 函数z=a(x,y)v(x川在点x)有对x及y的连续 偏导数,且可用下列公式计算: azaz au az av 0 az au aa au ax aw ar. ay au ay ay ay
6 解 yz ze y = + 2 cos 2 1 yz = ye 所求全微分 ze dy ye dz y du dx yz yz = + + ) + 2 cos 2 1 ( = 1 例 求函数 e yz的全微分 y u = x + + 2 2 sin ( sin ) 2 yz x y x e u =+ + x ′ ∂ ∂ ( sin ) 2 yz y y y e u =+ + x ′ ∂ ∂ ( sin ) 2 yz z y z e u =+ + x ′ ∂ ∂ §6.3 多元复合函数的求导法则 z u v x y 型 z u zv ux vx z x ∂ ∂ ∂∂ ⋅+⋅ ∂∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ z u zv u y v y z y ∂ ∂ ∂∂ ⋅ + ⋅ ∂∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ z f = [ ( , ), ( , )] u v x y x y 链式法则 (,) (,) (,) (,) (,) ( , ) [ ( , ), ( , )] x y u u uxy v vxy z f uv z fuxy vxy v xy x y = = = = 如果 及 在点 有连续偏导数， 且 在对应点 也有连续偏导数，则复合 函数 在点 有对 及 的连续 偏导数，且可用下列公式计算： 定理：
链式法则如图示 az az au az av,2 ax au ax ay ax L azaz au az a ay au ay av a 例设z=e"simv,而n=,=x+y,求和bz ax ay 解 + ,<,型 =e"sinv:y+e"cosp·1 e lysin(x+y)+ cos( +y) azaz au az av ay au ay av a =e"sinv·x+e"cosv·1 elrsin(x+ y)+cos(x y)
7 链式法则如图示 z x ∂ = ∂ ⋅ ∂ ∂ u z x u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + v z x v ∂ ∂ z y ∂ = ∂ ⋅ ∂ ∂ u z y u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + v z y v ∂ ∂ u v x z y u v x z y 解 z x ∂ = ∂ ⋅ ∂ ∂ u z x u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + v z x v ∂ ∂ = e sinv ⋅ y + e cos v ⋅1 u u z y ∂ = ∂ ⋅ ∂ ∂ u z y u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + v z y v ∂ ∂ = e sin v ⋅ x + e cos v ⋅ 1 u u z u v x y 型 e [ y sin( x y) cos(x y)] xy = + + + e [x sin( x y) cos(x y)] xy = + + + y z x z z e v u xy v x y u ∂ ∂ ∂ ∂ 例 设 = sin ，而 = ， = + ，求 和
§6.4多元函数的极值 1、二元函数极值的定义 设函数z=f(x,y)在点(xn,y)的某邻域内有定义, 对于该邻域内异于(x0,y点(x,y) (1)若满足不等式f(x,y)f(x,y), 则称函数在点(x0,y)有极小值 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 2、多元函数取得极值的条件 定理1(极值存在的必要条件) 目设函数z=f(x,y在点(xn可微且有极值, 则它在该点的偏导数必然为零,即: ∫(x0,y)=0,∫(x,)=0
8 §6.4 多元函数的极值 1、二元函数极值的定义 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (,) ( , ) , ( , ) ( , ): (1) ( , ) ( , ), (2) ( , ) ( (,) ; , ), (,) . z f xy x y x y xy f xy f x y f xy f x y x y x y = 函数在点 有极 设函数 在点 的某邻域内有定义 对于该邻域内异于 的点 若满足不等式 则称 若满足不等式 则称 大值 函数在点 有极小值 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 2、多元函数取得极值的条件 定理１（极值存在的必要条件） 0 0 00 00 (,) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 x y z f xy x y fxy fxy = ′ ′ = = 则它在该点的偏导数必然为零， 设函数 在点 可微且有极值， 即：
定理2(极值存在的充分条件) 设函数=f(x,y在点(xn,1某邻域内连续有一阶 及二阶连续偏导数,又f(xnn)=0,f(xn,1)≥=0,若 令/”(x,y)=4,/0(x,y)=B,/”(x,y)=C,则 (1)当B2-AC0时,有 极小值f(x2,yn) ()当B2-AC>0时,函数在点(x,y)处无极值 (3)当B2-AC=0时,函数在点(xn处不能确 定是否有极值 求函数z=f(x,y)极值的一般步骤: 1求z=f(x,y)的一、二阶偏导数,解方程组 f(x,y)=0 ∫(x,y)=0 求出所有驻点 2对于每一个驻点(x0,y,求出二阶偏导数的值 A、B、C 3定出B2-AC的符号,再判定是否是极值
9 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 (,) ( , ) ( , ) 0 ( (,) (, , ) ) (,) 0 x y xx xy yy z f xy x y fxy f xy f xy f fxy ′′ ′′ ′ A B x y C = ′ ′ = = === ′ 设函数 在点 的某邻域内连续，有一阶 及二阶连续偏导数，又 ，，若 令 ，，，则 定理２（极值存在的充分条件） 2 0 0 0 0 0 0 (1) ( , ) , ( , ); , 0 , 0 ( ) 0 x y fx y fx y B AC A A − 当 时，函数在点 处有极值， 且当 时 有极大值 当 时 有 极小值 2 0 0 (2) ( , 当 时，函数在点 处无极值 B AC − > 0 x y ) 2 0 0 (3) ( , ) 0 当 时，函数在点 处不能确 B AC − = x y 定是否有极值 1 ( , ) , (,) 0 , (,) 0 x y z f xy f xy f xy = ⎧ ′ = ⎨ ′ = ⎩ 求 的一、二阶偏导数 解方程组 求出所有驻点 求函数 极值的一般步骤 z f xy = (,) : 0 0 2 ( , ), x y ABC 对于每一个驻点 求出二阶偏导数的值 、 、 3 定出B2 − AC的符号，再判定是否是极值
例求函数∫(x,y)=x3+y3-3xy的极值 解∫(x,y)=3x2-3yf(x,y)=3y2-3x 求解方程组,3x2-3y=0 3y2-3x=0 y =x 得驻点(0,0),(1,1) fr(x, y)=6x fxy(x, y)=-3 fy(x,y)=6y 在(0,0)处,A=厂x(000=0B=”(0,0)=-3 C=∫m(0,0)=0B2-AC=9>0 因此,驻点(0,0)不是极值点 在(1,1)处,A=fm(1,1)=6>0 B=fm(1,1)=-3 C=f"(1,1)=6 B2-AC=-27<0 因此,驻点(1,1)是极小值点 极小值∫(,1)=13+13-3×1×1=-1
10 例 求函数 f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy的极值 解 2 (,) 3 3 x f ′ x y = x − y 2 (,) 3 3 y f ′ x y = y − x 求解方程组： ⎩ ⎨ ⎧ − = − = 3 3 0 3 3 0 2 2 y x x y 得驻点 ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ y x x y 2 2 (0, 0), (1, 1) f x y x xx ′′ ( , ) = 6 f ′′ (x, y) = −3 xy f x y y yy ′′ ( , ) = 6 在 处 (0, 0) , = ′′ (0,0) = 0 xx A f = ′′ (0,0) = −3 xy B f = ′′ (0,0) = 0 yy C f 9 2 B − AC = > 0 因此，驻点 (0, 0) . 不是极值点 在 处 (1, 1) , = ′′ (1,1) = 6 > 0 xx A f B = f xy ′′ (1,1) = −3 C = f yy ′′ (1,1) = 6 B − AC 2 = −27 < 0 因此，驻点 (1, 1) . 是极小值点 (1,1) 1 1 3 1 1 1 3 3 极小值 f = + − × × = −