第二节复平面上的曲线 与区域 复平面上的曲线方程 直角坐标方程和参数方两与种形式 C F(x,y)=0 (二+2) (二-2) 代入得 2 2+2Z F(x,y)=FO 0 22 复数方程 或F(Rez,Imz)=0 直线x=1可写成 z+z=2或Rez=1 J=1可 写成 z-2=2i或Imz=1 x-y=0可写成 (+2i-(2-2=0E Rez=Imz
第二节 复平面上的曲线 与区域 复平面上的曲线方程 直角坐标方程和参数方程两种形式 平面曲线 C : F(x, y) = 0 由 i z z y z z x 2 ( ) 2 ( ) − = + = 代入得 复数方程 或 = = + − = (Re ,Im ) 0 ) 0 2 , 2 ( , ) ( F z z i z z z z F x y F z z i z z z z x y z z i z y z z z x ( ) ( ) 0 Re Im 0 2 Im 1 1 2 Re 1 1 + − − = = − = − = = = + = = = 或 可写成 或 可写成 或 直线 可写成
连接z1及z2两点的线段的参数方程为 z1+(z2-z1)(0≤t≤1) 过z1及z2两点的直线的参数方程 +(z2-z1)(-∞≤t≤+∞) 由此z1,2,z3共线的充要条件为 23-21=t(t为非零实数) 22-2 利用距离公式,以z0为圆心,以R为半径 的圆周方程为 二0 R 参数方程为 2=20+ r(cost+isin) 或 z=zo+ ke (0≤t≤2z)
(0 2 ) (cos sin ) , , ( ) ( ) ( ) (0 1) 0 0 0 0 2 1 3 1 1 2 3 1 2. 1 1 2 1 2. 1 1 2 = + = + + − = = − − = + − − + = + − z R t z R t i t z R R t t z t t z t t z e z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 或 it 参数方程为 的圆周方程为 利用距离公式，以 为圆心，以 为半径 （ 为非零实数） 由此 共线的充要条件为 过 及 两点的直线的参数方程 连接 及 两点的线段的参数方程为
一般圆周方程r A(x+y)+Bx+Cy+D=0 (B2+C2>4AD,A≠0 用x z+2 xty 2 代入得 A·z·z+B (z+2)+C-2i (二-2) +D=0 令B B+ci 上式化为 r:A·z·2+B·z+B·2+D 复平面上圆周T的一般方程) 其中A,D为实常数,B为复数,且 AD.A≠0 A=0,T为直线,则 B·z+B·2+D=0 为复平面上直线的一般方程
为复平面上直线的一般方程 为直线，则 其中 ， 为实常数， 为复数，且 复平面上圆周 的一般方程） 令 上式化为 代入得 用 一般圆周方程 0 0, , 0 : 0 , 2 0 2 ( ) 2 ( ) , 2 , 2 ( 4 , 0) ( ) 0 : 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = = + + + = + = + = − + + + + = = − = + = + + + + + = z z D A AD A A D T A z z z z D B Ci D i z z C z z A z z B x y z z z i z z y z z x B C AD A A x y Bx Cy D
举例将直线方程3X+y=2化为复数表达式 解:将x z+2 代入,得 2 (1+3i)z+(-1+3)2=4i 即(-3+)2+(-3-1)2+4=0 举例指出方程z=(1+)n+am(t>0,a∈R) 表示什么曲线 解;z=t+(+a)i,得 →y=x+a直线 y=t+a 简单曲线 C:z=x(t)+jv(t)=x(1)实函数(≤t≤B x(),y(1)在,B上连续,则称C为连续曲线 无重点的连续曲线称为简单曲线或者若业 ( Jordan)线 若简单曲线C满足z(a)=(6),则称C为简单 闭曲线或若当闭曲线
3 ) 3 ) 4 0 1 3 ) 1 3 ) 4 , 2 , 2 : 3 2 − + + − − + = + + − + = − = + = + = i z i z i z i z i i z z y z z x x y 即（ （ （ （ 解 将 代入，得 举例 将直线方程 化为复数表达式 = + = + = = + + = + + 直线 解； 得 表示什么曲线 举例 指出方程 y x y t x t z t t i z i t i t R ( ) , (1 ) ( 0, ) 闭曲线或若当闭曲线。 若简单曲线 满足 ，则称 为简单 （ 曲线 无重点的连续曲线称为简单曲线或者若当 在 ， 上连续，则称 为连续曲线 实函数 （ 简单曲线 C z z C x t y t C C z x t iy t z t t ( ) ( ) Jordan ) ( ), ( ) : ( ) ( ) ( ) ) = = + =
若x(,y(,在区间,上连续,在 z(t)=x(t)+iy(1)≠0, 则称C为光滑曲线。 光滑曲线具有连续转动的切线(切向量 在z(1)又有限条光滑曲线所连成的一条 曲线称为逐段光滑的曲线。 邻域 N(=0)={z=|=--0<}称为点=的 个邻域,若不含〓点,称为空心邻域。 E为复平面C上的点集,z0∈E, 若彐N。(=0)∈E,则称=0为E的内点。 若z的任意一个邻域内都有E的点也 有不属于E的点。则称z为E的边界点。 E的所有边界点所组成的集合记为B(E), 称为E的边界 若集合P的每个点都是它的内点。则P为 开集
曲线称为逐段光滑的曲线。 在 又有限条光滑曲线所连成的一条 光滑曲线具有连续转动的切线（切向量 则称 为光滑曲线。 若 在区间 ， 上连续，在 ( )) ( ) ( ) ( ) 0, ( ), ( ), z t C z t x t i y t x t y t = + 若 ，则称 为 的内点。 为复平面 上的点集， ， 一个邻域，若不含 点，称为空心邻域。 称为点 的 邻域 N z E z E E C z E z N z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) { } = = − 开集。 若集合 的每个点都是它的内点。则 为 称为 的边界。 的所有边界点所组成的集合记为 ， 有不属于 的点。则称 为 的边界点。 若 的任意一个邻域内都有 的点也 P P E E B E E z E z E ( ) 1 1
定义:DcC,称D为区域 (1)D是开集 (2)D是连通的(D中任意两点都可以用 一条全属于D的折线连接起来) D为区域 D=D∪B(D) 称为闭区域(闭域) 圆形区域-0 下半平面Imz0 DcC若彐一个圆域G2<R,使 DcG,则称D为有界区域(有界域) 否则为无界域
一条全属于 的折线连接起来） （ 是连通的（ 中任意两点都可以用 （ 是开集。 定义 ，称 为区域 D D D D D C D 2) 1) : 称为闭区域（闭域） （ ） 为区域 D D B D D = arg( ) 1 Im 2 z r z R y z y z R z R 扇型区域 区域均为开集，不含边界。 圆环型区域 带形区域 圆形闭域 圆形区域 Re 0 Re 0 Im 0 Im 0 z z z z 右半平面 左半平面 下半平面 上半平面 否则为无界域。 ，则称 为有界区域（有界域）， 若 一个圆域 使 D G D D C G z R , , 2
上述的國形区域,闭域,國环形线为有界域,其余为无界城 区域D内任意一条简单闭曲线C的内部都含有D,则称D为单连通区域,简称单连域,否则为多连域 举例指出 无界域,多连域,(圆的外部)
上述的圆形区域，闭域，圆环形域为有界域，其余为无界域。 简单闭曲线 C 将复平面分成两个不交区域， 单连域 区域 D 内任意一条简单闭曲线C 的内部都含有D，则称D 为单连通区域，简称单连域，否则为多连域。 无界域，多连域，（圆的外部） 令 代入，得 解：由 举例 指出 所表达的区域。 2 2 2 ) 3 4 ) ( 3 5 ( 2 2 + − = + − + + − x y z x iy z i z i z i z i