Chap4定积分 §41定积分的概念 §42定积分的计算 §43定积分的两个积分法则 §44定积分的应用 §4.6广义积分 841定积分的概念 定积分的定义 1定义 ∫,∫(x)d=im∑f(x)△x 其中f(x)称为被积函数,x称为积分变量,a,b 称为积分区间,a、b分别称为积分下限、上限
1 Chap4 定积分 §4.1 定积分的概念 §4.2 定积分的计算 §4.3 定积分的两个积分法则 §4.4 定积分的应用 §4.6 广义积分 ( ) [ , ] f x x ab a b 被积函数 积分变量 积分 其中 称为 ，称为 ， 称为 ， 、 分别 区间 积分下 称为 限、上限 一、定积分的定义 0 1 ( ) lim ( ) n i i i b a f xdx fx x λ → = = Δ ∫ ∑ 1.定义 §4.1 定积分的概念
2.注:定积分是一个数值 例:(∫上 arctan dr)=0 、定积分的性质 1若f()=1,则广/(xk∫a=b- 2/(x)d=/(xk+(x)(为任何实数 例如:「(x)d=J,/(x+(x) c可在a点的左边,也可在b点的右边 例如:(x)d=J(x)+n/(x)d 定积分对积分区间的可加性
2 2. 注：定积分是一个数值 1 1 2 ( arctan x dx)′ = 例： ∫ 0 三、定积分的性质 f x f x dx dx b a b a b a ≡ = = − ∫ ∫ 若 ( ) 1， 则 ( ) () () () b cb a ac f x dx f x d = + x f x dx c ∫∫∫ （ 为任何实数） ca b 可在 点的左边，也可在 点的右边 2 12 0 01 () () () f x dx f x dx f x dx = + 例如：∫∫∫ 2 02 1 10 () () f x dx f x dx f x dx = + ( ) 例如：∫∫∫ 定积分对积分区间的可加性 1. 2
3. f(x)dx=-. f(x)dx 例如:」2f(x)=」,(x)d 特别当a=b时,Jf(x)=0 4.定积分的值与被积函数以及积分区间有关, 而与积分变量的字母的选择无关 即:(x)=∫(-J(dk= 例如:「x2t=rt 6:f(x)±g(x)dx=f(x)dx±g(x)dh 可推广到任意有限个函数代数和的情况
3 ∫ ∫ = − a b b a f (x)dx f (x)dx 3 2 2 3 () () f x dx f x dx = − 例如：∫ ∫ () 0 a a a b = f x dx = 特别当 时，∫ 3. ( ) () ( ) b bb a aa f d fd f d xx tt = = = k k ∫ ∫∫ " 1 1 2 2 0 0 x dx t dt = = 例如：∫ ∫ " 4. 定积分的值与被积函数以及积分区间有关， 而与积分变量的字母的选择无关 即： () () b b a a kf x dx f = k x dx ∫ ∫ [ ( ) ( )] ( ) ( ) b bb a aa f x gx f x g ± dx d = x dx ± x ∫ ∫∫ 5. 6. 可推广到任意有限个函数代数和的情况
§4,2定积分的计算 p(x)=Jf(x)dx,x∈a,称为变上限积分 (1)(∫/(m=r(x 例:(r2sinh)=x2sinx (2)(f()d)x=-f(x) 例:rsmx=-xsix 定理 设f(x)在a,b上连续,若F(x)是f(x)在 1a,b上的一个原函数,则 f(x)dx= F(x)= F()-F(a) 牛顿-莱布尼兹公式
4 §4.2 定积分的计算 ( ) [ , ] ( ) x a px x b = ∈ f x dx a ∫ ， 称为变上限积分 （1） ( f (t)dt) f (x) x x a ′ = ∫ 2 0 ( sin ) x x t tdt ′ 例： ∫ ( () ) ( ) b x x f t dt f x ′ = − ∫ x sin x 2 = 0 2 ( sin )x x t tdt ′ 例： ∫ x sin x 2 = − （2） ( ) [ , ] ( ) ( ) [ , ] f x ab F x f x a b 设 在 上连续，若 是在 上的一个原函数，则 牛顿 莱布尼兹公式 − 定理： () () () ( ) b a b a f x dx F b F = =− F x a ∫
例(1)[x2ax=1x3 (2)2sin xdx =-cos xl =-(c0s cosO) 2 (3)Sre dx =J 2J d(x) Ce 2 (4)gnx-1=(1-x)dx+(x-1dk x--x)+(-x-x 22
5 例（1）∫ 1 0 2 x dx 1 0 1 3 3 = x 3 1 = ∫ 2 0 sin π xdx 2 0 cos x π = − 1 cos0) 2 (cos = = − − π （2） ∫ 1 0 2 xe dx x ∫ = ⋅ 1 0 2 e xdx x ∫ = 1 0 2 ( ) 2 1 2 e d x x 2 1 0 1 2 x = e ( 1) 2 1 = e − 2 0 x −1 dx ∫ ∫ ∫ = − + − 2 1 1 0 (1 x)dx (x 1)dx 1 2 0 2 2 1 1 1 ( )( ) 2 2 = + x x xx − − 1 2 1 2 1 = + = （3） （4）
§43定积分的两个积分法则 定积分换元积分法 目若函数f(x)在a,b上连续,函数x=()在a,B上 是单值的,且有连续的导数q(t),当在a,B上变 化时,x=p(t)的值在a,b上变化,且有g(a)=a, P(B)=b, 则有定积分换元公式: ∫(x)=J。om)d(()=。1o()p(ot 注:换元的同时要换限 例1: +2 dx √2x+1 目解:令√2x+1=t,则x= dx= tdt 2 当x=0时,t=1当x=4时,t=3 x+2 +2 bdx o0√2x+1 2J,(t2+3)d (t3+3 2 23 3
6 §4.3 定积分的两个积分法则 一、定积分换元积分法 ( ) [ , ] () [ , ] () [ , ] () [ , ] () ( ) f x ab t x t t a b t x ab ϕ αβ ϕ ϕ α β ϕ α ϕ β ′ = = = = 若函数 在 上连续， 且 函数 在 上 是 的， 且 有连续的导数 ，当 在 上变 化时， 的值在 上变化， 有 单值 ， ， 注：换元的同时要换限 ( ) [ ] ( ) [ ( )] ( ) () () b a f x dx f d f t t d t t t β β α α = = ϕ ϕ ϕ ϕ′ ∫∫ ∫ 则有定积分换元公式： 例1：∫ + 4 + 0 2 1 2 dx x x 2 1 2 2 1 t x t + = x dx t t d − 令 ，则 ， = = 当 时， 0 x = t = 1 当 时， 4 x = t = 3 2 4 3 0 1 1 2 2 2 2 1 t x dx t t dt x − + + = + ∫ ∫ ∫ = + 3 1 2 ( 3) 2 1 t dt 3 1 3 3 ) 3 1 ( 2 1 = t + t 3 22 = 解：
例2:V1-x2 解:令x=sint,则=cost 当x=0时,t=0当x=1时,t 元 2 x dx sin- t cos tat 1+ cos 2t cos tat dt 2 (t +sin 2t) 22 4 例3: 设f(x)在|-n,a上连续,证明 到(1)若f(x)为奇函数则[f(x)dt=0 (2)若f(x)为偶函数,则f(x)d=2f(x) 奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分 可以简化计算
7 例2： 0 2 0 1 2 2 1 1 sin cos x dx t tdt π −= −⋅ ∫ ∫ ∫ − 1 0 2 1 x dx 令x = sin t ，则d tt x = cos d 当 时， 0 x = t = 0 2 1 x t π 当 时， = = 2 0 sin2 ) 2 1 ( 2 1 π = t + t 4 π = ∫ = 2 0 2 cos π tdt ∫ + = 2 0 2 1 cos2 π dt t 解： 0 ( ) (1) ( ) ( ) (2) ( ) [ ,] 0 ( ) 2 () a a a a a f x f x f xd a a f x d x f x f x dx x − − − = = ∫ ∫ ∫ 设 在 上连续，证明： 若为 ，则 若 奇 为 数，则 函数 偶函 例3： 奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分 可以简化计算
例(1)」 x xdx=0 (2) sIn d dnx dx+ d dx+o -11+x 01+x 8、)1++3)x=2x- arctan) (1 元 2 二、定积分分部积分法 udv=(uv vdu 例1:‖ xcos xdx o xd(in x)=xsin x-n sin. xdx =0-(-c0sx)=-2
8 1 4 1 x x sin dx ∫− = 0 ∫− + 1 + 1 2 2 1 sin dx x x x 1 1 2 1 2 1 2 sin 1 1 x x x x dx dx − − + + = + ∫ ∫ 0 1 2 1 0 2 2 + + = ∫ dx x x ∫ + = − 1 0 2 ) 1 1 2 (1 dx x 1 0 = 2(x − arctan x) 2 2 π = − 例（1） （2） 二、定积分分部积分法 ( ) b b b a a a udv uv vdu = − ∫ ∫ 例1： ∫ π 0 xcos xdx 0 x x d( ) sin π = ∫ ∫ = − π π 0 0 xsin x sin xdx π 0 = 0 − (−cos x) = −2
例2:[xedx =xd(e)=xe -led =e-(e-1)=1 例3 rIn xd(nx)=e-[.x·-dx 已 e-(e-1)=1 例4 edx 令√x ed(t) tdt =te=2!t( 0 =2t-|et=2e =2e-(e-1)=2
9 ∫ 1 0 xe dx x 1 0 ( ) x = x e d ∫ ∫ = − 1 0 1 0 xe e dx x x 1 0 x = e − e = e − (e − 1) = 1 例2： 1 ln e xdx ∫ ∫ = − e e x x xd x 1 1 ln (ln ) ∫ = − ⋅ e dx x e x 1 1 ∫ = − e e dx 1 e e x 1 = − = e e −−= ( 1) 1 例3： 例4： 1 0 x e dx ∫ ∫ = 1 0 2 e d(t ) t ∫ = ⋅ 1 0 e 2tdt t ∫ = 1 0 2 te dt t 1 0 2 ()t = t e d ∫ 2[ ] 1 0 1 0 ∫ = te − e dt t t 2[ ] 1 0 t = e − e = 2[e − (e − 1)] = 2 令 x t = 2 x t =
§44定积分的应用 平面图形的面积 求由两条连续曲线p=f(x)y=f2(x)(f(x)≥1(x) 以及直线x=ax=b(a<b所围成的曲边梯形的面积 A=」f(x)-f2(x) x+dx 例1:求抛物线y=x2和直线y=x所围图形的面积S 解:(1)作草图 (2)求交点 →交点(0,0),(1,1) y=x (3)S=(x-x2) 6
10 §4.4 定积分的应用 一、平面图形的面积 1 2 1 2 ( ( ) ( )) () ( ( ) y fx y fx) fx f x ax b x a b = = = = ≥ < 求由两条连续曲线 、 以及直线 、 所围成的曲边梯形的面积 1 2 [ ( ) ( )] b a A f x f x dx = − ∫ (1) 作草图 (2) 求交点 ⎩ ⎨ ⎧ = = y x y x2 ⇒ 交点（0，0）（, 1，1） 1 2 0 (3) ) S = − (x x dx ∫ 1 0 2 3 ) 3 1 2 1 = ( x − x 6 1 = 2 例1：求抛物线 和直线 所围图形的面积 yx yx = = S 解：