《复变函数》课程教学资源（讲义）第三章 复积分（3.3）高阶导数公式

§3.3高阶导数公式 D=D+I,∫()在闭域D上解析。 D 计算[( 作圆周C。15-二0|=P位于D内, ()=(((复闭路定理) f∫(=) (假设lim与|可换) lim f() (由于∫(2)于D内连续) 2myf(二0)

§3.3 高阶导数公式 D = D + , f ( ) 在闭域 D 上解析。  D 计算  −    d z f 0 ( ) 作圆周 C :|  − z0 |=  位于 D 内，  0 z C 则   − =  −        C d z f d z f 0 0 ( ) ( ) （复闭路定理）   − =  − →         C d z f d z f 0 0 0 ( ) lim ( ) （假设 lim 与  可换）  − = →      C d z f 0 0 lim ( ) （由于 f ( ) 于 D 内连续）  − =   C  d z f z 0 0 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 0 0 if z d z f z C     = − = 

推测 f() d=2mf(二0) 定理(柯西积分公式) D是以简单闭路或复闭路r为边界的有界区 域,f(=)在D上解析,则z。∈D,有 d=2myf(=0) 证:因∫()在D内连续,故vE>0,3>0, 只要|--0Fp<6时,有 l∫()-f(-=0)k E 于 d5-2mf(=0) d f(二0) f()-f(=0) f(<)-f(=0 8 1 2 E 2丌 即lim f() (=0 dc= ln 2mf(=0) 当z在D内变动时, f() fo

推测  = − 2 ( ) ( ) 0 0 d if z z f     定理（柯西积分公式） D 是以简单闭路或复闭路  为边界的有界区 域， f ( ) 在 D 上解析，则 ,  z0  D 有 2 ( ) ( ) 0 0 d if z z f     = −  证：因 ( )   0,  0,   f  在D内连续，故  只要  − =     | | 0 z 时，有    2 | ( ) ( ) | f − f z0  由于 2 ( ) | ( ) | | | 0 0 0  − = −   −     z d if z z f | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | | 0 0 | | | | 0 0 0 0 0 0    − = − = − = − − = − − − =               z z z d z f f z d z f z d z f                  =  =   − −    − = − = 2 2 | | 1 2 | | | | | ( ) ( ) | | | | | 0 0 0 0 z z d d z f f z 即 →  − = =    −     | | 0 0 0 0 2 ( ) ( ) lim z d if z z f 2 ( ) ( ) lim ( ) 0 | | 0 0 0 0 if z d z f d z f z           = − = −  →  − = 当 z 在 D 内变动时， ( ) (*) ( ) 2 1 d f z z f i = −     

当为圆周|2-二0=R时,参数方程为 5=0+Re",(0≤0≤2x),代入(*)得 (3)=+Re"Mo 若用此公式来求解,则计算量太大。 例计算 解sn二在|二k1上解析 2nisin o=0 例计算 1(2=+1)(z-2 iL- 由于f() 在闭圆|≤1上解析 例计算/-14- 解(1)I [],=2mi 则解法是错误的

当为圆周 |  − z0 |= R 时，参数方程为 Re ,(0 2 )  0    = +   i z ，代入（*）得  = +     2 0 0 0 ( Re ) 2 1 f (z ) f z d i 若用此公式来求解，则计算量太大。 例 计算 | |=1 sin z dz z z 解 sin z 在 | z | 1 上解析， 2 sin 0 0 sin sin | | 1 | | 1 = = =  =  = i dz d z z z z     例 计算  = + − = | | 1 (2 1)( 2) z dz z z z I 解  = − − − = | | 1 2 1 ( ) 2( 2) z dz z z z I i z z z i 5 ] 2( 2) 2 [ 2 1   = − = − = 由于 2( 2) ( ) − = z z f z 在闭圆 | z | 1 上解析。 例 计算  = − = 2 3 | | ( 1) 1 z dz z z I 解（1）  = − = 2 3 | | 1 ( 1) z z dz z I i z i z  2 1 2 [ ] 1 = = = 则解法是错误的

(2)正确解法 d- dz =2m-2m=0 高阶导数公式 由f(=)= f() 得f(=) f(dcy 2mir4-s (假设求导和积分可换) 2m/(1 5 继续求导,得 f"(=)=m〔f(5) d 定理设D是由r(简单闭路或复闭路)围成 的有界区域,f(=)在D上处处解析, 则f(二)在D内有各阶导数,且 f("(z) n!r f(s) 2m(-) nd5(z∈D) 证:用数学归纳法 n=1时,由柯西积分公式 f(=)=一 2m Jr c f(=+A)= ∫() dc 2mhg-(二+A-)

（2）正确解法 2 2 0 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 2 3 2 3 2 3 2 3 | | | | | | | | = − = − −       − − = −     = = = = i i dz z dz z dz z z dz z z z z z z   高阶导数公式 由  − =     d z f i f z ( ) 2 1 ( ) 得 ] ( ) 2 1 ( ) [  −  =      d z f i f z （假设求导和积分可换）     − =  − =          d z f i d z f i 2 ( ) ( ) 2 1 ] 1 ( ) [ 2 1 继续求导，得  + − =     d z f i n f z n n 1 ( ) ( ) ( ) 2 ! ( ) 定理 设 D 是由  （简单闭路或复闭路）围成 的有界区域， f (z)在D 上处处解析， 则 f (z)在D 内有各阶导数，且  +  − = ( ) ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 ( ) d z D z f i n f z n n     证：用数学归纳法 n=1 时，由柯西积分公式，  − =     d z f i f z ( ) 2 1 ( )  − +  +  =     d z z f i f z z ( ) ( ) 2 1 ( )

f(=+△-)-f(=) f() d △22m-(z+△ 2m5-z f() d 要证 ∫() ()d 2i △/(2) 2m1(-x-A)2-z) 设在r上f()M(为有界闭曲线),d是 到上各点的最短距离,设△2,L为厂的长 5--d>0,|5-z-5-2|-|4x号 ∫(0) 可知n=1时成立 设n=k时成立,证明n=k+1时也成立,方法同n=1 时,较复杂些,不重复写 论 ∫(=)在〓解析→∫(=)在=任意阶可导,且解析 例:求

] ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 [ 1 ( ) ( )   − −  − +  =  +  −         d z f i d z z f z i z f z z f z  − −  − =      d z z z f i ( )( ) ( ) 2 1 要证 ( 0) | 0 ( )( ) ( ) 2 1 | | ( ) ( ) 2 1 ( )( ) ( ) 2 1 | 2 2  → → − −  −  = − − − −  −       z d z z z zf i d z f i d z z z f i 当               设在  上 | f ( ) | M （  为有界闭曲线）， d 是 z 到  上各点的最短距离，设 2 d z  ， L 为  的长 度，则 2 | | 0, | | | | | | d  − z  d   − z − z   − z − z  0 ( 0) 2 | | | | | ( ) | | | | | | ( ) | 2 1 | ( )( ) ( ) 2 1 | | ( ) ( ) 2 1 ( )( ) ( ) 2 1 | 2 2 2 2 2 →  →    = − +   −    − −  −  = − − − −  −         z d z ML d z z z z f d z z z zf i d z f i d z z z f i d                     可知 n=1 时成立。 设 n=k 时成立，证明 n=k+1 时也成立,方法同 n=1 时,较复杂些，不重复写。 推论： f (z)在z0解析 f (z)在z0任意阶可导，且解析。 例：求 | − |=1 − 3 ( ) cos z i dz z i z

解:cosz在|z-i1上处处解析,故 dz -Ti cos= =-n COS I (或者 例:计算Ⅰ= dz 2mz(1 其中r为一简单闭路,0,1均在的内部 dc= dz 2m1h(1-=) (C、在C及C内解析) (1-2) 21

解： cosz在| z −i |1上处处解析，故 z i z i dz z i z z i = =  −  − = (cos ) 2! 2 ( ) cos | | 1 3  ( 1) 2 cos cos 1 ich e e i i i z i i z     = − + = − = − = = − − 或者 例：计算  − = dz z z e i I z 3 2 (1 ) 1  其中  为一简单闭路，0，1 均在  的内部。 解：  C0 C1 [ ] 2 1 0 1   = + C C i I  ) (1 ) ( 1 (1 ) 0 2 0 1 2 (1 ) 1 3 0 0 3 (1 ) 3 0 3 在C 及C 内解析 z e z z e dz i z dz z z e i z z C z e z z − = − = = − = −   −    2 1 2 1 2 ( 1) 2! 2 1 2 (1 ) 1 1 1 3 3 e z z e dz z z e i dz z z e i z C z C z = − =          = − − = −  −    

调和函数 f(=)=u(x,y)+ⅳ(x,y)在区域D内解析,则 auauau av aax(CR方程) 对各式再分别对x,y求偏导,得 a2u av au a ax- ayax ay au av au a2v axay ay ayax ax 若g(x,y)在D内有连续的二阶混合偏导,则 a g 故从上面四个等式,则有 a2u at 定义设φ(x,y)在D内有二阶连续偏导,且满足 c90(me程) 则称为D内的调和函数。 定义若l(x,y),v(x,y)均为区域D内的调和 函数,且满足C.-R.方程 au au au 则称ⅴ是u的共轭调和函数 定理f(二)=l(x,y)+m(x,y)在区域D内解 析,则v是l的共轭调和函数 问题:u,v为D内两个调和函数,则l+i是否 为解析函数?

故 2 [ ] 1 2 1 0 1 e i I C C = + = −    调和函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在区域 D 内解析，则 x v y u y u x u   = −     =   , (C. -R. 方程) 对各式再分别对 x, y 求偏导，得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , x v y x u y v x y u x y v y u y x v x u   = −      =       = −      =   若 g(x, y) 在 D 内有连续的二阶混合偏导，则 y x g x y g    =    2 2 故从上面四个等式，则有 0, 0 2 2 2 2 2 2 2 2 =   +   =   +   y v x v y u x u 定义 设 (x, y) 在 D 内有二阶连续偏导，且满足 0 2 2 2 2 =   +   x y   （Laplace 方程） 则称  为 D 内的调和函数。 定义 若 u(x, y) , v(x, y) 均为区域 D 内的调和 函数，且满足 C. -R. 方程 x v y u y u x u   = −     =   , 则称 v 是 u 的共轭调和函数。 定理 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在区域 D 内解 析，则 v 是 u 的共轭调和函数。 问题： u, v 为 D 内两个调和函数, 则 u + iv 是否 为解析函数？

要u+ⅳ在区域D内解析,uv满足C-R.方程, v必须是的共轭调和函数 因此 知道→可求出v 知道γ→可求出u 设D单连域,u(x,y)是D内调和函数,则 Cx ax a 则--dx+d是全微分 令dhv(x,y) dh w(x, y) P(x,y) o(x, y) 则v(x,y) dx+dy+C 取定(x0,y)∈D,两边对x,y求偏 (C-R方程) 二阶偏导连续→一阶偏导连续→u,v可 微,f(=)=u+ⅳ解析 定理a(x,y)是单连域D内调和函数,则存在 v(x,y),使∫(z)=l+p在D内解析。 v(x,y)求法(公式)

要 u + iv 在区域 D 内解析， u, v 满足 C-R.方程， v 必须是 u 的共轭调和函数。 因此 v u u v 知道 可求出 知道 可求出   设 D 单连域, u(x, y) 是 D 内调和函数，则 0 2 2 2 2 =   +   y u x u ( ) ( ) y u x y u x   −   =     ( x u Q x y   ( , ) = , y u P x y   ( , ) = − ) 则 dy x u dx y u   +   − 是全微分。 令 dy x u dx y u dv x y   +   ( , ) = − w(x, y) P(x, y) Q(x, y) 则  +   +   = − ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) x y x y dy C x u dx y u v x y 取定 (x0 , y0 ) D ，两边对 x, y 求偏导。 , (C R方程) x u y v y u x v −   =     = −   二阶偏导连续  一阶偏导连续  u, v 可 微， f (z) = u + iv 解析。 定理 u(x, y) 是单连域 D 内调和函数，则存在 v(x, y) ，使 f (z) = u + iv 在 D 内解析。 v(x, y) 求法（公式）

dv(x, y)=v, dx+v, dy C.-R. -u, dx+udy 同样已知v(x,y),求l(x,y) du(x, y)=u, dx +u, dy C-r v dx+(-v )d x,y) u(x,y)= v, dx-v dy+C 例:验证(x,y)=x3-3xy2在二平面上调和, 求以l(x,y)为实部的解析函数f(=)且f(0)= 解a a-u ay2 6x-6x=0 故u(x,y)在二平面调和 v x,y)= dx+dy+C 6xydx+(3x -3y)dy+C 6x.0dx+(3x2-3y2)0(y=0) 6xp:,0+(3x2-3y2)d+C(x为常数) 3x y-y'+C f()=u+=x3-3xy2+i(3x2y-y3+C) =(x+)3+C +iC 由f(0)=1,得C=1,故f()=z3+l。 例:验证v(x,y)= arctan2是在右半平面 (x>0)内的调和函数,求以此为虚部的f(=) y (x>0)

dv x y v dx v dy C R u dx u dy = x + y − − y + x ( , ) . . 同样 已知 v(x, y), 求 u(x, y) .  = − + = + − + − ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) . ( , ) ( ) x y x y y x x y y x u x y v dx v dy C du x y u dx u dy C R v dx v dy 例：验证 3 2 u(x, y) = x − 3xy 在 z 平面上调和， 求以 u(x, y) 为实部的解析函数 f (z) 且 f (0) = i . 解： 6 6 0 2 2 2 2 = − =   +   x x y u x u 故 u(x, y) 在 z 平面调和. x y y C x y dy C x y x y dy C x x dx x y y xydx x y dy C dy C x u dx y u v x y y x y x x x y x y = − + = − + +  + −  + =  + −  = = + − + +   +   = −      2 3 0 2 2 ( , ) ( ,0) 2 2 ( ,0) (0,0) 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 ( , ) (0,0) 3 (3 3 ) 6 0 (3 3 ) ( ) 6 0 (3 3 ) 0 ( 0) 6 (3 3 ) ( , ) 为常数 z iC x iy iC f z u iv x x y i x y y C = + = + + = + = − + − + 3 3 3 2 2 3 ( ) ( ) 3 (3 ) 由 f (0) = i ，得 C =1 ，故 f z = z + i 3 ( ) 。 例：验证 x y v(x, y) = arctan 是在右半平面 （ x  0 ）内的调和函数，求以此为虚部的 f (z). 解 ( 0) 1 2 2 2 2 2  + = − + − = x x y y x y x y vx

(x>0) 故vx+vy=0(x>0),v(x,y)在右半平 面内调和 用不同于上例中的方法求(x,y) u(x, y)=|u, dx+y()C-R v,dx+y(y) ∫.xt+v(y)=(x2+y)+0(y) 两端对y求导 y()=u C.-R. )=C. u(x,y)==In(x2+y2)+C f(=In(x2+y2)+C+arctan y In +arctan :+C 在右半平面内单值解析

( 0) 1 1 2 2 2 2  + = − + = y x y x x y x vy , ( ) 2 2 2 2 x y xy vxx + = − , ( ) 2 2 2 2 x y xy vyy + = ( x  0 ) 故 vxx + vyy = 0 ( x  0 )， v(x, y) 在右半平 面内调和。 用不同于上例中的方法求 u(x, y) . ln( ) ( ) 2 1 ( ) ( , ) ( ) ( ) 2 2 2 2 dx y x y y x y x u x y u dx y C R v dx y x y     + = + + + = = + − +    两端对 y 求导 uy y x y y +  = +  ( ) 2 2 1 2 2  x C. − R. − v = 2 2 x y y + u x y x y C y y C = + +  =  = ln( ) 2 1 ( , ) ( ) 0 ( ) . 2 2   故 ln . ln | | arctan ln( ) arctan 2 1 ( ) 2 2 z C z i z C x y f z x y C i = + = + + = + + + 在右半平面内单值解析