浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义，第三版）第十一讲 二维随机变量函数的分布

第十一讲二维随机变量函数的分布 重点:二维离散型随机变量函数的分布,二维连续型随机变量和的分布 难点:二维连续型随机变量和与商的分布 、二维离散型随机变量函数的分布 设(XY)是二维离散型随机变量,g(x,y)是二元连续函数,则2g(X为一元离散型随机变量。设ZX,Y 的可能取值为、x、yk(k=12,…)。令 x,Vu 则P2=2}=Pg(x,1)==}=P(X,)∈C}=∑P=x,=y xI, kECI 例1设(X,Y)的分布率 2 202020 求(1)X+Y;(2)X-Y的分布率 解:(1)X+Y的分布率为 X+y 20134 52931 2020202020 (2)X-Y的分布率为 X-Y 3-2 62633 2020202020 例2设X、Y独立,且XP(A1),Y~P(2),求X+Y的分布率 解:X+Y的可能独立取值为0,1,2,… PX+Y=l}=∑Px=k,=1-k}=∑P{X=k)P{=1-k

第十一讲 二维随机变量函数的分布 重点：二维离散型随机变量函数的分布，二维连续型随机变量和的分布 难点：二维连续型随机变量和与商的分布 一、二维离散型随机变量函数的分布 设（X,Y）是二维离散型随机变量，g(x,y)是二元连续函数，则 Z=g(X,Y)为一元离散型随机变量。设 Z, X, Y 的可能取值为 i z 、 j x 、 k y (i, j, k = 1,2, ) 。令 Ci = (x j , yk ) g(x j , yk ) = zi           = = = =  = = = j k Ci x y i i j k P Z z P g X Y z P X Y C P X x Y y ( , ) 则 ( , ) ( , ) , 例 1.设（X,Y）的分布率 Y X -1 1 2 -1 20 5 20 2 20 6 2 20 3 20 3 20 1 求（1） X + Y ；（2） X − Y 的分布率 解：（1） X + Y 的分布率为 X + Y - 2 0 1 3 4 p 20 5 20 2 20 9 20 3 20 1 （2） X − Y 的分布率为 X − Y - 3 − 2 0 1 3 p 20 6 20 2 20 6 20 3 20 3 例 2.设 X 、Y 独立，且 ~ ( ) X P 1 , ~ ( ) Y P 2 ,求 X + Y 的分布率 解: X + Y 的可能独立取值为 0,1,2,…           = = + = = = = − = = = − i k i k P X Y i P x k Y i k P X k P Y i k 0 0

(1+2) -(+2 (A1+2) 0,1,2 X+~P(41+2)。此性质称为泊凇分布的再生性(可加性)。类似地,二次分布具有可加性,即若 X~B(n,P),Y~B(n2P)且相互独立,则X+Y~B(mn1+n2,P)。此性质可推广到有限个的情形。 二维连续型随机变量函数的分布 1.一般情况 设(XY)是二维连续型随机变量,其联合密度函数为f(xy),则随机变量函数∠g(x,Y),(g(x,y)是二元连 续函数)是一维连续型随机变量,其分布函数为 F2(=P(Zs:]=P(g(X, Y)s=)=I x,y)lg(x,y)s: f(x, y)dxdy 进而求出其密度函数f2()=F2() 例1.设XMO,1),yMO,1),且x与Y相互独立,求乙=√x2+y2的密度函数 解:当z≤0 时,F2(2)=M=0 当>0时 F2(=)=PNX 即F2()=1-e2=>0 从而f()=F2(=)={=e2=>0 0 0 2.特殊情况

! ( )! 2 0 1 1 2 i k e k e i i k k k − =  − − = −      = − − + − = i k k i k k i k i i e 0 1 2 ( ) !( )! ! ! 1 2     i i e ( ) ! 1 2 ( ) 1 2     = + − +  i = 0,1,2,  即 ~ ( ) X +Y P 1 + 2 。此性质称为泊凇分布的再生性（可加性）。类似地，二次分布具有可加性，即若 ~ ( , ) X B n1 p ， ~ ( , ) Y B n2 p 且相互独立，则 ~ ( , ) X +Y B n1 + n2 p 。此性质可推广到有限个的情形。 二、二维连续型随机变量函数的分布 1．一般情况， 设（X,Y）是二维连续型随机变量 ,其联合密度函数为 f(x,y)，则随机变量函数 Z=g(X,Y)，（g(x,y)是二元连 续函数）是一维连续型随机变量，其分布函数为        =  =  = x y g x y z FZ z P Z z P g X Y z f x y dxdy ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 进而求出其密度函数 f (z) F (z) Z Z =  例 1.设 X~N(0,1)，Y~N(0,1)，且 X 与 Y 相互独立，求 2 2 Z = X + Y 的密度函数。 解：当 z  0 时， ( )   0 2 2 FZ z = P X +Y  z = 当 z  0 时      − − +  + − = = − = +  =     2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) z r z x y z x y Z d e rdr e F z P X Y z e dxdy      = −  − 0 0 ( ) 1 0 2 2 z e z F z z 即 Z      =  =  − 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 z ze z f z F z z 从而 Z Z 2．特殊情况

(1)Z=X+Y的分布 设f(xy)为(X,)的密度函数,则Z=X+Y的分布函数为 F2()=P(X+Ys=)=x/(x, y)drdy=dx[/(x,y)dy dx f(x, u-x)du f(x, u-xdx du 从而f2()=」(x2-xt 利用对称性又有()=C/(=-yy 若XY相互独立,则f(x,y)=fx(x)(y) 则f(2)C()(-x)=(=-)1( 例2.设Xy相互独立,且XM(0,1),Y~M(0,1),求Z=X+Y的密度函数 解:由于XY相互独立,所以 2()=J(x)4(=-x)女= 1:r“=“=2x 即X+Y~M0,2) 推广:若X~N(A,a2)Y~N(x2,a2),且XY独立,则X+y~N(1+2,o12+a2):有限个相 互独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布 例3.设XY独立同分布,其密度函数均为 f(x)={50 0≤x≤<10 0 thers 求Z=X+Y的概率密度。 解:f2(2)=f(x)f(2-x)x 600z-60x2+z f(x)f(=-x)dx0≤<10 0<2<10 15000 20-z)3 f(x)f(=-x)dx10≤≤20= 10<z≤20 15000 (2)Z=X/Y的分布

（1） Z = X + Y 的分布 设 f(x,y)为（X,Y）的密度函数，则 Z = X + Y 的分布函数为      + − − +  − = +  = = z x x y z FZ (z) P X Y z f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy   + − − = − z dx f (x,u x)du −  + −     = − z f (x,u x)dx du 从而  + − f z = f x z − x dx Z ( ) ( , ) 利用对称性又有  + − f z = f z − y y dy Z ( ) ( , ) 若 X,Y 相互独立，则 f (x, y) f (x) f (y) = X Y 则   + − + − f z = f x f z − x dx = f z − y f y dy Z X Y X Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 例 2.设 X,Y 相互独立,且 X~N(0,1)，Y~N(0,1)，求 Z = X + Y 的密度函数。 解：由于 X,Y 相互独立，所以   + − + − − − − f z = f x f z − x dx = e  e dx x z x Z X Y 2 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )    + − − − − = e e dx z x z 2 2 ) 2 ( 4 2 1   + − − − = e e  dt z t 2 1 2 1 4 2 2 2  4 2 2 2 1 z e −  =  即 X+Y~ N(0,2) 推广：若 ~ ( , ), ~ ( , ) 2 2 2 2 X N 1  1 Y N   ，且 X,Y 独立，则 ~ ( , ) 2 2 2 X + Y N 1 +  2  1 + ；有限个相 互独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布。 例 3.设 X,Y 独立同分布，其密度函数均为       − = others x x f x 0 0 10 50 10 ( ) 求 Z = X + Y 的概率密度。  + − f z = f x f z − x dx Z 解： ( ) ( ) ( )            −   − + =        −   −   =   − others z z z z z z others f x f z x dx z f x f z x dx z z z 0 10 20 15000 (20 ) 0 10 15000 600 60 0 ( ) ( ) 10 20 ( ) ( ) 0 10 3 2 3 1 0 1 0 0 （2） Z = X /Y 的分布

F2()=P≤=P{x≤,y>0}+P{x≥,y=1-P{X>2,y>}=1-P{X>=}P{y> =1--Fx(z)l-F() 推广到n个相互独立的随机变量: 设1,X2…X〃相互独立,其分布函数分别为Fx1(x1Fx(x2)…Fx M=mx({x,x2…Xm,N=m({x,x2…,xm的分布函数分别为

( ) =   ,  0+   ,  0       =  z P X Yz Y P X Yz Y Y X FZ z P     + − + −     +     = 0 0 f (x, y)dx dy f (x, y)dx dy yz yz 令 x = uy     + − − −     +     = 0 0 yf (uy, y)du dy yf (uy, y)du dy z z     + − − −     −     = 0 0 yf (uy, y)du dy yf (uy, y)du dy z z −   + −     = − z yf uy y dy yf uy y dy du 0 0 ( , ) ( , )    + − + − = − =   f z = F z yf yz y dy yf yx y dy y f yz y dy Z Z ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 例 4.设（X,Y）的联合密度为         = others y x y f x y 0 ,0 2 1 sin 0 ( , )  求 Z = X /Y 的密度函数。    + − + = − = 0 0 0 f (z) yf (yz, y) dy yf (yz, y)dy yf (yz, y)dy 解： Z           −    =              =   0 0 2 1 2 1 cos 2 1 2 1 sin 2 1 0 0 2 1 2 1 0 0 sin sin 2 1 0 0 z z z z z z z z z y y y ydy z       注：注意区间的划分 例 5.设 X,Y 相互独立，其密度函数分别为 0 0 0 2 ( ) 0 0 0 ( ) 2      =      = − − y e y f y x e x f x x y 求 Z = X /Y 的密度函数。 解：（略） （3） M = max( X,Y), N = min( X,Y) 的分布 设 X,Y 相互独立，其分布函数分别为 FX(x), FY(y)。用 Fmax(z), Fmin(z)分别表示 M, N 的分布函数，则 ( )    ,      ( ) ( ) max F z P M z P X z Y z P X x P Y z F z F z  = X Y =  =   =             1 [1 ( )][1 ( )] min ( ) 1 1 1 F z F z F z P N z P N z P X z Y z P X z P Y z = − − X − Y =  = −  = −  ，  = −   推广到 n 个相互独立的随机变量： 设 X X Xn , , , 1 2  相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为 ( ), ( ), , ( ), X1 1 X2 2 X n F x F x F x  n 则 M = maxX1 , X2 ,  , Xn ， N = min X1 , X2 ,  , Xn 的分布函数分别为

Fmux (e)= Fx (xFx(x2).Fx(xn) Fm()=1--Fx(川1-Fx2()…[1-Fxn() 例6.设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成,连接方式分为(1)串联:(2)并联;(3)备用。 设L1,L2的寿命X,Y的概率密度分别为 ()=3-x>0 Be y x≤0() 0 其中a>0,B>0且∝≠β,试写出上述三种方式下L的寿命Z的概率密度 解:由已知X,F的分布函数分别为 F() 少>0 Fx(x) ≤0 y≤0 (1)Z=mm{,F} Fmn(二)=1-[-Fx(x)1-F1(y)= ≤0 fmin()= Fmin(=) max X Fm(=)=Fx(=)F1(=) (1-e)1-e-)x>0 0 z≤0 ∫(aeoa+/e-)-(a+B)e-10>0 (3)z=X+Y ()2=(x)(-x 0 B 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) max X1 1 X2 2 X n F z F x F x F x  n = ( ) 1 [1 ( )][1 ( )] [1 ( )] max 1 2 F z F z F z F z X X Xn = − − −  − 例 6.设系统 L 由两个相互独立的子系统 L1, L2 连接而成，连接方式分为（1）串联；（2）并联；（3）备用。 设 L1, L2 的寿命 X,Y 的概率密度分别为 0 0 0 ( )      = − x e x f x x X   ， 0 0 0 ( )      = − y e y f y x Y   其中   0,   0 且    ，试写出上述三种方式下 L 的寿命 Z 的概率密度。 解：由已知 X,Y 的分布函数分别为 0 0 0 1 ( )      − = − x e x F x x X  ， 0 0 0 1 ( )      − = − y e y F y x Y  (1) Z = min X,Y 0 0 0 1 ( ) 1 [1 ( )][1 ( )] ( ) min      − = − − − = − +  z e z F z F x F y z X Y       +  =  = − + 0 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) min min z e z f z F z   z   (2) Z = maxX,Y 0 0 0 (1 )(1 ) ( ) ( ) ( ) max      − − = = − − z e e z F z F z F z z z X Y   0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) max max      + − + =  = − − − + z e e e z f z F z z z   z     （3） Z = X + Y f (z) Z  + − = f x f z − x dx X Y ( ) ( ) 0 0 0 [ ] 0 0 0 0 ( )        − = −        = − − − −  − z e e z z e dx z z z z d e z x x         