《复变函数》课程教学资源（讲义）第四章 复级数（4.1）复数项级数和幂级数

第四章复级数 用于研究函数性质和计算积分 §4.1复数项级数和幂级数 复数列 an}为复数列 tib 设a=a+ib, lim a=a定义为 VE>0,丑N,当n>M时 a<e 定理1man= ae lim a-a=0 定理2 lim a lim a =a.lim b=b 证:mnan=a分lman-a P lim v (a,-a)+(b,-b)2=0 6 lim a= a. lim b= b 复数项的无穷级数 +a,+…+a+ 命Sn=a1+a2+…+an(部分和),若 lim s=s 称级数∑an收敛于S,S为级数的和,记为 S 若lmSn不存在,称级数∑an发散

第四章 复级数 用于研究函数性质和计算积分 §4.1 复数项级数和幂级数 复数列  n  为复数列 n n n  = a + ib 设  = a + ib, lim  n = 定义为   0, N, 当n  N时  −   n 定理 1 lim =  lim − = 0 → →    n  n n n 定理 2 =  →  n  n limlim a a,lim b b. n n n n = = → → 证： lim =  lim − = 0 → →    n  n n n lim ( ) ( ) 0 2 2  − + − = → an a bn b n lim a a, lim b b. n n n n  = = → → 复数项的无穷级数  = + ++ +  = n n  n 1  2  1 命 Sn = 1 + 2 ++ n （部分和），若 Sn S n = → lim 称级数   n=1  n 收敛于 S，S 为级数的和，记为 n S n  =  =  1 。 若 n n S → lim 不存在，称级数   n=1  n 发散

若∑|an|(正项级数)收敛,称级数∑an绝对收敛。 判别法 定理3∑an=∑(an+ibn)收敛 an和∑b都收敛 必要条件 定理4∑an收敛→lm|an=0 定理5若级数绝对收敛,则原级数收敛。 证:∑an|=∑√a+b2收敛, 而{a≤Ga2+b2,|l≤a2+b2 有比较判别法,则 ∑|an和∑|bn收敛 故∑an和∑b收敛,由定理3知∑an收敛 例∑(+)的敛散性 解:∑发散,∑收敛 故∑(+)发散 例讨论 q"=1+q+q2+…+q"+…(q为复数) 的敛散性

若 | | 1   n=  n （正项级数）收敛，称级数   n=1  n 绝对收敛。 判别法 定理 3    =  = = + 1 1 ( ) n n n n n  a ib 收敛    n=1 n a 和   n=1 n b 都收敛。 必要条件 定理 4 lim | | 0 1  = →  =  n n n  n收敛  定理 5 若级数绝对收敛，则原级数收敛。 证：    =  = = + 1 2 2 1 | | n n n n  n a b 收敛， 而 2 2 an  an + bn ， 2 2 bn  an + bn 有比较判别法，则   =1 | | n an 和   =1 | | n bn 收敛。 故   n=1 n a 和   n=1 n b 收敛，由定理 3 知   n=1 n a 收敛。 例   = + 1 ) 2 1 ( n n i n 的敛散性。 解：   =1 1 n n 发散，   =1 2 1 n n 收敛， 故   = + 1 ) 2 1 ( n n i n 发散。 例 讨论 1 ( ) 2 0 q q q q n q为复数 n  n = + + ++ +  = 的敛散性。 解：

若1,则mlq"=lm|qg: 从而lmq 原级数发散 若q=1,则 lim 原级数发散 若q=1,q≠1,设q=e°,O≠2k(k∈Z) 因为e当n→∞时,即先不存在。所以 S q 无极限,原级数发散。 综上,当q0.3N p(自然数),有 复变函数项级数 Un()}复变函数列(定义在A上)构成级数

q q s q q n n n − − = + + + = − 1 1 1  1 若|q|1，则 = =  → → n n n n lim | q | lim | q | 从而 =  → n n lim q 。原级数发散。 若 q=1，则 = =  → → s n n n n lim lim 原级数发散。 若|q|=1, q  1，设 q e , 2k (k Z) i =      因为 e in 当n →时 ，即先不存在。所以   in n in n e e q q s − − = − − = 1 1 1 1 无极限，原级数发散。 综上，当|q|<1 时, q q n n − = → 1 1 lim , 当 | q | 1 时级数发散。 柯西准则 定理 6   n=1  n 收敛    0,N ，当 n  N 时 p (自然数)，有 + +   an+1  an+ p . 复变函数项级数 f n (z) 复变函数列（定义在 A 上）构成级数

∑fn(=)=f(-)+f2(=)+…+fn()+ 称为A上的复变函数项级数。 Sn(=)=f1(二-)+f2(=)+…+fn(2) 为级数的前n项和(部分和) ∈A,若 imSn(20)=S(=0) 称∑∫(-)在二0点收敛,=0为它的收敛点 ∑fn(z)所有收敛点构成的集合A(收敛点集,收敛域)AsA 在A上,S()=∑/n()有确定值,S()是A1上的函数,级数∑fn()为在A1上的和 函数 幂级数。 令f()=cn1(-a)1(m=12,3,…) 则∑cn(z-a)”=co+c1(x-a)+…+cn(z-a)”+ 为幂级数 Cn2=C0+c12 (2) 只需要研究(2),在(1)中令=z-a,得到(2)。 阿贝尔定理 若∑cn"在=20(=0≠0)处收敛,那么对满足|=|=01的z,绝对收敛,若在z 处发散,则对满足|=卜>=0|的z,该级数发散 证:∑cn=收敛→lcn-=0

 = + ++ +  = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 f z f z f z f z n n n 称为 A 上的复变函数项级数。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 S z f z f z f z n = + ++ n 为级数的前 n 项和（部分和） z0  A ，若 lim ( ) ( ) 0 0 S z S z n n = → 称   =1 ( ) n n f z 在 0 z 点收敛， 0 z 为它的收敛点。   =1 ( ) n n f z 所有收敛点构成的集合 A1 （收敛点集，收敛域） A1  A 在 A1 上，   = = 1 ( ) ( ) n n S z f z 有确定值， S(z) 是 A1 上的函数，级数   =1 ( ) n n f z 为在 A1 上的和 函数。 幂级数。 令 ( ) ( ) ( 1,2,3, ) 1 f n z = cn−1 z − a n− n =  则  − = + − ++ − +  = n n n n cn (z a) c c (z a) c (z a) 0 1 0 （1） 为幂级数 当 a =0 时 (2) 0 1 0  = + ++ +  = n n n n n c z c c z c z 只需要研究（2），在（1）中令  = z − a ，得到（2）。 阿贝尔定理 若   n=0 n n c z 在 ( 0) z = z0 z0  处收敛，那么对满足 | | | | 0 z  z 的 z，绝对收敛，若在 0 z = z 处发散，则对满足 | | | | 0 z  z 的 z，该级数发散。 证： lim 0 0 0 0  = →  =  n n n n n n c z 收敛 c z

彐M>0.Vn.有 Icn=o k cn="|= < 由于∑收敛,故∑Cn=”绝对收敛。 若∑cn=”发散,|1N0且在处级数收敛 则由上面的证明结果知在(0=1D2=0处收敛,矛盾。 收敛圆与收敛半径 Abel定理知,∑cn"的收敛情况为三种: (1)仅在=0处收敛。如∑n”= (2)在全平面上处处收敛,如、1-n (3)存在一点二0,在|z|二0|处收敛,在|z|0|时发散 令R=〓0|,则收敛域为圆域,称|二}=R为收敛圆,R为收敛半径 收敛半径求法 定理 若 (1)比值法lmF=x

M  0,n, 有 c z M n | n 0 | 当 | | | | 0 z  z 时, 1 0  z z n n n n n n z z c z c z 0 0 | |=  n n n n z z c z 0 0 =  n z z M 0  由于 n n z z   =0 0 收敛，故   n=0 n n C z 绝对收敛。 若   n=0 n n c z 发散， | | | | 1 0 z  z 且在 1 z 处级数收敛， 则由上面的证明结果知在 0 1 0 (| z || z |)z 处收敛，矛盾。 收敛圆与收敛半径 由 Abel 定理知，   n=0 n n c z 的收敛情况为三种： (1) 仅在 z=0 处收敛。如   n=0 n n n z (2) 在全平面上处处收敛，如   =0 1 n n n z n (3) 存在一点 0 z ，在 | | | | 0 z  z 处收敛，在 | | | | 0 z  z 时发散。 令 | | 0 R = z ，则收敛域为圆域，称 | z |= R 为收敛圆，R 为收敛半径。 收敛半径求法: 定理   n=0 n n c z ，若 (1) 比值法 =  + → n n n c c 1 lim

或(2)根值法 lim v/ l= 则收敛半径 (0<A<+∞) R={0(=+∞) (2=0) 证略 例 解:R=im|m=lm() 例 解:R=m|一m(+1 =+ n- Cn+ 例 解:R=lim =lim -=0 n 例∑2"(- 解:R=lm 2 收敛圆|-l 幂级数的运算 两个幂可进行加减乘除及复合运算,收敛半径不小于mn(R,R2) ∑an="|∑ (anB0+an1B1+…+a0Bn}

或(2) 根值法 =  → n n n lim c 则收敛半径 R=      +  = = +   + ( 0) 0 ( ) (0 ) 1     证略。 例   =1 1 n n n z n 解： ) 1. 1 lim | | lim ( 2 1 = + = = → + → n n c c R n n n n 例   =0 ! 1 n n z n 解： . ! ( 1)! lim | | lim 1 = + + = = → + → n n c c R n n n n 例   n=0 n n n z 解： 0. 1 lim 1 = lim = = → n → n R n n n n 例   = − 0 2 ( ) n n n z i 解： . 2 1 2 1 lim 1 = lim = = → n n→ n n n n c R 收敛圆 2 1 z − i = . 幂级数的运算 两个幂可进行加减乘除及复合运算，收敛半径不小于 min( , ) R1 R2 乘法 ( ) n n n n n n n n n n n  z  z  z  = −  =  =  = + + +            0 0 1 1 0 0 0         

B1|B2|B3:|B oBo aoB,,. aoBs a,polaiB,, B4a,Bs a2Boa2Ba2B2a2B3a2B4a2Bs Boas,a3B2 a,Bs Boa4Ba4B2,Bs asaspolasB,asB,, asBs 代换运算 1nkr时,f(m)=∑cn”,若n=g(=)在D内解析 且g(z)c(=-=0)=∑ n+1 证略

 0  1  2  3  4  5 …  0  0 0  01  0 2  0 3  0 4  0 5 … 1 1 0 11 1 2 1 3 1 4 1 5 …  2  2 0  21 2 2  2 3 2 4  2 5 …  3  3 0  31 3 2  3 3 3 4  3 5 …  4  4 0  41 4 2  4 3 4 4  4 5 …  5 5 0  51 5 2  5 3 5 4  5 5 … … … … …. … … 代换运算 | | r 时，   = = 0 ( ) n n n f  c  ，若  = g(z) 在 D 内解析 且|g(z)|<r，则   = = 0 [ ( )] [ ( )] n n n f g z c g z 性质：   = − 0 0 ( ) n n n c z z 的和函数 S(z) 在收敛圆内解析，且可逐项求导及逐项积分。即    = −  = = −  = − 1 1 0 0 0 ( ) [ ( ) ] ( ) n n n n n n S x c z z nc z z     = +  = − + = − = 0 1 0 0 0 ( ) 1 ( ) ( ) 0 0 n n n n z z n n z z z z n c S z dz c z z dz 证略