第二章随机变量及其分布 第一节随机变量及其分布函数 、随机变量的概念 例1设A是一个事件,令 ,若A发生 0,若A不发生 从而A=(与=1),P(A)=P(5=1) 例2产品寿命测试:设表示产品寿命,则5是个变量, 随不同的寿命取不同的值: ≥0 定义2.1设Ω是随机试验E的样本空间,若对每个O∈9, 有一个实数(O)和它对应,就得到一个定义在9上的单值 实函数5(ω),我们称ξ(ω)为随机变量,记为5
第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量及其分布函数 例1 设A是一个事件，令 . 1 A 0 A ，若 发生； A =｛，若 不发生 从而A=( =1) A ，P(A)=P( =1) A 例2 产品寿命测试： 设 表示产品寿命，则 是个变量， 随不同的寿命取不同的值： 0. 定义2.1 设Ω是随机试验E的样本空间，若对每个 有一个实数 和它对应，就得到一个定义在Ω上的单值 实函数 ，我们称 为随机变量，记为 。 ， () () () 一、随机变量的概念
注意:对任一实数x,(与≤x)都是事件。 随机变量与实函数比较: 随机变量5:定义域Ω,O∈只,o→>5(m) 实函数∫:定义域Dc(-∞,+∞),x∈D,x}>f(x) 两者区别: 1.试验之前只知道随机变量的取值范围而不能预知随机变 量具体取什么值; 2.随机变量的定义域--样本空间一般不是数域。 随机变量一般用ξ,m,5或大写字母X,Y,表示
随机变量与实函数比较： 随机变量 ：定义域 Ω， 实函数 ：定义域 ， ()； f D (−，+ )， xD，x f (x). 两者区别： 1. 试验之前只知道随机变量的取值范围而不能预知随机变 量具体取什么值； 2. 随机变量的定义域----样本空间一般不是数域。 随机变量一般用 ，， 或大写字母X，Y，…表示。 注意：对任一实数x，( ) x 都是事件
、随机变量的分布函数及其基本性质 定义22 设5是随机变量,x是任意实数,称函数 F(x)=P(≤x),-0<x<+ 为5的分布函数。 对于任意两实数xx2,x1<x2,有 P(x1<5≤x2)=P(≤x2)-P(≤x)=F(x2)-F(x) 分布函数的基本性质 F(x)是一个不减的函数; 2.0≤F(x)≤1,且F(∞)=imF(x)=0,F(+∞)=lmF(x)=1; x→-00 X→+∞ F(x)是右连续的,即F(x+0)=F(x) 可以证明:若F(x)满足以上性质,则必是某随机变量的分布 函数
二、随机变量的分布函数及其基本性质 定义2.2 设 是随机变量， 是任意实数，称函数 为 的分布函数。 x F(x) = P( x)， − x + 对于任意两实数 x1 ，x2 ， x1 x2 ， 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 P x x = P x −P x = F x −F x 分布函数的基本性质： 1. F(x)是一个不减的函数； 2. 0 3. F(x)是右连续的，即 F(x+0)=F(x)。 ( ) 1， 且 = lim ( ) = 0， + ) = lim ( ) =1； →− →+ F x F(- ) F x F( F x x x 可以证明：若F(x)满足以上性质，则必是某随机变量的分布 函数
随机变量落在几种常见区间的概率计算公式: P(X)=1-F(X); P(3x)=1F(x-0) 第二节离散型随机变量 定义2.3 、离散型随机变量及其分布 设5为一随机变量,若5的所有可能取值为有限个或可 列个,则称ξ为离散型随机变量 设5为离散型随机变量,其可能取值为{xk},称 pk=P(5=xk),k=1,2, 为5的分布律(概率分布)
随机变量落在几种常见区间的概率计算公式： 1. P( x)=1-F(x)； 3. P( x)=1-F(x-0)。 第二节 离散型随机变量 定义2.3 一、离散型随机变量及其分布 设 为一随机变量，若 的所有可能取值为有限个或可 列个，则称 为离散型随机变量。 设 为离散型随机变量，其可能取值为｛ ｝，称 为 的分布律(概率分布)。 k x pk = P( = xk )， k =1，2，
离散型随机变量的分布列 pp p2 离散型随机变量的基本性质:(教材p40) 1.Pk≥0,k=1,2 2.∠Pk=1 离散型随机变量的分布函数: F(x)=P(sx)=∑P(5=x)=∑P x≤x 其分布函数为一阶梯函数
离散型随机变量的分布列 p x1 x2 xn p1 p2 pn 离散型随机变量的分布函数： = = = = x x k x x k k k F(x) P( x) P( x ) p 其分布函数为一阶梯函数. 离散型随机变量的基本性质： (教材 p 40) 1. 0，k=1，2，…… 2. =1 . k p k k p
例1设随机变量与的分布列为 p 1/4 1/4 1/4 求的分布函数,并计算P≤1/3),P(/3≤5512) P(2≤5≤3)。 二、几种常见的离散型随机变量及其分布 1、0-1分布(贝努利分布、两点分布)(教材p41) 若随机变量只取0,1两个值,其概率分布为 P(5=1)=p,P(5=0)=1-p,(0<p<1), 则称5服从参数为p的0-1分布,又称贝努利分布或两点分 布
例1 设随机变量 的分布列为 p 1/4 1/4 1/4 -1 2 3 求 的分布函数，并计算P( )，P( )， P( )。 1/ 3 4 / 3 5/ 2 2 3 二、几种常见的离散型随机变量及其分布 1、0-1分布(贝努利分布、两点分布) (教材p.41) 若随机变量 只取0，1两个值，其概率分布为 P( =1)=p，P( =0)=1-p，(0<p<1)， 则称 服从参数为p的0-1分布，又称贝努利分布或两点分 布。
0-1分布的分布律可用统一表达式表述为 p(2=k)=p、(1-p)k,k=00<p<1 2、二项分布 1)二项分布的概念 定理2 设在n重贝努利试验中,P(A)=p,为n次试验中A发生的 次数,则有 (=k)=Cnp^(1-p) ,k=0,1,…,n. 定义24(二项分布的定义) 若离散型随机变量5的分布律为 P(5=k)=Cp^q",0<p<l,p+q=l,k=0,,…,n 则称5服从参数为n,p的二项分布,记为~B(n,p)
0-1分布的分布律可用统一表达式表述为 ( ) (1 ) 01 0 1 1 = = − = − p k p p k p k k ， ，， 2、二项分布 (1) 二项分布的概念 定理2.1 设在n重贝努利试验中，P(A)=p， 为n次试验中A发生的 次数，则有 P( k) C p (1 p) k 0 1 n. k k n k = = n − − ， = ，，， 定义2.4(二项分布的定义) 若离散型随机变量 的分布律为 则称 服从参数为n，p的二项分布，记为 ～B(n，p)。 P( k) C p q 0 p 1 p q 1 k 0 1 n.. k k n k = = n − ， ， + = ， = ，，，
例2设有各耗电7.5千瓦的设备10台,每台设备的使用情况 是相对独立的,且每台设备每小时平均工作12分钟。设对这 10台设备提供容量为48千瓦的配电设施,试求该配电设施超 载的概率。 可:若要使配电设施超载的概率小于0.01,需配备多少千瓦的 配电设施? (2)二项分布的最可能值 问题:设5~B(n,p),当k为何值时,P(点+)达到最大? 结论:1)若p>n(nt+1),则P(=)单调增加,在k-n处达 到最大; 2)若p≤n(n+1),当m(n+1)p为整数时,在k=m和k=m1处 同时达到最大;若(n+1)p不为整数,则在k=[(n+1)p处达到 最大
例2 设有各耗电7.5千瓦的设备10台，每台设备的使用情况 是相对独立的，且每台设备每小时平均工作12分钟。设对这 10台设备提供容量为48千瓦的配电设施，试求该配电设施超 载的概率。 问：若要使配电设施超载的概率小于0.01，需配备多少千瓦的 配电设施？ (2) 二项分布的最可能值 结论：1) 若 p>n/(n+1)，则P( =k)单调增加，在k=n处达 到最大； 2) 若 p n/(n+1)，当m=(n+1)p为整数时，在k=m和k=m-1处 同时达到最大；若(n+1)p不为整数，则在k=[(n+1)p]处达到 最大。 问题：设 ～B(n，p)，当k为何值时，P( =k)达到最大？
3.超几何分布 若离散型随机变量的分布律为 (=k)=CCM/C",k=1,2 其中N>M,n≤NM, S=min m,N,则称服从超几 何分布。 定理22 在超几何分布中,设n固定不变,M依赖于N的变化,且极 限p=limM/存在,则有 N→∞ lim Crc/CN=Cp(1-p)”k
3. 超几何分布 若离散型随机变量 的分布律为 其中 N>M，n N-M， s=min{M，N}，则称 服从超几 何分布。 P k C C C k s n N n k N M k ( = ) = M − − / ， =1，2，， 定理2.2 在超几何分布中，设n固定不变，M依赖于N的变化，且极 限 p = N lim → M / N 存在 ，则有 k k n k n n N n k N M k M N C C C C p p − − − → lim / = (1− )
4.泊松( Poisson分布 例A.苏果超市在南京的商业网点布局 例B.电话总机在一分钟收到的电话呼叫次数 例C.银行在每段时间间隔到达的顾客数 定义2.5 若离散型随机变量5的分布律为 P(5=k)=e/k!,k=0,,2,>0 则称5服从参数为λ的泊松( Poisson分布,记为5I(4) 例3.公交公司为合理调度车辆,要了解一段时间内在某车 站候车的乘客数。经市场调查,发现某车站平均每半分 钟有一名乘客到达。现求:在任意5分钟内 有不多于5名乘客的概率; 2)多于10名乘客的概率
4. 泊松(Poisson)分布 例A. 苏果超市在南京的商业网点布局 例B. 电话总机在一分钟收到的电话呼叫次数 例C. 银行在每段时间间隔到达的顾客数 定义2.5 若离散型随机变量 的分布律为 则称 服从参数为 的泊松(Poisson)分布，记为 ～() ( = ) = / = 01 2 0 − P k k e k！，k ，，， 例3. 公交公司为合理调度车辆，要了解一段时间内在某车 站候车的乘客数。经市场调查，发现某车站平均每半分 钟有一名乘客到达。现求：在任意5分钟内 1) 有不多于5名乘客的概率； 2) 多于10名乘客的概率