第五章大数定律和中心极限定理(简介) 第一节大数定律 定义51(依概率收敛) 设5,5,…,5n…(或记{5n}是一个随机变量序列,ξ是 随机变量或常数。若对任何ε>0,都有 lim pi <8 n→0 就称{n}依概率收敛于,记为nB5。 定义52(以概率1收敛、几乎处处收敛) 若P(m5n=5)=1,则称{n}以概率1收敛于ξ,或称 n→00 几乎处处收敛于,记为2S5o
第五章 大数定律和中心极限定理(简介) 第一节 大数定律 定义5.1 (依概率收敛) 设 是一个随机变量序列，是 随机变量或常数。若对任何 >0，都有 就称 依概率收敛于，记为 。 ( { }) 1 ， 2 ，， n ， 或记 n lim ( − ) =1， → n n P { } n n → P 定义5.2 (以概率1收敛、几乎处处收敛) 若P( )=1，则称 以概率1收敛于，或称 几乎处处收敛于，记为 。 { } n n → a.s. = → n n lim
定理5设nPa,mnb,gx,y在(a,b)处连续,则 g(sn nm)>g(a, b) 定义53(依分布收敛) 设{n}和的分布函数分别为{Fn(x)和F(x),若 lim F(x=F(x) n→)0 则称{F(x)收敛于F(对,记为Fn(x)WF(x) 称{5n}依分布收敛于,记为E 定理52(几种收敛之间的关系 若nB5,则n-> 2.设μ为常数,则9n→当且仅当5n→ 3.若5S5,则5nB5
定理 P P 5.1 设 n → a，n →b， g(x，y)在(a，b)处连续，则 g( ) g(a b). n ，n → P ， 定义5.3(依分布收敛) 设 和的分布函数分别为 和F(x)，若 则称 弱收敛于F(x)，记为 。 称 依分布收敛于，记为 。 { } n { } n {F (x)} n {F (x)} n F (x) F(x) n → W n → L lim F (x) F(x) n n = → 定理5.2 (几种收敛之间的关系) 1. 若 ，则 。 2. 设为常数，则 当且仅当 。 3. 若 ，则 。 n → P n → L n → n → n → a.s. n → P P L
定义54(独立随机变量序列) 设{n}是一个随机变量序列,若对任何n,序列中前n个随 机变量5,5,…,5,都相互独立,则称{n}为独立随机变 量序列简称{n}相互独立) 定理53(切比雪夫大数定律) 设{n}相互独立,且E()=,D()=σ2,=12,…, 令 ∑5,则 定理54(辛钦大数定律) 设{n}相互独立,且服从相同分布,E(5)=A,i=12, n=∑,则 说明:1.辛钦大数定律中“服从相同分布”仅是指分布类型相
定义5.4 (独立随机变量序列) 设 是一个随机变量序列，若对任何n，序列中前n个随 机变量 都相互独立，则称 为独立随机变 量序列(简称 相互独立)。 { } n { } n { } n 1 ， 2 ，， n 定理5.3 (切比雪夫大数定律) 设 相互独立，且 令 { } n E( i ) = ，D( i ) = 2 ，i =1，2，， . 1 1 = → = n n i n i n ，则 P 定理5.4 (辛钦大数定律) 设 相互独立，且服从相同分布， 令 . 1 1 = → = n n i n i n ，则 P { } n E(i ) = ，i =1，2， 说明：1.辛钦大数定律中“服从相同分布”仅是指分布类型相 同
2.这两个大数定律实质上是指出:n个满足某种条件的相互独 立随机变量的算术平均近似于一个常数。 定理55(贝努利大数定律 设A在n重贝努利试验中发生n4次,PP(A),则对任何 E>0,有 lim p <8 n→0 说明:贝努利大数定律是说,当m很大时,P("=p)≈1, 故可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率 例1(203年数学三考研试题填空题) 设总体X服从参数为2的指数分布,X1,X2…,Xn为来自 总体X的简单随机样本,则当n→∝时, ∑H2 依概率收敛于 n i=1
2. 这两个大数定律实质上是指出：n个满足某种条件的相互独 立随机变量的算术平均近似于一个常数。 定理5.5 (贝努利大数定律) 设A在n重贝努利试验中发生 次，p=P(A)，则对任何 >0，有 nA lim ( − ) =1. → p n n P A n 说明：贝努利大数定律是说，当n很大时， 故可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率。 ( = p) 1， n n P A 例1(2003年数学三考研试题填空题) 设总体X服从参数为2的指数分布， 为来自 总体X的简单随机样本，则当n→时， 依概率收敛于 。 X1 ，X2 ，，Xn = = n i n Xi n Y 1 1 2
第二节中心极限定理 定理56(列维林德贝格中心极限定理Lewy- Lindeberg) (独立同分布中心极限定理) 设随机变量5,2,,5n相互独立且服从同一分布,且 具有相同的数学期望和方差: E(5)=A,D()=口2,i=,2,…,n, 则随机变量 ∑ N(O,1) 即Tn的分布函数Fn(x)对任何x满足 ∑5 lim P(s n→c no √2丌
第二节 中心极限定理 定理5.6 (列维-林德贝格中心极限定理 Levy-Lindeberg) ( 独立同分布中心极限定理) 设随机变量 相互独立且服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差： 则随机变量 即 的分布函数 对任何x满足 1 ， 2 ，， n E( i ) = ， D( i ) = 2 ，i =1，2，，n， 1 N(0，1)， n n n i i n → − = = L n F (x) n . 2 1 lim ( ) lim ( ) 1 2 2 x e dt n n F x P x t n i i n n n − − = → → = − =
说明:当n很大时,∑5-m i=1 N(O,1) 推论(德莫佛-拉普拉斯中心极限定理) 设1n~B(n,p)(0<p<1),则对任何x,有 x inP(-=≤x) d t n→ 1p(1-p) 丌
推论( 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理) 设 n ～B(n，p) (0<p<1)，则对任何x，有 . 2 1 ) (1 ) lim ( 2 2 x e dt np p np P x t n n − − → = − − 说明：当n很大时， (0 1). 1 ～N ， n n n i i − =
例2(2002年数学四考研试题 设随机变量x,x2…,xn相互独立,Sn=∑X 则根据列维-林德贝格中心极限定理,当n充分大时,S近似 服从正态分布,只要XX2…,An() (A)有相同的数学期望B)有相同的方差 (C)服从同一指数分布(D)服从同一离散型分布 例3(2001年数学四考研试题十一题) 生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的, 假设每箱平均重50千克,标准差为5千克。若用最大载重量 为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可 装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977 (Φ(2)=0.977,其中Φ(x)是标准正态分布的分布函数)
例3 (2001年数学四考研试题十一题) 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的， 假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量 为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可 装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977. ( (2)=0.977，其中(x)是标准正态分布的分布函数) 例2 (2002年数学四考研试题) 设随机变量 相互独立， 则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时， 近似 服从正态分布，只要 ( ). (A)有相同的数学期望 (B) 有相同的方差 (C ) 服从同一指数分布 (D) 服从同一离散型分布 X1 ，X2 ，，Xn X1 ，X2 ，，Xn . 1 = = n i n Xi S n S