第二讲概率的定义和古典概型 重点:概率的性质、古典概型中随机事件概率的计算。 难点:古典概型中随机事件概率的计算。 、概率的定义 一个随机事件在一次试验中可能发生,也可能不发生,但我们希望知道事件发生的可能性大 小,并且用数来刻划它。我们称用来刻画事件发生可能性大小的数为事件发生的概率。在概率论发 展初期,概率是用频率来定义,称为概率的统计定义。它的优点是比较直观,但是通过频率来求概 率,需要做的试验次数多、费时、费力,不严格,并且也不利于理论上的推广。概率的另一个定义 就是柯尔莫哥洛夫给出的公理化定义。 定义1对于随机试验E,随机事件A在一次试验中可能出现也可能不出现,在相同条件下试 验n次,事件A发生r次,则称f(4)=m为事件A发生的频率。 定义2(概率的统计定义)在相同条件下重复n次试验,当n很大时,事件A发生的频率在 一个常数附近摆动,并且随n的增大,这种摆动“大致上”越来越小,我们称这个常数为事件A 的概率,记为P(A) 频率的性质 (1)0≤f(4)≤1(非负性); (2)f(9)=1,(中)=0(规范性) (3)若AB=中,则M(+B)=m(4)+f(B)(有限相加性) 根据频率的性质及概率的统计定义,我们给出概率的公理化定义, 定义3(概率的公理化定义)设E是随机试验,Ω是样本空间,对于任意的事件AcΩ,定 义一个实的集函数P(4),满足 (1)0≤P(4)≤1(非负性) (2)P(Q)=0(规范性); (3)对于可列个两两互斥的随机事件A,A,…,An,…有:P∑A)=∑P(An)。(可列可 加性)。 则称P(4)为事件A发生的概率
第二讲 概率的定义和古典概型 重点：概率的性质、古典概型中随机事件概率的计算。 难点：古典概型中随机事件概率的计算。 一、概率的定义 一个随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，但我们希望知道事件发生的可能性大 小，并且用数来刻划它。我们称用来刻画事件发生可能性大小的数为事件发生的概率。在概率论发 展初期，概率是用频率来定义，称为概率的统计定义。它的优点是比较直观，但是通过频率来求概 率，需要做的试验次数多、费时、费力，不严格，并且也不利于理论上的推广。概率的另一个定义 就是柯尔莫哥洛夫给出的公理化定义。 定义 1 对于随机试验 E，随机事件 A 在一次试验中可能出现也可能不出现，在相同条件下试 验 n 次，事件 A 发生 r 次，则称 fn(A)=r/n 为事件 A 发生的频率。 定义 2 （概率的统计定义）在相同条件下重复 n 次试验，当 n 很大时，事件 A 发生的频率在 一个常数附近摆动，并且随 n 的增大，这种摆动“大致上”越来越小，我们称这个常数为事件 A 的概率，记为 P(A)。 频率的性质： (1) 0≤fn(A)≤1 （非负性）； (2) fn(Ω)=1， fn(φ)=0 （规范性） (3)若 AB=φ，则 fn(A+B)=fn(A) +fn(B) （有限相加性） 根据频率的性质及概率的统计定义， 我们给出概率的公理化定义。 定义 3 （概率的公理化定义）设 E 是随机试验，Ω是样本空间，对于任意的事件 A ，定 义一个实的集函数 P(A)，满足 (1) 0≤P(A)≤1 （非负性） (2)P(Ω)=0（规范性）； (3) 对于可列个两两互斥的随机事件 A1，A2，…，An，…有： = = = 1 1 ( ) ( ) n n n P An P A 。（可列可 加性）。 则称 P(A)为事件 A 发生的概率
注概率P是定义在Ω的所有子集上的一个实值集函数,其自变量是任意随机事件A,函数值 是0~10之间的实数 概率的性质 性质1P(φ)=0 性质2(有限可加性)设A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则 P(A4+A2+…+A)=∑P(4) 性质3对任意事件A,有P(A)=1-P(A) 性质4若ACB,则P(B-4)=PB)P(4) 注对任意事件A,B,有P(B-4)=P(B)-P(AB) 性质5PUB)=P(A)+P(B)P(AB) 性质6若AcB,则P(B)≥P(4) 注性质5可推广到有限个事件并的情形,如三个事件的并的概率为 P(∪BUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 例1某厂两台机床,甲机床发生故障的概率为0.1,乙机床发生故障的概率为0.2,两台机床 同时发生故障的概率为0.05,试求 (1)甲,乙至少有一台发生故障的概率 (2)甲,乙都不发生故障的概率 (3)甲,乙不都发生故障的概率 (4)甲发生故障,乙不发生故障的概率。 解:令A表“机床甲发生故障”,B表“机床乙发生故障”,则P(A)=0.1,P(B=02,P(A∩B)=0.05 (1)A∪B表“机床甲与乙至少有一台发生故障”,故P(AUB)=P()+P(B)-P(AB=025; (2)AB表“机床甲与乙都不发生故障”,故P(AB)=P(A∪B)=1-P(AU∪B)=0.75 (3)AB表“机床甲与乙不都发生故障”,故P(AB)=1-P(AB)=0.95 (4)AB表“甲发生故障,乙不发生故障”,故P(AB)=P(A)-P(AB)=005 例2设P()=1/3,P(B=12在下列三种情况下,求P(BA)的值 (1)A与B互斥;(2)ACB;(3)P(B)=18 解(1)当A与B互斥时,B∩A=B,所以P(BA)=P(B)=1/2; (2)当AcB时,P(BA)=P(B)-P(A)=1/6; (3)由性质4的注可得,P(BA)=P(B)-P(AB)=3/8
注 概率 P 是定义在Ω的所有子集上的一个实值集函数，其自变量是任意随机事件 A，函数值 是 0~1.0 之间的实数。 概率的性质： 性质 1 P(φ)=0. 性质 2 (有限可加性) 设 A1，A2，…，An 是两两互斥的事件，则 = + + + = n k P A A An P Ak 1 1 2 ( ) ( ) 性质 3 对任意事件 A，有 P(A) = 1− P(A). 性质 4 若 A B, 则 P(B-A)=P(B)-P(A) 注 对任意事件 A, B, 有 P(B-A)=P(B)-P(AB) 性质 5 P(A∪B)= P(A) +P(B)-P(AB) 性质 6 若 A B, 则 P(B)≥P(A) 注 性质 5 可推广到有限个事件并的情形，如三个事件的并的概率为 P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A B) − P(AC) − P(B C) + P(A B C). 例 1 某厂两台机床, 甲机床发生故障的概率为 0.1，乙机床发生故障的概率为 0.2，两台机床 同时发生故障的概率为 0.05，试求 (1) 甲，乙至少有一台发生故障的概率； (2) 甲，乙都不发生故障的概率； (3）甲，乙不都发生故障的概率； （4）甲发生故障，乙不发生故障的概率。 解：令 A 表“机床甲发生故障”，B 表“机床乙发生故障”，则 P(A)=0.1，P(B)=0.2，P(A∩B)=0.05. （1）A∪B 表“机床甲与乙至少有一台发生故障”, 故 P(A∪B)= P(A) +P(B)-P(AB)=0.25; (2) AB 表“机床甲与乙都不发生故障”，故 P(AB) = P(A B) = 1− P(A B) = 0.75; (3) AB 表“机床甲与乙不都发生故障”，故 P（AB）=1− P（AB）= 0.95 ； （4） AB 表“甲发生故障，乙不发生故障”，故 P(AB) = P(A) − P(AB) = 0.05。 例 2 设 P(A)=1/3， P(B)=1/2 在下列三种情况下，求 P(BA) 的值 (1) A 与 B 互斥; (2) A B ; (3) P(AB)=1/8. 解 （1）当 A 与 B 互斥时， B A = B,所以 P(BA)＝P(B) = 1/ 2 ; （2）当 A B 时， P(BA)＝P（B) − P(A) = 1/ 6 ; （3）由性质 4 的注可得， P(BA) = P(B) − P(AB) = 3/8
二、古典概型与几何概型 1、古典概型 定义4称满足下列条件的概率问题为古典概型(等可能概型): (1)所有可能结果只有有限个,即样本空间只有有限个基本事件 (2)每个基本事件发生的可能性相同,即等可能发生。 设g={o1,O2…,On},A={on,O2,…on}∈,由古典概型定义知P()=1/n =12…,n.从而P(A)=P(n)+P(a2)+…P(O)=k/n,于是可得古典概型的计算公式 P(4)=4所含的基本事件个数。 Ω所含的基本事件个数 注此公式只适用于古典概型,使用公式前注意验证建立的样本空间是否属于古典概型 例3设有4个人都以相同的概率进入6间房子的每一间,每间房子可容纳人数不限,求下列事 件的概率 1)A:“某指定的4间房中各有一人”; 2)B:“恰有4间房子各有一人”; 3)C:“某指定的一间房中恰有k人”(k=1,2,3.4) 解样本空间所含基本事件数为64,A中所包含的基本事件数为4!,B中所包含的基本事件 数为C64!,C中所包含的基本事件数为C45,所以 P(A)=4,P(B)= 61,P(C=C454-6 注此例题是一个古典概型典型问题中的特殊情形,它的一般模型是:将n个球放入N个盒子 中(n≤N),假设每个球等可能地放入每个盒子中,且每个盒子放入的球数目不限。许多实际问 题都可归结这个典型模型,如3封信放入5个邮筒中,5只鸡放入10个笼子中等 例4十个号码1,2,…,10装于一个袋中,从中任取3个,问大小在中间的号码恰为5的概率。 解从十个号码中任取三个共有C1种取法,而大小在中间的取法有CCC种,所以所求的概 率为 C4CICs 1 上例更一般的提法是:一个袋中装有n个球,其中n1个标有号码“"”,n2个标有号码“2 n个标有号码"k",今从中任取m个球,求恰有m/个标号为"的概率,且 m1+m2+…+m=m,同理可得所求概率为
二、 古典概型与几何概型 1、古典概型 定义 4 称满足下列条件的概率问题为古典概型（等可能概型）： （1） 所有可能结果只有有限个，即样本空间只有有限个基本事件； （2） 每个基本事件发生的可能性相同，即等可能发生。 设 { , , , }, { , , } , 1 2 1 2 = = k n A i i i 由古典概型定义知 P( i ) = 1/ n ， i = 1,2, ,n. 从而 P A P P P k n k i i i ( ) ( ) ( ) ( ) / 11 2 1 = + + = ，于是可得古典概型的计算公式 所含的基本事件个数 所含的基本事件个数 = A P(A) 。 注 此公式只适用于古典概型，使用公式前注意验证建立的样本空间是否属于古典概型。 例 3 设有 4 个人都以相同的概率进入 6 间房子的每一间，每间房子可容纳人数不限，求下列事 件的概率： 1） A：“某指定的 4 间房中各有一人”； 2） B：“恰有 4 间房子各有一人”； 3） C：“某指定的一间房中恰有 k 人” (k = 1,2,3,4). 解 样本空间所含基本事件数为 4 6 ，A 中所包含的基本事件数为 4 ！，B 中所包含的基本事件 数为 4 4 C6 ！，C 中所包含的基本事件数为 k k C 4− 4 5 ，所以 . 6 5 , ( ) 6 4! , ( ) 6 4! ( ) 4 4 4 4 4 6 4 k k C P C C P A P B − = = = 。 注 此例题是一个古典概型典型问题中的特殊情形，它的一般模型是：将 n 个球放入 N 个盒子 中（ n N ），假设每个球等可能地放入每个盒子中，且每个盒子放入的球数目不限。许多实际问 题都可归结这个典型模型，如 3 封信放入 5 个邮筒中， 5 只鸡放入 10 个笼子中等。 例 4 十个号码 1, 2, ,10 装于一个袋中，从中任取 3 个，问大小在中间的号码恰为 5 的概率。 解 从十个号码中任取三个共有 3 C10 种取法，而大小在中间的取法有 1 5 1 1 1 C4C C 种，所以所求的概 率为 6 1 3 10 1 5 1 1 1 4 = = C C C C P 。 上例更一般的提法是：一个袋中装有 n 个球，其中 1 n 个标有号码 “1”， 2 n 个标有号码“2”， ， k n 个标有号码 "k" ，今从中任取 m 个球，求恰有 m j 个标号为 " j" 的概率，且 m1 + m2 + + mk = m ，同理可得所求概率为
上式称为超几何概率。 例5100台同型号的电视机中,有40台一等品,60台二等品,从中任取3台,在有放回抽取 和无放回两种抽取方法中求事件A=吕3台都是二等品},事件B={2台一等品,1台二等品}的概率。 (1)有放回抽样情形 解答略。 (2)无放回抽样情形 此时样本空间所含的基本事件数为Po,A中所含的基本事件为P3,B中所含的基本事件为 C3xP×P,所以 P4)=5 C2×P×P =0.212,P(B) 0=0.288 般地,有放回抽样与无放回抽样所得的概率不同,特别是在抽取的对象数目不大时更是如 此,但当抽取对象的数目较大时,有放回和无放回抽取所得的结果相差甚微, 2.几何概型 实验的结果有无穷多个,每个结果出现的可能性相同的概率问题就是所谓的几何概型问题。 设某一随机实验的样本空间是欧氏空间的某一区域Ω(g可以是一维空间的一段线段,二维 空间的一块平面区域,三维空间的某一立体区域甚至是n维空间的一区域),基本事件就是区域g的 个点,且在区域Ω内等可能出现,设A是Ω中的任一区域,基本事件落在区域A的概率为 P(4)=(A) (_) 其中μ表示度量(一维空间中是长度,二维空间中是面积,三维空间中是体积等等)。 例6在时间间隔内(0,T)的任何瞬间,两个不相关的信号均等可能进入收音机,当且仅当 这两个信号进入收音机的时间间隔不大于t时,收音机才受到干扰,求收音机受到干扰的概率。 解:以x和y分别表示两个信号进入收音机的瞬间时刻,由假定可知,样本空间是由点构成的 边长为T的正方形,其面积为r2,当x-y≤1时收音机受到干扰,如图所示,由几何概率的定义 知所求概率为 (T-1)=1
m n m n m n m n C C C C P k k 2 2 1 1 = 。 上式称为超几何概率。 例 5 100 台同型号的电视机中，有 40 台一等品，60 台二等品，从中任取 3 台，在有放回抽取 和无放回两种抽取方法中求事件 A = {3 台都是二等品}，事件 B ={2 台一等品，1 台二等品}的概率。 （1） 有放回抽样情形 解答略。 （2） 无放回抽样情形 此时样本空间所含的基本事件数为 3 P100， A 中所含的基本事件为 3 P60，B 中所含的基本事件为 2 40 1 60 2 C3 P P ，所以 ( ) 0.212, ( ) 0.288. 3 100 2 40 1 60 2 3 3 100 3 60 = = = = P C P P P B P P P A 一般地，有放回抽样与无放回抽样所得的概率不同，特别是在抽取的对象数目不大时更是如 此，但当抽取对象的数目较大时，有放回和无放回抽取所得的结果相差甚微。 2．几何概型 实验的结果有无穷多个，每个结果出现的可能性相同的概率问题就是所谓的几何概型问题。 设某一随机实验的样本空间是欧氏空间的某一区域 （ 可以是一维空间的一段线段，二维 空间的一块平面区域，三维空间的某一立体区域甚至是 n 维空间的一区域），基本事件就是区域 的 一个点，且在区域 内等可能出现，设 A 是 中的任一区域，基本事件落在区域 A 的概率为 . ( ) ( ) ( ) = A P A 其中 表示度量（一维空间中是长度，二维空间中是面积，三维空间中是体积等等）。 例 6 在时间间隔内（0，T）的任何瞬间，两个不相关的信号均等可能进入收音机，当且仅当 这两个信号进入收音机的时间间隔不大于 t 时，收音机才受到干扰，求收音机受到干扰的概率。 解：以 x 和 y 分别表示两个信号进入收音机的瞬间时刻，由假定可知，样本空间是由点构成的 边长为 T 的正方形，其面积为 2 T ，当 x − y t 时收音机受到干扰，如图所示，由几何概率的定义 知所求概率为 2 2 2 2 1 (1 ) ) T t T T T t P = − − − − = （
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