第三章多维随机变量及其分布 、多维随机变量的概念 定义3.1设Ω是随机试验E的样本空间,5,i=1,2,…,n 是定义在Ω上的n个随机变量。将其构成一个n维有序数组 5=(51,92…,5n 称为n维随机变量(或称n维随机向量),51称为的第个分量。 二、二维随机变量的分布函数 定义3.2 设(,η为二维随机变量,对任何实数x,y,二元函数 F(x,y)=P(≤x,m≤y) 称为,η)的联合分布函数,简称(ξ,n)的分布函数
第三章 多维随机变量及其分布 一、多维随机变量的概念 定义3.1 设Ω是随机试验E的样本空间， 是定义在Ω上的n个随机变量。将其构成一个n维有序数组 称为n维随机变量(或称n维随机向量)， 称为的第i个分量。 i ，i =1，2，，n i ( ). = 1 ， 2 ，， n 二、二维随机变量的分布函数 定义3.2 设(，)为二维随机变量，对任何实数x，y，二元函数 称为(，)的联合分布函数，简称(，)的分布函数。 F(x，y) = P( x， y)
<5sx,y< sy)=F(x, y2)-Fx, 22)-F(r, y)+F(r, y)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 P x x ，y y = F x ，y −F x，y −F x ，y + F x，y 1 x 2 x 1 y 2 y
(2,n)的联合分布函数F(x,y)的性质: F(x,y)关于x,y是不减的; 2.0≤F(x,y)≤1F(-∝,y)=F(x,-∞)=0,F(+∝,+∝)=1 3.F(x,y)关于x,y均右连续; 4.Vx, <x < 有 F(x2,y2)-F(x,y2)-F(x2,n1)+F(x,n1)≥0 三、二维离散型随机变量 定义33若二维随机变量(,η)的所有可能取值能表示成 (x,y),i,j=1,2…的形式,则称(,η)为二维离散型随机变 量,称P=P(5=x,7=y),1,j=12,…为ξ,m)的分布律或 概率分布(或称,n的联合分布律)
(，)的联合分布函数F(x，y)的性质： 1. F(x，y)关于x，y是不减的； 2. F( 0 F(x，y) 1， -，y)=F(x， -)=0，F(+ ， + )=1； 3. F(x，y)关于x，y均右连续； 4. ( 2 2 ) ( 1 2 ) ( 2 1 ) ( 1 1 ) 0 1 2 1 2 − − + F x y F x y F x y F x y x x y y ， ， ， ， ， ，有 三、二维离散型随机变量 若二维随机变量(，)的所有可能取值能表示成 的形式，则称(，)为二维离散型随机变 量，称 为(，)的分布律或 概率分布(或称，的联合分布律)。 (xi，y j )，i，j =1，2， pi j = P( = xi， = y j )，i，j =1，2， 定义3.3
(2,n分布律的表格表示 5|x1…x Vi p P 二维随机变量(,n的分布函数 ∑ X:sx <
j j i j i i y p p y p p x x 1 1 1 1 1 1 \ (，)分布律的表格表示 二维随机变量(，)的分布函数 = y y x x i j j i F(x，y) p
二维随机变量(,n)的分布律的性质 pn≥0; pi 1. 例1甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7。今各投 两次,用ξ,η分别记两人投中的次数。试求 1)ξ,η的联合分布律; 2)两人投中的次数相同的概率; 3)甲比乙投中的次数多的概率
二维随机变量(，)的分布律的性质 1. 2. 1. 0 1 1 = = i j= ij ij p p ； 例1 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7。今各投 两次，用，分别记两人投中的次数。试求： 1) ，的联合分布律； 2) 两人投中的次数相同的概率； 3) 甲比乙投中的次数多的概率
例2(2002年数学三考研试题十一题第1小题) 设随机变量U在区间[2,2]上服从均匀分布,随机变量 l,右U>-.Y=(1,若U≤1, 1,若U≤一1 X={ 1,若U>1. 试求X和Y的联合概率分布。 例3(2001年数学一考研试题十一题) 设某班车起点站上客数X服从参数为^(>0)的泊松分布,每 位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相 互独立。以Y表示在中途下车的人数,求: (1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率; (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布
例2 (2002年数学三考研试题十一题第1小题) 设随机变量U在区间[-2，2]上服从均匀分布，随机变量 试求X和Y的联合概率分布。 1 1. 1 1 1 1 1 1 − = − − − = U U Y U U X ， 若 ， 若 ， ｛ ， 若 ； ， 若 ， ｛ 例3 (2001年数学一考研试题十一题) 设某班车起点站上客数X服从参数为(>0)的泊松分布，每 位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1)，且中途下车与否相 互独立。以Y表示在中途下车的人数，求： (1) 在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； (2) 二维随机变量(X，Y)的概率分布
四、二维连续型随机变量 定义34设二维随机变量(,n)的分布函数是F(x,y),若 存在非负函数x,y),使对任何实数x,y,都有 F(x, y) fuu, v)dudu 则称,η)是连续型随机变量,称x,y)是(ξ,n的概率 密度(密度函数),或称与η的联合概率密度。 概率密度fx,y)的性质 f(x,y)≥0 + f(x, y)dxdy 3.设D是平面的一个区域,点(,m)落在区域D的概率 P(5,m)∈D)=f(x,y)bx
四、二维连续型随机变量 定义3.4 设二维随机变量(，)的分布函数是F(x，y)，若 存在非负函数f(x，y)，使对任何实数x，y，都有 则称(，)是连续型随机变量，称f(x，y)是(，)的概率 密度(密度函数)，或称与的联合概率密度。 −− = x y F(x，y) f (u，v)dudv 概率密度f(x，y)的性质 1. 2. 3. (( ) ) ( ) . D ( ) ( ) 1 ( ) 0 = = + − + − D P D f x y dxdy D f x y dxdy f x y ， ， 设 是平面的一个区域，点 ， 落在区域 的概率 ， ， ；
例4.已知二维随机变量(ξ,n)的密度函数为 f(x,y)={ (6-x-y)/8,0<x<2,2<y<4 其它 1)设D={(x,y)|x+y<3}。求P(ξ,η∈D; 2)求(,n)的分布函数。 思考题(2003年数学一考研试题填空题) 设二维随机变量(,m)的密度函数为 f(x,y)={ 6x,0≤x≤y≤1; 其 求:P(2+m≤1
例4. 已知二维随机变量(，)的密度函数为 1) 设D={(x，y)｜x+y<3}。求P((，)D); 2) 求(，)的分布函数。 0 . (6 )/ 8 0 2 2 4 ( ) ， 其它 ， ， ； ， ｛ − − = x y x y f x y 思考题(2003年数学一考研试题填空题) 设二维随机变量(，)的密度函数为 ( 1). 0 . 6 0 1 ( ) + = P x x y f x y 求： ， 其它 ， ； ， ｛
二维均匀分布 设D是平面上有界区域,其面积为A。若(,η)的概率密 度为 f(x,y)={ 1/A,若(x,y)∈D 0, 其它 则称,n)服从区域D上的均匀分布
二维均匀分布 设D是平面上有界区域，其面积为A。若(，)的概率密 度为 则称(，)服从区域D上的均匀分布。 0 . 1/ ( ) ( ) ， 其它 ， 若 ， ； ， ｛ A x y D f x y =
维正态分布 设(,n)的概率密度为 f(x, y) e{--1 2za2√1-p 2(1-p2) (x-1)(y-2)(y-2)1 则称,η)服从参数为A,2,o1,2,P的正态分布,记为 (5,m)N(4,2,ai,02,p) 五、边缘分布 定义3.5设(,η)的分布函数为F(x,Y),称的分布函数F(x) 为(,n)关于的边缘分布函数,称n的分布函数F(y为(2,m 关于n的边缘分布函数
二维正态分布 设(，)的概率密度为 则称(，)服从参数为 的正态分布，记为 ， ， ， ， ， ]} 0 0 1 ( )( ) ( ) 2 ( ) *[ 2(1 ) 1 exp{ 2 1 1 ( ) 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 − + − − − − − − − = x y y x f x y 1，2，1， 2， ( ) ( ). 2 2 2 ， ～N 1 ，2 ，1 ， ， 五、边缘分布 定义3.5 设(，)的分布函数为F(x，Y)，称的分布函数 为(，)关于的边缘分布函数，称的分布函数 为(，) 关于的边缘分布函数。 F (x) F ( y)