Chap3不定积分 」§3.1原函数与不定积分的概念 」§32不定积分的性质与基本公式 §3.3换元积分法 §34分部积分法 §3.1原函数与不定积分的概念 、原函数 定义: 设函数F(x)与f(x)在区间I上都有定义, 若在/上F(x)=f(x),则称F(x)为f(x) 在区间I上的一个原函数
1 Chap3 不定积分 §3.1 原函数与不定积分的概念 §3.2 不定积分的性质与基本公式 §3.3 换元积分法 §3.4 分部积分法 §3.1 原函数与不定积分的概念 一、原函数 定义： ( ) ( ) ( ) ( ) Fx f ( ) ( ) Fx f x I I Fx x f x I ′ = 设函数 与 在区 为 在区 间 上都有定义， 若在 上 ，则 间 上的一个 称 原函数
例:已知f(x)的一个原函数是ex,求f(x) SInx x)=(e =sinx(sin x2) 已 cosr .X 2x·ei SIx cos X 二、不定积分 定义: ∫(x)在区间r上的全体原函数,称为f(x)在 上的不定积分,记作「f(x)dr 其中称∫为积分号,f(x)为被积函数, f(x)d为被积表达式,x为积分变量 如果F(x)是f(x)的一个原函数,则有 f(x)dx=F(x)+c,其中称c为积分常数
2 2 sin ( ) ( ) x 例：已知 的一个原函数是 ， fx e fx 求 2 sin () ( ) x fx e = ′ (sin ) sin 2 2 = e ⋅ x ′ x cos ( ) sin 2 2 2 = e ⋅ x ⋅ x ′ x sin 2 2 cos 2 x e x x = ⋅ ⋅ 二、不定积分 定义： ( ) ( ) ( ) fx I fx I f x dx ∫ 在区间 上的全体原函数，称为 在 上的不定积分，记作 其中称 为积分号， ∫ f x( ) 为被积函数， f x dx () 为被积表达式， x 为积分变量 ( ) ( ) f xd ( () ) Fx f x x x = + F c c ∫ 如果 是 的一个原函数，则有： ，其中称 为积分常数
§32不定积分的性质和基本公式 、不定积分的性质 1常数因子可由积分号内提出 即∫4(x)dk=f(x)dk(k为常数,且k≠0 2两个函数代数和的不定积分,等于这两个 函数不定积分的代数和 即「f(x)±g(x)dx=「f(x)tx±g(x)d 可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形 二、不定积分的基本公式 如果F(x)=f(x),则f(x)x=F(x)+c §(1)「0dx=c (2)j1k=x+c(常简写为=x+ a+1 (3)「xax +c(a≠-1,x>0) a+1 (4) dx= Inx+c
3 §3.2 不定积分的性质和基本公式 一、不定积分的性质 1.常数因子可由积分号内提出 0 kf x dx k f x d () ( = ) x k k ≠ 即 （ 为常数， ∫ ∫ 且 ） [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x ±= ± g x dx f x dx g x dx 即 ∫ ∫∫ 2.两个函数代数和的不定积分，等于这两个 函数不定积分的代数和。 可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形 二、不定积分的基本公式 F x fx ′( ) ( ) = f x dx F x c () () = + 如果 ，则∫ 0dx c = ∫ 1dx c dx x =+ =+ x c ∫ ∫ （常简写为 ） 1 1 1 x x 0 x x d c α α α α + = + ≠− > + ∫ （ ，） （1） （2） （3） 1 ln x x dx c = + （ ∫ 4）
(5)edx=e + (6)adr=a +c(a>0,a≠1) In a (7)cos xdx=sin x+c (8)sin xdx=-cosx+c (9)sec xdx=tan x+c (10)csc xx=-cotx+c (11) secxtan xdx=secx+c (12)cscxcot xdx=-cscx+c (13) dx arcsinx+c (14) dx= arctan+c 1+x
4 x x e e dx c = + ∫ l 0 n 1 x x a a a dx c a a = + >≠ ∫ （，） cos sin x x dx c = + ∫ sin cos xdx = − x + c ∫ 2 sec tan x x dx c = + ∫ 2 csc cot xdx = − x + c ∫ （ 5 ） （ 6 ） （ 7 ） （ 8 ） （ 9 ） （10） 2 1 arcsin 1 x x dx c − = + ∫ 2 1 arctan 1 x x dx c + = + ∫ （13） （14） sec tan sec x xdx = x + c ∫ csc cot csc x x xdx = − + c （ ∫ 12） （11）
例(1)(3x4+25 +3sin x )de =3xdx+2 dx-5-dx+3 sin.xdx 2 =x3+2,-5mx-30sx+c In 2 21 (2)(5x2+ +4 cos x)dx =5xdc+2d-Jxd+」 cos. xd 1 x+2In/x[+2x2+sinx+c 3
5 例（1） 4 5 (3 2 3sin ) x x x dx x + −+ ∫ 4 3 5 1 2 sin 3 x x x x = +− + dx dx dx dx ∫∫ ∫ ∫ 3 2 5 5ln 3cos 5 ln 2 x = +− − x x x + c ∫ + − + x dx x x x 4cos ) 2 1 (5 2 1 2 2 1 52 4 x x dx dx dx cos xdx x − = +−+ ∫ ∫∫ ∫ 1 3 2 5 2ln 2 4sin 3 = + −+ x xx x + c （2）
(3)sin2.dx 2 cos 2 =∫ - cos dx 2∫a-2j cos xdx 2 2 x一-Sinx+c 22 (4) tan?xdx =(sec x-1)dx=sec xdx-dx tanr-x+c (5) d x 1+x (1+x2)-1 1+x d dx 1+x =x-arctanx+c
6 （3）∫ dx x 2 sin2 1 cos 2 dx − x = ∫ ∫ ∫ = dx − cos xdx 2 1 2 1 1 1 sin 2 2 = − x x + c ∫ xdx 2 tan 2 = (sec 1) x − dx ∫ ∫ ∫ = xdx − dx 2 sec = − tan x x + c （4） 2 cos 2 x dx ∫ 2 cot xdx ∫ （5） ∫ + dx x x 2 2 1 2 2 (1 ) 1 1 dx x x + + = − ∫ ∫ ∫ + = − dx x dx 2 1 1 = x x − arctan + c
§3.3换元积分法 第一换元积分法(凑微分法) 例 sinad sin 2x.d(2x) sin 2rd(2x 2 令2r= sin tdt cost+c 2 cos 2x+c 2 凑微分的主要形式: (1)d=-d(ax+b)(a,b是常数,a≠0) (2)xdx==de d x d( +1 +1 (3)edx=d(e) (4)dx=d(Inx) (5),dx=-d(
7 §3.3 换元积分法 sin2xdx ∫ 1 (2 ) 2 = ⋅ sin2x d x ∫ ∫ = sin 2 (2 ) 2 1 xd x ∫ = sin tdt 2 1 令2x t = = − cost + c 2 1 = − cos 2x + c 2 1 一、第一换元积分法（凑微分法） 例： 凑微分的主要形式： ( ) （ ，是常数， 0） 1 = d ax + b a b a ≠ a dx ( ) 2 1 2 xdx = d x ( ) 1 1 +1 + = μ μ μ x dx d x ( ) x x e dx = d e (ln ) 1 dx d x x = ) 1 ( 1 2 x dx d x = − （1） （2） （3） （4） （5）
I(6)sin xdx=-d(cos x)cos xdx=d(sin x) (7) sec2 xdx=d(tan x) csc xdx=-d(cot x) (8)secx tan xdx =d(sec x) csc cot xdx==d(escx) H(9)Ti-r2dx=d(arcsinx) dx=d(arctan x) 1+x 例(1)「(3x+5)2t ∫Gx+y:(3x+5)=Jx+5d(3x+5) 3 (3x+5)+c (2) d x 4-5x ∫(-5x)2ak=(4-5)2(-(4-5x) ∫4-5504-5)=-4-5xy2+ 5
8 （6）sin xdx = −d(cos x) cos xdx = d(sin x) sec (tan ) 2 xdx = d x csc (cot ) 2 xdx = −d x sec x tan xdx = d(sec x) csc x cot xdx = −d(csc x) (arcsin ) 1 1 2 dx d x x = − (arctan ) 1 1 2 dx d x x = + （7） （8） （9） 例（1） 2 (3 5) x + dx ∫ 2 1 (3 5) 3 = ⋅ (3 5) x + d x + ∫ ∫ = (3 + 5) (3 + 5) 3 1 2 x d x = x + + c 3 (3 5) 9 1 ∫ − dx 4 5x 1 1 2 (4 5 ) x dx − = − ∫ 1 2 ( 1 ( ) (4 ) 5 4 ) 5x d x5 − =− ⋅ − − ∫ ∫ = − − − − (4 5 ) (4 5 ) 5 1 2 1 x d x 1 2 2 (4 5 ) 5 = −− + x c （2）
例(1) 1+x d(x3) 1+(x 51+(x3) arctan+c 5 (2)「 sinx2t =sin xxdx=sinx d(x) 2 cost +c (3)「x(2x2+3)3tx (2x2+3)d(2x2+3) (2x2+3)4+c 44 16 (2x2+3)+c
9 例（1） ∫ + dx x x 10 4 1 5 2 4 1( ) x x = dx + ∫ 5 2 1 5 1( ) 1 ( ) 5 d x = x + ∫ = x + c 5 arctan 5 1 ∫ x x dx 2 sin 2 = ⋅ sin x xdx ∫ 2 2 ( 2 sin 1 = x d x ) ∫ = − x + c 2 cos 2 1 （2） 2 3 x x (2 3) x + d ∫ 1 2 3 2 2 3) (2 3) 4 = ( x + d x + ∫ = ⋅ x + + c 2 4 (2 3) 4 1 4 1 = x + + c 2 4 (2 3) 16 1 （3）
例(1) d x cos(e") sec(e^)·edhx =sec(e)d(e)=tan(e)+c (2) xIn x d d(Inx) nx =Inlnx+c d x dx d e+c
10 例（1） ∫ dx e e x x cos ( ) 2 2 sec ( ) x x = ⋅ e e xd ∫ 2 sec ( ) ( ) x x = e d e ∫ e c x = tan( ) + ∫ dx x ln x 1 1 1 ln x dx x = ⋅ ∫ (l ln n ) 1 d x = x ∫ = ln ln x + c （2） ∫ dx x e x 2 1 1 2 1 x dx x = ⋅ e ∫ 1 1 ( ) x d x = − e ∫ e c x = − + 1 （3）