《复变函数》第二章 解析函数（2.1）可导的充要条件

第二章解析函数 复变函数论的主要研究对象,是一类具有某种特性的可微函数。 §2.1可导的充要条件 定义:w=f()在N,(二0)有定义, Vz=20+A∈N,(=0),(△≠0) f(二0+A-)-f(二0) 4204-Im 存在,则称f(-)在二点可导,其值为 f()在=点的导数。记作 f(=)或者cy 极限存在是指当沿任意方式→=时,都存在。 令f(二0)=A,又令 OsJ(0+A-)-f(=0) f(二0) 定义△w的线性主要部分AA为 则△w=f(=-0+△)-f(=-0)=A△+pA 当A→O时,p→0,因而ρA是比A更 高阶的无穷小 函数W=f()在二0的微分,记为dh,即 h=f(=0)A 当f(-)=z时,f(=a0)=1,c=△ 因此 dv=f(=o)= 由此可见,∫(=)在二。0点可导与在二0可微是等价的

第二章 解析函数 复变函数论的主要研究对象，是一类具有某种特性的可微函数。 §2.1 可导的充要条件 ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( 0) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim lim z z z z dz dw f z f z z f z z z f z z f z z w z z z z z w f z z N N =  →  →   +  − =    = +     = 或者 在 点的导数。记作 存在，则称 在 点可导，其值为 定义： 在 有定义，   . 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 高阶的无穷小 当 时， ，因而 是比 更 则 令 ，又令 极限存在是指当 沿任意方式 时，都存在。 z z z w f z z f z A z z f z z f z z f z f z A z z  → →    = +  − =  +  −   +  − =  = →     定义 w 的线性主要部分 Az 为 函数 w = f (z) 在 0 z 的微分，记为 dw ，即 dw = f (z )z 0 当 f (z) = z 时， f (z0 ) =1， dz = z ， 因此 dw f (z )dz 0 =  dz dw f (z0 ) = 由此可见， f (z) 在 0 z 点可导与在 0 z 可微是等价的

举例:求函数f()=z",(n=1,2,…的导数 解m==1imn(=+A- △=→0 A: A-30 lim nz n(n-1) △+…+(△=) 即(z")=n·z 容易证明,若f()=C,则f(二)=0 举例:f(二)=三在平面上处处不可微。 证明:f()=x-p在平面上处处连续 △二+Ax-2△ 当△沿实轴→附,N→1极限不存在。 当Δ沿虚轴→O时,→-1 f()=三在平面上处处连续,但处处不可微 在实函数中,要造这样一个例子,非常困难 求导法则,(与一元实函数相同) 设f()和g(二)在区域D内可导,则有 I·[()±g(-)= 2[(=)g)=()g()+f()g() c.f()=c,f() 3当g(-) f(=)|=C(=),g(=)-f(=):8(=) 4(复合函数求导法则)设函数w=f()和 5=g(二)分别在区域D和G内可导,DcG, 则复合函数w=/g()在D内可导,且 =f()·g(=) 5(反函数求导法则)设=f(-)在区域D内 可导,f(二)≠0,w=f()为D到E的一一对应, 则反函数:=Mm)在E内可导,且h(m)=1

( ) ( ) 0 ( ) 2 ( 1) ( ) ( ) ,( 1,2, ) 1 1 1 2 1 0 0 0 lim lim lim   =  =  =         + +  −  + =  +  − =   = = = − − − − −  →  →  → f z C f z z n z n z z z z n n n z z z z z w f z n n n n n n n z n n z z n z z 容易证明，若 ，则 即 （ ） 解： 举例： 求函数 的导数。   极限不存在。 当 沿虚轴 时， 当 沿实轴 时， 证明： 在 平面上处处连续， 举例： 在 平面上处处不可微。 z f z f z z f z z z z z z z z f f z x iy z f z z z        → −    → →    →   =  +  − =   = − = 0 1 0 1 ( ) ( ) 设 和 在区域 内可导，则有 求导法则，（与一元实函数相同） 在实函数中，要造这样一个例子，非常困难。 在 平面上处处连续，但处处不可微。 f z g z D f z z z ( ) ( ) ( ) =           ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' * 2 5 4 3 2 1 f z z h w E h w f z w f z D E w f z D f g z dz dw w f g z D g z D G D G w f g z f z g z f z g z g z f z g z C f z C f z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z = =  = = =    = =  =   −   =          =     =   +     =      则反函数 在 内可导，且 ‘ 可导， ， 为 到 的一一对应， 反函数求导法则）设 在区域 内 则复合函数 在 内可导，且 分别在区域 和 内可导， ， 复合函数求导法则）设函数 和 当 时        

举例:f()=(3 )2,则 f(二)=113 5)·(3=-4=+5 l(3z2-42+5)°·( 举例:f( f(二) (由商的导数公式) 柯西一黎曼(C-R)条件 处处连续,u=x,v=-y,对x和y有任意阶 偏导且连续,但γ=三却处处不可导。 讨论:f()=+,可导,l,v应满足什么 条件? 若f(二)=u+在一点z=x+p可导,设 f(二+△)-f(-) lim f∫(二) →0 又设 f(二+A-)-f(-)=△a+i△v 其中△M=u(x+△x,y+△y)-u(x,y) △v=v(x+△x,y+△y)-v(x,y) 则(1)式变为

2 10 2 10 2 10 2 ' 2 11 22(3 2)(3 4 5) 11(3 4 5) (6 4) ( ) 11(3 4 5) (3 4 5) ( ) (3 4 5) , = − − + = − +  − = − +  − + = − + z z z z z z f z z z z z f z z z ’ 举例： 则 由商的导数公式） 举例： ( 1 ( ) ( ) ( 1,2, ) 1 2 1 ' ' − − − = − −  =      = = = n n n n n nz z nz z f z f z z n  偏导且连续，但 却处处不可导。 处处连续， 对 和 有任意阶 柯西 黎曼（ ）条件 w z u x v y x y w f z z x iy C R = = = − = = = − − − , , ( ) . . 则 式变为 其中 又设 若 在一点 可导，设 条件？ 讨论： ，可导， 应满足什么 (1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( ) ( ) , ( ) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) , ' 0 lim v v x x y y v x y u u x x y y u x y z x i y f z z f z u i v f z z f z z f z f z u iv z x iy f z u iv u v z  = +  +  −  = +  +  −  =  +  +  − =  +  =  +  − = + = + = +  →

△t+i△y m =f()(2 △=△x+i△y,无论按什么方向→0, (2)总成立。 先令Ay=0,△x≠0,则(2)式变为 av lim+ilim=f(=)(3) 即 (由(3)知,一和一肯定存在) 再令Ax=0,4y≠0,则(2)式变为 ilim+lim=f'()(5) ay △y→0 ay 即-1+=f()(6) 比较(4)6)式,得 au av au av (C.-R.) C.-R.条件是复函数在一点可导的必要条件 定理1f()=u+p在区域D内一点(x,y)可导的充要条件为u,分别在点(x,y)可 微,并且在该点满足C-R方程(条件) 证明:必要性设∫(=)在D内一点 z=x+p可微。则 ()=f(=)A+mA 7=n1+in2>0, 当Az→0时,令 f(=)=a+iB,△=Ax+i△y, (-)=△a+i△v

( . .) (4)(6) ( ) (6) ( ) (5) 0, 0,, (2) ( (3) ( ) ( ) (3) 0, 0, (2) (2) , 0 ( ) (2) lim lim lim lim lim 0 0 0 0 ' 0 0 C R x v y u y v x u f z y v y u i f z y v y u i x y x v x u f z x v i x u f z x v i x u y x z x i y f z x i y u i v y y z z y z −   = −     =   =    +   − =    +   −  =       =    +   =    +    =    =  +  → =  +   +   →  →  →  →  →  → ， 比较 式，得 即 再令 则 式变为 由 知， 和 肯定存在） 即 先令 则 式变为 总成立。 无论按什么方向 ， C.-R.条件是复函数在一点可导的必要条件. 定理 1 f (z) = u + iv 在区域 D 内一点 (x, y) 可导的充要条件为 u, v 分别在点 (x, y) 可 微，并且在该点满足 C-R 方程（条件）。 证明：必要性 设 f (z) 在 D 内一点 ( ) , ( ) , , 0 0, ( ) ( ) , . 1 2 f z u i v f z i z x i y z i f z f z z z z x iy  =  +   = +  =  +   → = + →  =   +  = +       当 时，令 可微。则

充分性若u,v在(xy)点可微, 则 △=Ax+u,Ay+p1 v Ay+p 其中p和p2是p=√△x2+Ay2 的高阶无穷小由C-R条件 设 a=l2=v,-B=l,=-v 则 (aAr- pAy+P1)+(BAr+aAy+p2) =(a+iB)(A+iAy)+P1+p2 则 或 △t+i△v = aAr- BAy+i(BAr+aAy)+P,+i iB 这里p1=Re(nA),P2=Im(nA) 由 P1+1p2= BAy+P, Ay√△x2+Ay2 △v=BAx+ay+p2 由二元函数的微分定义,知l,y在(xy 1|+|p2 点可微。且 D→>0(A→0) x=a=",uy=-B=-:(C-R条件) 所以lim,=a+B y→0 推论1若函数f()在点二=x+p 可导,则 au av av au f(二)=-+i--= 推论2若函数f(z)在点=x+y 可导,则它在该点连续 证明:f()=u+在点(x,y) 可导,则u,在(x,y)可微, 从而u,V在(x,y)连续, 即f()在(x,y)连续

条件） 点可微。且 由二元函数的微分定义，知 在 由 这里 则 u v u v C R u v x y v x y u x y z z x y i x y i u i v x = = y y = − = − x −  =  +  +  =  −  + =  =  =  −  +  +  + +  +  , ( , ( . ) Re( ), Im( ) ( ) 2 1 1 2 1 2                   0 ( 0) ( )( ) ( ) ( ) , , ( . ) 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 →  → +   +  + =  +  +  +  + = + +   = +  +  + + =  −  + +  +  +  =  +  = = − = = − − =  +   =  +  +  =  +  + z x y i x i y i x i y i i z f i x i y x y i x y f u i v C R x y v x y u x y u v x y u v u v v v u u x y y x x y x y                             或 则 设 的高阶无穷小 由 条件， 其中 和 是 则 充分性 若 在 点可微， 即 在（ ， ）连续。 从而 在（ ， ）连续， 可导，则 在（ ， ）可微， 证明： 在点（ ， ） 可导，则它在该点连续 推论 若函数 在点 可导，则 推论 若函数 在点 所以 f z x y u v x y u v x y f z u iv x y f z z x iy y u i y v x v i x u f z f z z x iy i z f y ( ) , , ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) ' 0 lim = + = +   −   =   +   = = + = +   →   

举例:讨论()=的可微性。 解:f(=) u(x, y) v(x,y)≡0, 故 2 2 这四个偏导数在z平面上处处连续, 但只在z=0处满足C-R条件, 故f()只在z=0可微 举例:求f(二)=x2-p在哪些 可导 解:u(x,y)=x2,v(x 故 得x=-,故仅在直线x=-上 满足C-R条件,且偏导数连续 从而仅在x=-时,f()可导。 举例:研究/()=√在 处的可导性。 解:(x,y)=√xy(x,y)=0故 u,(0,0)=lim l(△x,O)-(0,0) 4,(0.)=lin(0.4y)-(09=0 (0,0)=v,(00)=0 f()=√x在=0处满足C-R方程。 但当A=Ax+iAx→0时, 有Ax→0 f(A=)-f(0) Ax·k·△x 1+i 其极限值随着k而变化,∫(0)不存在。 由此可见,不能只验证C-R条件, 而不验证u(x,y),(x,y的可微性。 就判断f(=)可导

故 只在 可微。 但只在 处满足 条件， 这四个偏导数在 平面上处处连续， 故 解： 举例： 讨论 的可微性。 ( ) 0 0 2 , 2 , 0 ( , ) , ( , ) 0, ( ) , ( ) 2 2 2 2 2 2 = = − = = = = = +  = = + = f z z z C R z u x u y v v u x y x y v x y f z z x y f z z x y x y 从而仅在 时， 可导。 满足 条件，且偏导数连续， 得 故仅在直线 上 解： 故 点可导。 举例： 求 在哪些 ( ) 2 1 2 1 , 2 1 2 1, 0 0 ( , ) , ( , ) , ( ) 2 2 x f z C R x x u x v u v u x y x v x y y f z x iy x y y y = − − = − = − = = = − = = − = = = − = − 就判断 可导。 而不验证 ， 的可微性。 由此可见，不能只验证 条件， 其极限值随着 而变化， 不存在。 有 但当 时， 在 处满足 方程。 解： 故 处的可导性。 举例：研究 在 ‘ ( ) ( , ) ( , ) (0) 1 ( ) (0) 0 0 ( ) 0 (0,0) (0,0) 0 0 (0, ) (0,0) (0,0) 0 ( ,0) (0,0) (0,0) ( , ) , ( , ) 0, ( ) 0 ' ' 0 ' 0 ' lim lim f z u x y v x y C R k f ik k x ik x x k x z f z f x z x ik x f z x y z C R v v y u y u u x u x u u u x y x y v x y f z x y z x y y y x x − +  →  +      =   −  →  =  +  → = = − = = =   − = =   − = = = = = → →  