Chap9模糊数学 §9.1普通集合 §92模糊集合 §9.3模糊关系 蜜§9.4综合评判 §9.5模糊聚类分析 §92模糊集合 模糊集合与隶属函数 目1模糊集合的定义 定义: 如果对论域X中的每一个元素x,都规定了0,1中 的一个实数(x),则得到x上的一个模糊集合 A (x) r∈X 其中H1(x)表示x对的隶属度,称为A的隶属函数
1 Chap9 模糊数学 §9.1 普通集合 §9.2 模糊集合 §9.3 模糊关系 §9.4 综合评判 §9.5 模糊聚类分析 §9.2 模糊集合 一、模糊集合与隶属函数 1.模糊集合的定义 [0,1] ( ) ( ) ( ) A A A x x x xA X x xX A A xX μ A μ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ μ = ∈ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 如果对论域 中的每一个元素 ，都规定了 中 的一个实 表示 对 的隶属度， 数 ，则得到 上的一个模糊集合 ， 称为 的 ， 其中 隶属函数 定义：
2模糊集合的表示法 )单点表示法 A: H4(x1),H4(x2) 十 其中隶属度为0的可省略不写) 例如:A=- 10.80.2010.80.2 =- b c d b c (2)向量表示法 A=(H4(x1),P4(x2)…,H4(xn)) 例如:A=(1,0.8,0.2,0) 二、模糊集合的运算 1模糊集的并 设A、B是论域x上的两个模糊集,那么A和E的 并集AUB也是X上的模糊集,其隶属函数定义为: 对X中的所有x,有 PAUB(x)=max(HA(r),AB(rD)=H(r)vAB(x) 其中“”为取大运算符号
2 2.模糊集合的表示法 1 2 1 2 () () ( ) A A A n n x x x xx x A μ μ μ = + ++ " 单点表示法 1 0.8 0.2 0 A a b c d = + + + 1 0.8 0.2 ab c =+ + （1） （其中隶属度为0的可省略不写） 例如： 1 2 ( ( ) ( ) ( )) A A An A = μ x x ， ，， μ μ " x 向量表示法 A = (1，0.8，0.2，0) （2） 例如： 二、模糊集合的运算 1.模糊集的并 max () () () ( ( ) ( )) AB A B A B AB X X X x x A B A B μ x x = μ μ x = μ μ ∨ x ∨ ∪ ∪ 设 、 是论域 上的两个模糊集，那么 也是 上的模糊集，其隶属函数定义为： 对 中的所有 ，有 ， 其中“ ”为取大 和 的 并集 运算符号
2模糊集的交 设A、B是论域X上的两个模糊集,那么A和B的 交集A∩B也是X上的模糊集,其隶属函数定义为: 对X中的所有x,有 HnB(x)=min(p1(x)H2(x)=HA(x)AP2(x) 其中“”为取小运算符号 3模糊集的补 设A是论域X上的模糊集,那么A的补集A也 是X上的模糊集,其隶属函数定义为:对X中的 目所有x,有 H1(x)=1-4(x) 例:设论域X={x1,x2x3,xx5}上的两个模糊集为 0.30.50.8 A 十 0.60.80.7 B= 则 CAUB 03v0.60.5V00v0.80.8V00V0.7 十 十 x 0.60.50.80.80.7 十 十—+—十
3 2.模糊集的交 () ( ) () min( ( ) ( )) A B AB A B AB X X X x x A B A B μ x x = μ μ x = μ μ ∧ x ∧ ∩ ∩ 设 、 是论域 上的两个模糊集，那么 也是 上的模糊集，其隶属函数定义为： 对 中的所有 ，有 ， 其中“ ”为取小 和 的 交集 运算符号 3.模糊集的补 () 1 () A A A A x X X x A X x μ μ = − 设 是论域 上的模糊集，那么 也 是 上的模糊集，其隶属函数定义为：对 中的 所有 ，有 的补集 例： 12345 124 135 0.3 0.5 0.8 0.6 0.8 { } 0.7 X xxxxx xxx xxx A B =++ = + = + 设论域 上的两个模 ， ， ， ， 糊集为 则 1 2345 0.3 0.5 0 0.6 0 0.8 0 0.7 0.8 0 x B xx x A x ∨ ∨∨ ∨∨ ∪ = ++++ 1 2 3 4 5 0.6 0.5 0.8 0.8 0.7 x x x x x = + + + +
4∩B=0.3A0.605A00A0.80.80,0~0.7 ￥x? 0.3 0000.3 计-+—+— r I xs -0.3 0.51-01-0.8 0 0.70.5 0.2 十 三、模糊集的λ-截集 定义:4是一个普通集合 设模糊集,∈0,取记A2={xH(x)≥,x∈X 称A1为A的-截集 例:设X={x,x,x,x,x} 0.30.50.80.50.9 A 十 十 x x A0s={x3,x3}As={x2,x3,x4,x3
4 1 2345 0.3 0.5 0 0.6 0 0.8 0 0.7 0.8 0 x B xx x A x ∧ ∧∧ ∧∧ ∩ = ++++ 1 2345 0.3 0 0 0 0 x x xxx = ++++ 1 0.3 x = 1 2345 111 0.3 0.5 0 0.8 0 1 1 x xxxx A − − −− − = + ++ + 1 2 3 4 5 0.7 0.5 1 0.2 1 x x x x x = + + + + 三、模糊集的λ − 截集 [0,1] { ( ) } Axx x A A A A λ X λ λ μ λ λ ≥ − 设模糊集 ∈ = ∈ ， ， 为 的 ， ，记 称 截集 定义： Aλ是一个普通集合 例： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0.3 0.5 0.8 0.5 0.9 { } x x x x x A X x x x x x = + + + + 设 = ， ， ， ， A0.8 3 5 = { } x x ， A0.5 2345 = { } xxxx
§93模糊关系 、模糊关系的概念 定义: 设X和Y是两个普通集合,以X×Y为论域的模糊 ‖集合凤,称为X到y的一个模糊关系,表示为 R=HR(, y) x∈X,y∈Y x,y 其中隶属度H2(x,y)表示x和具有关系R的程度, 把X到X的模糊关系称为X上的模糊关系 二、模糊矩阵及其运算 1模糊矩阵 设X={x,x2…xm},Y={1y2…y}都是 有限集,X到Y的一个模糊关系R可表示为: y1)Ag(x1,y2)…A(xy 2(x2,y1)p2(x2,y2) R: uR(2,J FR(,) uR(m,y2).. FR(rm,yu) 其中每个元素A(xy)都是0,1中的数,这样的 矩阵称为模糊矩阵
5 §9.3 模糊关系 一、模糊关系的概念 (,) , (,) ( , ( , ) ) [0 1] R R R X Y x y R x Xy Y X Y XY R x y x x x R y y y μ μ μ ⎧ ⎫ = × ⎨ ⎬ ∈ ∈ ⎩ ⎭ ∈ 设 和 是两个普通集合，以 为论域的模糊 集合 ，称为 其中 表示 和 具有关系 的程 到 的一个模糊关系，表示为 隶属 度 ， 度 ， 把 到 的模糊关系称为 上的模糊关系 XX X 定义： 二、模糊矩阵及其运算 11 12 1 21 2 12 12 2 2 1 2 { } { } ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1] ) , R R Rn R R Rn Rm Rm R m n Ri j m n xy xy xy xy xy xy R xy xy xy X xx x Y yy y XY R x y μμ μ μ μ μ μ μ μ μ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ = ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = " " " " ## # " 设 ， ， ， ， ， ， ， 都是 有限集， 到 的一个模糊关系 可表示为： 其中 ，， ， ，， ， 每 ，， ， 个元素 ， 都是 中的数，这样的 矩阵称为模糊矩阵。 1.模糊矩阵
2.模糊矩阵的A-截矩阵 设λ∈I0,1υ类似于模糊集的λ一截集,把模糊矩阵 中的元素2(x,y)≥础的改为,<花改为0,这样 的矩阵称为模糊矩阵R的-截矩阵,记作R2 010 Ro. =0 1 0 0.30.70.4 110 例如:R=0.10.80.3 11 0.50.602 R3=011 110 3模糊矩阵的运算 1)模糊矩阵的并 设A=(a)mxn,B=(bh)mn,则A和B的并 AUB=(a, v bi) K2)模糊矩阵的交 设A=(an)mxn,B=(b2)m,则A和B的交 A∩B=(an^b1) 3)模糊矩阵的补 设A=(an),则A的补 A=(1-a
6 2. 模糊矩阵的λ − 截矩阵 [0,1] ( ) 1 0 Ri j R R x y λ λ λ λ λ λ μ ∈ − ≥ − < 设 ，类似于模糊集的 截集，把模糊矩阵 中的元素 ， 凡 的改为 ， 改为 ，这样 的矩阵称为模糊矩阵 的 截矩阵，记作 0.3 0.7 0.4 0.1 0.8 0.3 0.5 0.6 0.2 R ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0.5 010 010 110 R ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0.3 111 011 110 R ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 例如： 3.模糊矩阵的运算 （1）模糊矩阵的并 ( ) ( ) ( ) ij m n ij m n A B ij ij m n Aa B a b b AB × × × = = ∨ = ∪ 设 ， ，则 和 的并 ( ) (1 )i n j m ij m n A A a a A × × = − 设 ，则 的补 = （2）模糊矩阵的交 （3）模糊矩阵的补 ( ) ( ) ( ) ij m n ij m n A B ij ij m n Aa B a b b AB × × × = = ∧ = ∩ 设 ， ，则 和 的交
例:设A 0.30.5 0.40.9 B 0.70.2 0.50.3 (1)A∪B0.3040.509 0.40.9 07V0502v0.30.703 030.40.50.91「0.30.5 (2)A∩B 0.7∧0.50.2人0.3」0.502 (3)A= 031-0.51「0.70.5 1-0.71-020.30.8 (4)模糊矩阵的合成 设A 表示X到Y的模糊关系,B=(b) 表示Y到Z的模糊关系,则A和硝合成C=AoB 表示X到Z的模糊关系,其中A的列数必须等于B 的行数,这里C=(cn)m,即C的行数和A的行数 相同,C的列数和B的列数相同,其中 c,=max min(ak, b)5=v(ak Aby) (i=1,2,…,m;j=1,2,…,s)
7 例： 0.3 0.5 0.4 0.9 0.7 0.2 0.5 0.3 A B ⎡ ⎤⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 设 ， A∪ B ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∨ ∨ ∨ ∨ = 0.7 0.5 0.2 0.3 0.3 0.4 0.5 0.9 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0.7 0.3 0.4 0.9 A∩ B ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∧ ∧ ∧ ∧ = 0.7 0.5 0.2 0.3 0.3 0.4 0.5 0.9 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0.5 0.2 0.3 0.5 A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 0.7 1 0.2 1 0.3 1 0.5 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0.3 0.8 0.7 0.5 （1） （2） （3） （4）模糊矩阵的合成 () () ( ) ik m n kj n s ij m s A a XY B b Y Z A B Cc C A C B A B C AB X Z × × × = = = = 则 和 的合成 D 表示 到 的模糊关系 设 表示 到 的模糊关系， 表示 到 的模糊关系， 其中 的列数必须等于 的行数，这里 ，即 的行数和 的行数 相同， 的列数和 的列数相同 ， ，其中： { } 1 1 max min( ) ( 1, 2, , 1,2, , ( ) ) n ij ik kj ik kj k n k c ab a i m b j s ≤ ≤ = = =∨ ∧ = = " " ；
0.80.5 例1:设A B 0.0.6 :2…t:6 0.0 A。B (0.8A0.7)v(0.5∧0.1)(0.8^0.6)v(0.5A0) 0.2A07)(0.6A0.1)(0.2A0.6)V(0.6∧0) 0.7v0.10.6V0 0.20.10.20」 0.70.6 0.2:0.2 050.5 例2:设4=(05-份+2),B=060.4 1×3 0E20.8 3×2 A。B=(0.340.5)y(0.5A06)(02A0.2 (0.30.5)v(0.50.4)v(0.20.8) 03v0.5v020304v02) 0504)
8 例1： 0.8 0.5 0.7 0.6 0.2 0.6 0.1 0 A B ⎡ ⎤⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 设 ， A BD (0.8 0.7) (0.5 0.1) (0.8 0.6) (0.5 0) (0.2 0.7) (0.6 0.1) (0.2 0.6) (0.6 0) ⎡ ⎤ ∧∨∧ ∧∨∧ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∧∨∧ ∧∨∧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∨ ∨ ∨ ∨ = 0.2 0.1 0.2 0 0.7 0.1 0.6 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0.2 0.2 0.7 0.6 例2： ( ) 0.5 0.5 0.3 0.5 0.2 0.6 0.4 0.2 0.8 A B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 设 ， A BD = ((0.3 ∧ 0.5)∨ (0.5 ∧ 0.6)∨ (0.2 ∧ 0.2) = ( ) 0.3∨ 0.5∨ 0.2 0.3∨ 0.4∨ 0.2 = ( ) 0.5 0.4 1× 3 3× 2 (0.3 ∧ 0.5)∨ (0.5 ∧ 0.4)∨ (0.2 ∧ 0.8))
三、模糊等价关系 满足自反性和对称性的模糊关系称为模糊相似关系 (模糊相似矩阵) 满足传递性的模糊相似关系称为模糊等价关系 (模糊等价矩阵) 将一个模糊相似关系R“改造”成模糊等价关系R 10.20.5 例:设R=0.210.7 0.50.71 10.50.5 R2=RoR=0510.7 0.50.71 0.50.5 而R2R2=0.510.7|=R 0.50.71 ∴R=R
9 三、模糊等价关系 满足自反性和对称性的模糊关系称为模糊相似关系 (模糊相似矩阵) (模糊等价矩阵) 满足传递性的模糊相似关系称为模糊等价关系 * 将一个模糊相似关系 成模糊等价关系 R R “改 造” 例： 1 0.2 0.5 0.2 1 0.7 0.5 0.7 1 R ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 设 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 0.5 0.7 1 0.5 1 0.7 1 0.5 0.5 2 R RD R 2 2 1 0.5 0.5 0.5 1 0.7 0.5 0.7 1 R R ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 而 D * 2 ∴ R = R 2 = R
§95综合评判 例1:对某商品进行综合评判 ①考虑三个因素 u1(花色款式)u2(耐用性)u3(价格) 因素集U={u1,u2,n3} 权重向量A=(0.3,0.5,0.2) ②评价结果分成四个等级 v1(很受欢迎) v2(比较受欢迎) 3(不太受欢迎)v4(不受欢迎 抉择集V={,v2,v3v} ③请一批顾客对23三个因素分别作出评价 0.20.70.10 单因素评判矩阵R=00.40.01 0.20.30.50 0.20.70.10 B=AoR=(0.3,0.5,0.2)。00.40.50.1 0.20.30.50 =(0.2,0.4,0.5,0.1 :按最大隶属度原则,该商品属“不太受欢迎”等级
10 §9.5 综合评判 例1：对某商品进行综合评判 考虑三个因素 u（花色款式） 1 u（耐用性） 2 u（价格） 3 123 因 集素 { } U uuu = ， ， 权重向量 (0.3 0.5 0 2 A = ， ， . ) 评价结果分成四个等级 （不太受欢迎） （不受欢迎） （很受欢迎） （比较受欢迎） 3 4 1 2 v v v v 1234 抉择集 { } V vvvv = ，，， ① ② ③ 123 请一批顾客对 ， ， 三个因素分别作出评价 uuu 单因素评判矩阵 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0.2 0.3 0.5 0 0 0.4 0.5 0.1 0.2 0.7 0.1 0 R ④ B AR = D 0.2 0.7 0.1 0 (0.3 0.5 0.2) 0 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.5 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， ， D = (0.2 0.4 ，，，0.5 0.1) ∴按最大隶属度原则， 该商品属“ ”等级 不太受欢迎